2025届高中数学统考第二轮专题复习第13讲直线与圆限时集训理含解析

第13讲直线与圆基础过关1.设A(2,-1),B(4,1),则以AB为直径的圆的方程是 ()A.(x-3)2+y2=2B.(x-3)2+y2=8C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=82.与圆x2+y2-4y=0相交所得的弦长为2,且在y轴上的截距为-1的直线的方程是 ()A.±2x+y+1=0 B.2x-y-1=0C.±3x-y-1=0 D.3x-y-1=03.若a,b为正实数,直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0相互垂直,则ab的最大值为 ()A.32 B.9C.94 D.4.已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a的取值范围为 ()A.(2-17,2+17) B.(2-17,2)C.(-15,+∞) D.(-15,2)5.若过直线l:3x-4y+2=0上一点M向圆A:(x-2)2+(y+3)2=4作切线,切点为T,则|MT|的最小值为 ()A.10 B.4 C.22 D.236.圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为 ()A.(x+3)2+(y+2)2=4B.(x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(x+6)2+(y+4)2=47.已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),则“a=5”是“OA·OB=0”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知直线l:x-y=1与圆Γ:x2+y2-2x+2y-1=0相交于A,C两点,点B,D分别在圆Γ上运动,且位于直线l的两侧,则四边形ABCD面积的最大值为 ()A.30 B.230 C.51 D.2519.对圆(x-1)2+(y-1)2=1上随意一点P(x,y),|3x-4y-9|+|3x-4y+a|都与x,y无关,则a的取值范围为 ()A.[6,+∞) B.[-4,6]C.(-4,6) D.(-∞,-4]10.已知圆C:(x-a)2+y2=4(a≥2)与直线x-y+22-2=0相切,则圆C与直线x-y-4=0相交所得弦长为 ()A.1 B.2 C.2 D.2211.已知O为坐标原点,过点P(2,6)作直线l:2mx-(4m+n)y+2n=0(m,n不同时为零)的垂线,垂足为M,则|OM|的取值范围是.

12.在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+4=0与直线l2:x+ky-3=0相交于点P,则当实数k改变时,点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为.

实力提升13.已知直线x+y-2=0与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,则R的值为 ()A.22 B.C.2 D.214.已知线段AB是圆O:x2+y2=4的一条动弦,且|AB|=23,若点P为直线x+y-4=0上的随意一点,则|PA+PB|的最小值为 ()A.22-1 B.22+1C.42-2 D.42+215.已知点P是直线l:4x-3y-7=0上的动点,过点P引圆C:x2+(y-1)2=r2(r>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,当∠MPN的最大值为π2时,r的值为 (A.2 B.3 C.22 D.116.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是C上第一象限的一点,以P为圆心的圆过点F且与直线x=-1相切,若圆P的面积为25π,则圆P的方程为 ()A.(x-1)2+(y-1)2=25B.(x-2)2+(y-4)2=25C.(x-4)2+(y-4)2=25D.(x-4)2+(y-2)2=2517.已知圆C:x2+y2+2x-ay+a=0关于直线4x+y=0对称,则圆C的半径r=;若过点M(1,0)作圆C的切线,切点为A,则线段MA的长度为.

18.已知点P(x,y)满意(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=1,则满意条件的点P所形成的平面区域的面积为.

限时集训(十三)1.A[解析]因为|AB|=4-22+1+12=22,线段AB的中点坐标为(3,0),所以以AB为直径的圆的方程是(x-3)2+y22.A[解析]x2+y2-4y=0可化为x2+(y-2)2=4,其圆心为(0,2),半径为2,因为直线与圆x2+y2-4y=0相交所得的弦长为2,所以弦心距为3.由题意可知所求直线的斜率存在,设直线的方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,所以弦心距d=|0-2-1|k2+1=3,解得k=±2,所以所求直线的方程是±3.B[解析]因为直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0相互垂直,所以2b+2(2a-3)=0,即2a+b=3.又a,b为正实数,所以2a+b≥22ab,即2ab≤2a+b22=94,当且仅当a=34,b=32时取“=”,所以ab4.D[解析]由方程x2+y2-2x+2y+a=0,即(x-1)2+(y+1)2=2-a表示圆,得a<2,圆心(1,-1)到直线x+y-4=0的距离d=|1-1-4|2=22,由题可得2-a-85.D[解析]圆A:(x-2)2+(y+3)2=4的圆心为A(2,-3),半径为2,由题可知,当AM⊥l时,|MT|最小,∵圆心到直线3x-4y+2=0的距离d=|6+12+2|32+(-4)2=4,∴|MT|6.C[解析]圆(x+2)2+(y-12)2=4的圆心坐标为(-2,12),半径为2,设所求圆的圆心为(a,b),由题可知a-22-b+122+8=0,b-12a+2=-1,解得a7.A[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),由x-2y+a=0,x2+y2=2,得5y2-4ay+a2-2=0,由Δ=16a2-20(a2-2)>0,解得a2<10,且y1+y2=4a5,y1y2=a2-25.OA·OB=0⇔x1x2+y1y2=(2y1-a)(2y2-a)+y1y2=5y1y2-2a(y1+y2)+a2=0⇔5×a2-25-28.A[解析]把x2+y2-2x+2y-1=0化为(x-1)2+(y+1)2=3,得圆Г的圆心为(1,-1),半径r=3,圆心(1,-1)到直线x-y=1的距离d=|1-(-1)-1|12+(-1)2=22,则|AC|=2×3-(22)

2=2×102=10.由题可知,9.A[解析]因为|3x-4y-9|+|3x-4y+a|=53x-4y-所以|3x-4y-9|+|3x-4y+a|可以看作点P到直线l:3x-4y-9=0与直线m:3x-4y+a=0距离之和的5倍,因为|3x-4y-9|+|3x-4y+a|的取值与x,y无关,所以圆在直线m与l之间,如图.当直线m与圆相切时,由3-4+a5=1,解得a=6或a=-4(舍去),故a≥610.D[解析]由题知圆心C(a,0)到直线x-y+22-2=0的距离d1=|a+22-2|2=2,解得a=2或a=2-42(舍去),所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4,圆心C到直线x-y-4=0的距离d2=|2-4|2=2,所以圆C与直线x-y-4=11.[5-5,5+5][解析]2mx-(4m+n)y+2n=0可化为m(2x-4y)-n(y-2)=0,由2x-4y=0,y=2,得x=4,y=2,即直线l过定点(4,2).设Q(4,2),由MP⊥l,可知点M的轨迹是以PQ为直径的圆,其方程为(x-3)2+(y-4)2=5,所以5-5≤|OM|≤5+512.92[解析]由题知直线l1过定点(0,4),直线l2过定点(3,0),设A(0,4),B(3,0),则|AB|=32+42=5.因为k·1+(-1)·k=0,所以l1⊥l2,故点P的轨迹是以AB为直径的圆(除A,B两点).设以AB为直径的圆的圆心为C,则C32,2,圆C的半径r=|AB|2=52,圆C的方程为x-322+(y-2)2=522.圆心C到直线4x-3y+10=0所以点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为2+52=913.B[解析]因为直线x+y-2=0与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,所以圆心O到直线x+y-2=0的距离等于R,即R=21+1=1,故选B14.C[解析]设AB的中点为D,连接OD,PD,则OD⊥AB,由|AB|=23,可得|OD|=1,故点D的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆.因为圆心O到直线x+y-4=0的距离d=|-4|2=22,所以|PD|min=22-1.又|PA+PB|=2|PD|,所以|PA+PB|的最小值为42-2,15.A[解析]连接CP,当∠MPN≤π2时,∠MPC≤π4,所以r|CP|≤sinπ4=22,得|PC|≥2r.又当CP⊥l时,|CP|最小,所以|-3-7|16.C[解析]由题意知点P到点F的距离等于点P到直线x=-1的距离,所以直线x=-1为抛物线的准线,则p2=1,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.因为圆P的面积为25π,所以圆P的半径为5.设P(x0,y0),则x0+p2=5,解得x0=4,则y0=4,所以圆P的方程为(x-4)2+(y-4)2=25,故选17.311[解析]由题知圆C的标准方程为(x+1)2+y-a22=a24+1-a,因为圆C关于直线4x+y=0对称,所以圆心C-1,a2在直线4x+y=0上,得a=8,故圆C的半径r=a24+1-a=3.连接MC