2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE7.5正态分布新版课程标准学业水平要求1.通过误差模型,了解听从正态分布的随机变量.通过详细实例、借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、标准差、方差及其含义.1.了解正态分布与标准正态分布的概念.(数学抽象)2.了解概率密度函数,理解正态曲线的性质.(数学抽象、直观想象)3.会利用正态曲线的性质解决简洁的求概率或面积问题.(逻辑推理、数学运算)4.会求正态分布在给定区间的概率,能利用正态分布学问解决实际问题.(数学建模、数学运算)必备学问·素养奠基1.正态分布(1)正态密度函数,刻画随机误差的函数f(x)=QUOTE,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数.对随意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方,x轴和曲线之间的区域为面积1,我们称f(x)为正态密度函数.(2)正态密度曲线:正态密度函数的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.(3)正态分布:①定义:若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机变量X听从正态分布;②记作:X～N(μ,σ2);③特例:当μ=0,σ=1时,称随机变量X听从标准正态分布.若X～N(μ,σ2),怎样表示上图中阴影A,B的面积?提示:阴影A的面积P(X≤x);阴影B的面积P(a≤X≤b).2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值QUOTE;(3)当QUOTE无限增大时,曲线无限接近于x轴.μ,σ取值不同对正态曲线有何影响?提示:当参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的改变而沿x轴平移;当μ取定值时,当σ较小时,峰值高,曲线“瘦小”,表示随机变量x的分布比较集中,当σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量x分布比较分散.3.X～N(μ,σ2)在区间[μ-kσ,μ+kσ]上的概率(1)概率:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973(2)3σ原则:通常认为听从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)正态曲线是一条钟形曲线.()(2)正态曲线在x轴的上方,并且关于直线x=σ对称.()(3)ΦQUOTE=0.8413.()提示:(1)√.由正态分布曲线的形态可知该说法正确.(2)×.正态曲线关于直线x=μ对称.(3)×.ΦQUOTE=PQUOTE=0.5+0.3413+0.1359=0.9772.2.设X～N(10,0.64),则D(X)等于()A.0.8 B.0.64 C.0.642 D.6.4【解析】选B.因为X～N(10,0.64),所以D(X)=0.64.3.已知正态总体落在区间(0.2,+∞)上的概率是0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x=________时,达到最高点.

【解析】由正态曲线关于直线x=μ对称和在区间(0.2,+∞)上的概率为0.5,得μ=0.2.答案:0.2关键实力·素养形成类型一利用正态曲线求面积或概率【典例】设随机变量X～N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1).(1)求c的值;(2)求曲线与x轴在区间QUOTE内所围的面积;(3)求P(-4≤X≤8)的值.【思维·引】利用正态曲线的对称性与在特别区间的面积(概率)求解.【解析】由X～N(2,9)可知,μ=2,σ=3.(1)正态曲线关于直线x=2对称(如图所示).因为P(X>c+1)=P(X<c-1),故有2-(c-1)=(c+1)-2,所以c=2.(2)依据正态曲线的对称性,所求面积为区间QUOTE对应的面积的2倍,即约为0.6827.(3)P(-4≤X≤8)=P(2-2×3≤X≤2+2×3)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.【内化·悟】利用正态曲线求概率须要弄清哪些问题?提示:(1)μ,σ的取值;(2)画出正态曲线.【类题·通】利用正态分布求概率的两个方法1.对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等.如:(1)P(X<a)=1-P(X≥a);(2)P(X<μ-a)=P(X>μ+a).2.“3σ”法:利用X落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别是0.6827,0.9545,0.9973求解.【习练·破】1.正态曲线与x轴在区间QUOTE内所围的面积为()A.0.5B.0.3413C.0.15865D.0.0215【解析】选C.依据正态曲线的对称性,所求区间的面积约为QUOTE=0.15865.2.已知随机变量X～N(2,σ2),若P(X<a)=0.32,则P(a≤X≤4-a)=________.

【解析】由正态分布图像的对称性可得:P(a≤X≤4-a)=1-2P(X<a)=0.36.答案:0.36类型二实际问题中的正态分布角度1求给定区间的概率【典例】数学考试试卷满分是150分,设在一次考试中,某班学生的分数X近似听从正态分布,且均值为110,标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率.【思维·引】将P(X≥90)转化为P(X≥μ-σ),然后利用对称性及概率和为1,得到2P(X≤μ-σ)+0.6827=1,进而求出P(X≥90)的值.【解析】由题意可知,分数X～N(110,202),μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X≥110-20)=P(X≥μ-σ),因为P(X≤μ-σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(X≥μ+σ)=2P(X≤μ-σ)+0.6827=1,所以P(X≤μ-σ)=0.15865,所以P(X≥90)=1-P(X≤μ-σ)=1-0.15865=0.84135.【素养·探】★本例考查实际问题中利用正态分布求概率,同时考查直观想象与数学运算的核心素养.本例条件不变,若这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中130分以上的人数.【解析】因为P(X≥130)=P(X≥110+20)=P(X≥μ+σ),所以P(X≤μ-σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(X≥μ+σ)=0.6827+2P(X≥μ+σ)=1,所以P(X≥μ+σ)=0.15865,即P(X≥130)=0.15865.所以54×0.15865≈9(人),即130分以上的人数约为9人.角度2实际应用问题【典例】某设备在正常运行时,产品的质量听从正态分布,其参数为μ=1000g,σ2=1,为了检验设备运行是否正常,质量检验员须要随机地抽取产品,测量其质量.当检验员随机地抽取一个产品,测得其质量为1007g时,他马上要求停止生产,检查设备.他的确定是否有道理呢?【思维·引】求出概率,通过概率值说明缘由.【解析】假如设备正常运行,产品质量听从正态分布N(μ,σ2),依据3σ原则可知,产品质量在μ-3σ=1000-3=997g和μ+3σ=1000+3=1003g之间的概率为0.9973,而质量超出这个范围的概率只有0.003,这是一个几乎不行能出现的事务.但是检验员随机抽取的产品为1007g,这说明设备的运行有可能不正常,因此检验员的确定是有道理的.【类题·通】解答正态分布的实际应用题的关注点(1)方法:转化法,把一般的区间转化为3σ区间,由特别区间的概率值求出.(2)理论基础:①正态曲线的对称性;②曲线与x轴之间的面积为1;③P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的概率值.【习练·破】1.红外线自动测温门能有效避开测温者与被测温者的近距离接触,降低潜在的病毒感染风险,为防控新冠肺炎,某厂生产的红外线自动测温门,其测量体温误差听从正态分布N(0.1,0.32),从已经生产出的测温门中随机取出一件,则其测量体温误差在区间(0.4,0.7]内的概率为()(附:若随机变量ξ听从正态分布N(μ,σ).则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545)A.0.3174B.0.2718C.0.1359D.0.0456【解析】选C.由红外线自动测温门测量体温误差听从正态分布N(0.1,0.32),得μ=0.1,σ=0.3.所以测量体温误差在区间(0.4,0.7]内的概率为:P(0.4<ξ≤0.7)=P(μ+σ<ξ≤μ+2σ)=QUOTE[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]=0.1359.2.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间X(单位:分)近似听从正态分布X～N(50,102),求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.【解析】因为X～N(50,102),所以μ=50,σ=10.所以P(30<X≤60)=P(30<X≤50)+P(50<X≤60)=QUOTEP(μ-2σ<X≤μ+2σ)+QUOTEP(μ-σ<X≤μ+σ)≈QUOTE×0.9545+QUOTE×0.6827=0.8186.即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.8186.类型三标准正态分布【典例】设随机变量X～N(0,1),(1)求ΦQUOTE的值;(2)若ΦQUOTE=0.6628,求ΦQUOTE.【思维·引】弄清ΦQUOTE的含义,由正态曲线的对称性求解.【解析】(1)因为X～N(0,1),所以ΦQUOTE=PQUOTE=QUOTE≈QUOTE=0.0135.(2)因为X～N(0,1)且ΦQUOTE=0.6628,所以由ΦQUOTE+ΦQUOTE=1得,ΦQUOTE=1-ΦQUOTE=1-0.6628=0.3372.【内化·悟】听从标准正态分布的概率问题与正态分布的概率的求解方法相同吗?提示:相同.【类题·通】求标准正态分布的概率问题的关注点(1)标准正态曲线特点:关于y轴对称,σ=1;(2)ΦQUOTE的含义:ΦQUOTE=PQUOTE;(3)解题思路:①当a=±1,±2,±3时,利用P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的概率值求解;②当a为其他值时,可查表求解.【习练·破】设随机变量X听从正态分布N(0,1),已知ΦQUOTE=0.4286,求PQUOTE.【解析】由正态曲线的对称性知,ΦQUOTE=PQUOTE=PQUOTE=0.4286,所以PQUOTE=PQUOTE=1-2PQUOTE=1-2×0.4286=0.1428.【加练·固】设随机变量X～N(0,1),ΦQUOTE=0.5987,ΦQUOTE=0.6950,求:(1)ΦQUOTE;(2)PQUOTE.【解析】(1)ΦQUOTE=1-ΦQUOTE=1-0.5987=0.4013.(2)PQUOTE=PQUOTE-PQUOTE=ΦQUOTE-ΦQUOTE=0.6950-0.5987=0.0963.课堂检测·素养达标1.设两个正态分布N(μ1,QUOTE)(σ1>0)和N(μ2,QUOTE)(σ2>0)的概率密度函数图像如图所示,则有()A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2【解析】选A.依据正态分布的性质:对称轴方程x=μ,σ表示正态曲线的形态.由题图可得选项A正确.2.已知随机变量ξ听从正态分布N(3,σ2),则P(ξ<3)等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为ξ～N(3,σ2),所以ξ=3为正态分布的对称轴,所以P(ξ<3)=QUOTE.3.若随机变量ξ听从正态分布N(0,1),已知P(ξ<-1.9)=0.028,则P(ξ<1.9)=()A.0.028 B.0.056 C.0.9