2024北京平谷中学高二（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京平谷中学高二（上）期中数学2024.11一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1.某工厂有共五个车间，各车间人数所占比例依次为：车间，车间车间车间车间．现采用分层抽样的方法，从该工厂所有人中抽取300人作为样本，则该样本中得到车间或车间的人数共为（）A.195 B.165 C.120 D.452.已知向量，，并且，则实数x的值为（）A.10 B.-10 C. D.3.圆心在轴上，半径为1，且过点1,2的圆的方程是（）A. B.C. D.4.某校举办知识竞赛，将人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下．则根据频率分布直方图，下列结论正确的是（）A.中位数估计为 B.众数估计为C.平均数估计为 D.第百分位数估计为5.圆的圆心到直线的距离是（）A. B. C.1 D.6.设不同直线：，：，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（）A.1 B.2C.3 D.48.从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则可能是（）A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率 D.2个球中恰有1个红球的概率9.已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（）A. B. C. D.10.如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（）A.B.点D到平面的距离为C.点D到直线的距离为D.平面与平面夹角的余弦值为共5小题，每小题5分，共25分11.直线（a为常实数）的倾斜角的大小是_______________．12.经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是__________.13.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲在该商区临时停车不超过4小时，若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，则甲停车付费恰好6元的概率为__________.14.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽为___________米.15.如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论：①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为；②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值；③存在点，，使得平面；④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为.其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题，共8B分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列直线方程（1）已知，，，在中：（ⅰ）求BC边所在的直线方程（ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程，（2）已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程.17.已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.（1）求顶点和的坐标；（2）求外接圆的一般方程.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4.（1）求角C的大小；（2）若，求边长c.19.在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：题号学生编号123451×√√√√2√√√√×3√√√√×4√√√××5√√√√√6√××√×7×√√√×8√××××9√√×××10√√√√×（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数：题号12345实测答对人数实测难度（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.20.如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21.设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记M（）=．（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1.【答案】B【分析】根据分层抽样的概念列式可求解．【详解】根据分层抽样的方法，该样本中得到车间或车间的人数共为．故选：B．2.【答案】B【分析】根据空间向量垂直的充分必要条件是其数量积为零，即，解出即可.【详解】解：∵，∴，解得.故选：B.【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.向量等价于.3.【答案】A【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可.【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点1,2在圆上，所以，解得，所以所求圆的方程为．故选：A4.【答案】C【分析】设频率分布直方图中与所对应的纵轴为，根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据平均数、中位数、百分位数及众数的计算规则计算可得.【详解】设频率分布直方图中与所对应的纵轴为，则，解得，所以平均数为，故C正确；众数为，故B错误；因为，所以中位数为，故A错误；因为，第百分位数估计为，故D错误；故选：C5.【答案】A【分析】根据圆的方程得出圆心坐标（1，0），直接依据点到直线的距离公式可以得出答案.【详解】圆的圆心坐标为（1，0），∴圆心到直线的距离为.故选：A.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题型.6.【答案】C【详解】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7.【答案】C【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面，又因为平面平面，，且平面，所以平面，所以①正确；对于②中，由平面，且平面，可得，又因为，且，平面，所以平面，所以②正确；对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确；对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因为平面，所以，因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误.故选：C.8.【答案】C【分析】运用概率计算公式分别计算四个选项中事件的概率即可.【详解】记4个选项中的事件依次分别为A，B，C，D，则，故A错误；，故B错误；，故C正确；．故D错误.故选：C．9.【答案】B【分析】根据向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，建立方程，分析方程的解的个数即可得出答案.【详解】当时，，有无数组解，故A错误；当时，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故方程有且仅有一组解，故B正确；当时，，当或时方程成立，方程有无数组解，故C错误；当时，即，即，方程有无数组解，故D错误.故选：B10.【答案】C【分析】根据给定条件，求出图1中点A,B,D,M的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M的坐标，再逐项判断作答.【详解】在图1中，由，得，，，，在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，得，A正确．设平面的法向量为，，则，即，取，则，，所以平面的一个法向量，所以点D到平面的距离为，B正确．取，，则，，所以点D到直线的距离为，C错误．平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为，D正确.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11.【答案】##【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线斜率，即可得出倾斜角.【详解】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为，则，所以.故答案为：.12.【答案】【分析】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程.【详解】因为圆，即，所以圆心为，又直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，所求直线的方程为，即.故答案为：.13.【答案】【分析】根据互斥事件和对立事件的概率公式可解答。【详解】设“甲临时停车付费恰为元”为事件，则．所以甲临时停车付费恰为元的概率是．故答案为：.14.【答案】16【分析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴，以过拱顶的竖线为纵轴，建立直角坐标系，根据题意可以求出找到一个点，代入可以求出圆的方程，最后可以求出当水面下降2m后,水面宽的大小.【详解】解：以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m，水面宽12m，所以设，代入圆的方程中得：，所以圆的方程为：,当水面下降2m后,设代入圆的方程中得，解得：，所以水面宽为16米，故答案为：.15.【答案】②③【分析】对于①，根据垂线段最短，结合等边三角形图形特点进行计算即可；对于②，根据三棱锥体积公式进行判断即可；对于③，根据线面垂直的判定定理得到平面，进而判断即可；对于④，根据正方体图形特点找到截面，进而求解周长即可.【详解】对于①，当为线段的中点时，连接，如图所示，则为线段的中点，是边长为的正三角形，两点之间距离的最小值为到的垂线段长度，此时，故①错误；对于②，当为线段的中点时，连接，如图所示，显然，到平面的距离为定值，面积为定值，结合三棱锥体积公式可知，三棱锥的体积为定值，故②正确；对于③，当与重合，与重合时，如图所示，由正方体可知平面，，因为平面，所以，又因为平面，，所以平面，因为平面，所以，同理，，又因为平面，，所以平面，即平面，所以存在点，，使得平面，故③正确；对于④，当为靠近点的三等分点时，延长交于点，取中点，连接，如图所示，由得四边形是平行四边形，所以，由可知，即，所以是中点，又因为是中点，所以,，所以平面截该正方体所得截面为等腰梯形，在直角中，，同理，所以截面的周长为,即当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为，故④错误.故答案为：②③【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有：（1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；（2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；（3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解.三、解答题共6小题，共8B分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（i）；（ii）.（2）或.【分析】（1）（i）直接计算得，再写出点斜式方程再化简即可；（ii）求出中点，再根据垂直关系即可得到斜率，写出点斜式方程再化简即可；（2）首先验证直线斜率不存在的情况，再利用点斜式方程并结合点到直线的距离公式即可.【小问1详解】（i），则BC边所在的直线方程为，即,（ii）线段的中点坐标为，即，由（i）知，则其垂直平分线的斜率为，则BC边上的垂直平分线所在直线的方程为，即.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，此时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设，即，则有，解得，此时.综上所述直线的方程为或.17.【答案】（1），（2）【分析】（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标；（2）设圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解.【小问1详解】由可得，所以点的坐标为，由可得，所以由，可得，因为，所以直线的方程为：，即，由可得，所以点的坐标为.【小问2详解】设的外接圆方程为，将，和三点的坐标分别代入圆的方程可得：，解得：，所以的外接圆的一般方程为.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据已知由正弦定理得到，根据的范围可得答案；（2）利用和已知得到的值，然后结合余弦定理得到c的长度．【小问1详解】根据已知由正弦定理得，得到，因为，所以，所以，即．【小问2详解】由于，得，由余弦定理，得，所以.19.【答案】（1）填表见解析，24人；（2）；（3）是合理的.【分析】（1）根据已知数据，进行统计，即可容易填表所得结果；结合实测难度，即可求得答对第5题的人数；（2）根据题意求得所有抽取的可能以及满足题意的可能，用古典概型的概率求解公式即可容易求得结果；（3）根据公式，即可求得对应的，则根据题意即可进行判断.【详解】（1）每道题实测的答对人教及相应的实测难度如下表：题号12345实测答对人数88772实测难度0.80.80.70.70.2所以，估计120人中有人答对第5题.（2）记编号为的学生为，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种.其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，，，，，，共6种.所以，从编号为1~5的学生中随机抽取2人，恰好有1人答对第5题的概率为.（3）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度.，因为，所以，该次测试的难度预估是合理的.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，以及数据统计和估计，属综合基础题.20.【答案】（1）证明见解析（2）（i）；（ii）存在，【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明；（2）（i）建立空间直角坐