2024北京工大附中高二（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京工大附中高二（上）期中数学命题人：尘福真审核人：叶欣（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.直线的斜率为（）A.0 B.2 C. D.不存在2.空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为（）A. B. C. D.3.已知点到直线的距离为，则等于（）A. B. C. D.4.已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（）A. B. C. D.5.已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（）A. B.C. D.6.若直线是圆的一条对称轴，则（）A. B. C.1 D.-17.已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（）A.3 B.C. D.8.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（

）A.0个 B.至多有一个 C.1个 D.2个9.若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（）A. B. C. D.10.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：①曲线的方程为②曲线上存在点，使得到点距离为6；③曲线上存在点，使得到直线的距离为；④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8．其中所有正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.双曲线的两条渐近线的方程为_____.12.抛物线的焦点坐标为_________.13.设，向量，，，且，，则__________.14.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则的取值范围是_____．15.在中,,若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率__________.16.已知椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，过点向轴引垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于点，直线和的斜率分别为，，则下列选项正确的有_____．①．②．③．④．若，则三、解答题（本大题共5个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点．应用空间向量方法求解下列问题．（1）求的长；（2）证明：平面．18.已知直线和圆，（1）m为何值时，直线与圆没有公共点；（2）m为何值时，截得的弦长为2；（3）若直线和圆交于A，B两点，此时，求m的值．19.如图，在三棱柱中，平面，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在请说明理由．20.已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l椭圆C交于两点，且．问：x轴上是否存在点N使得直线，直线与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．21.对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值.（1）已知，.①写出，写出（用含的式子表示）；②当，写出的最小值及此时x的值；（2）设，，求证：（3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标.

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.直线的斜率为（）A.0 B.2 C. D.不存在【答案】D【分析】根据倾斜角得到斜率不存在.【详解】的倾斜角为，斜率不存在.故选：D2.空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由题知，为的中点，根据中点坐标满足的关系求得C点坐标.【详解】由题知，为的中点，设则，解得，即故选：A3.已知点到直线的距离为，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.【详解】解：由题意得．解得或．，．故选：C.4.已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可.【详解】如图所示：，，由椭圆定义得.①在中，.②由①②得，则，所以椭圆C的方程为.故选：C.【点睛】本题考查椭圆方程的求解.5.已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据垂径定理，分析出圆心和连线的直线垂直于直线时，所截得弦长最短.【详解】由于，故点在圆内，化为标准方程：.如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是，根据垂径定理，，为使得最小，必须最大，显然，重合的时候取得等号，此时，由于，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：C6.若直线是圆的一条对称轴，则（）A. B. C.1 D.-1【答案】A【分析】根据直线过圆心可求参数的值.【详解】圆的标准方程为：，故圆心为，因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上，故即，故选：A.7.已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（）A.3 B.C. D.【答案】C【分析】由空间向量法求点线距．【详解】由已知，，所以，所求距离为，故选：C．8.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（

）A.0个 B.至多有一个 C.1个 D.2个【答案】D【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解.【详解】因为直线和圆没有交点，可得，即，所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.9.若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由已知可得，其中、，利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可得解.【详解】因为、、为三个不共面的空间向量，由题意可知，存在、，使得，即，所以，，解得.故选：C.10.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：①曲线的方程为②曲线上存在点，使得到点距离为6；③曲线上存在点，使得到直线的距离为；④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8．其中所有正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】设，根据M满足，利用两点间距离公式化简整理，即可判断①是否正确；通过确定圆上的点到（1，1）的距离的范围来判断②是否正确；通过确定圆上的点到直线的距离的范围来判断③是否正确；由椭圆的定义，可知F在椭圆上，再根据椭圆与曲线W的位置关系，即可判断④是否正确．【详解】设，因为M满足，所以，整理可得：，即，所以①正确；对于②，由①可知，点在圆的外部，因为到圆心的距离，半径为2，所以圆上的点D到的距离的范围为，而，所以②不正确；对于③，圆心到直线的距离为，即直线和圆相交，所以圆上的点E到直线的距离的范围为，又，即，故③正确；对于④，假设存在这样的点F，使得F到点B与点的距离之和为8，则F在以点B与点为焦点，实轴长为8的椭圆上，即F在椭圆上，易知椭圆与曲线W：有交点，故曲线W上存在点F，使得F到点B与点的距离之和为8，所以④正确．故正确结论的个数为3，故选：C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.双曲线的两条渐近线的方程为_____.【答案】【分析】直接利用双曲线的渐近线的求法，求解即可.【详解】对于双曲线，，，所以，双曲线的渐近线方程为，即.故答案为：.12.抛物线的焦点坐标为_________.【答案】【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求得答案.【详解】抛物线可化为，焦点在轴上，,抛物线的焦点坐标为,故答案为:13.设，向量，，，且，，则__________.【答案】3【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解.【详解】因为，，，且，，所以，12=y-4=1所以，，，所以.故答案为：.14.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则的取值范围是_____．【答案】【分析】就直线与阴影部分的边界在轴上下两部分分别有两个公共点分类讨论可得的取值范围.【详解】阴影部分在第一象限内的边界曲线方程为x2若直线与在轴上方的阴影部分的边界曲线有两个不同的交点，则，解得，若直线与在轴下方的阴影部分的边界曲线有两个不同的交点，则即，当时，直线，此时与阴影部分的边界有两个不同的交点，两个交点为符合；综上，，故答案为：15.在中,,若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率__________.【答案】【分析】根据，得到的三边，根据椭圆的定义，得到和，从而得到离心率.【详解】因为，所以，得，由余弦定理得，所以，因为以为焦点的椭圆经过点，所以，，所以椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，椭圆的定义，求椭圆离心率，属于简单题.16.已知椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，过点向轴引垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于点，直线和的斜率分别为，，则下列选项正确的有_____．①．②．③．④．若，则【答案】②③④【分析】设，利用点的坐标表示出，然后整理可判断①②③；求出直线的方程，与椭圆联立，利用弦长公式求即可判断④.【详解】设，且，对于①：，不为定值，①错误；对于②：，②正确；对于③：，③正确；对于④：当时，联立，解方程组得，不妨取，由选项③得，则直线的方程为，联立，消去得，则，④正确.故答案为：②③④三、解答题（本大题共5个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点．应用空间向量方法求解下列问题．（1）求的长；（2）证明：平面．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，代入长度公式求解；（2）利用，，可证直线垂直于，再利用线面垂直的判定定理证明【小问1详解】以为原点，分别以，，所在直线为x轴，轴，轴建立空间直角坐标系,则∵分别为的中点，∴则，∴；【小问2详解】由（1）可得，，∵0，0，∴又，平面,∴平面18.已知直线和圆，（1）m为何值时，直线与圆没有公共点；（2）m为何值时，截得的弦长为2；（3）若直线和圆交于A，B两点，此时，求m的值．【答案】（1），或（2）（3）【分析】由直线与圆的位置关系可解.【小问1详解】由已知，圆心为，半径的长，圆心到直线的距离，因为直线与圆无公共点，所以，即，所以，或，故当，或时，直线与圆无公共点．【小问2详解】由平面几何垂径定理知，即，解得，所以当时，直线被圆截得的弦长为2.【小问3详解】由于交点处两条半径互相垂直，所以弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，所以，即，解得.故当时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．19.如图，在三棱柱中，平面，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在；．【分析】（1）利用棱柱的几何性质得到，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）假设存在点，设，，利用线面角的计算公式，列出方程，求解即可得到答案．【详解】（1）证明：因为为三棱柱，所以侧面为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面；（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，因为，，所以，即，令，则，，故，所以，因为平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为；（3）解：假设存在点，设，，设与平面所成的角为，则，所以，解得或（舍），所以在线段上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，此时．20.已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l椭圆C交于两点，且．问：x轴上是否存在点N使得直线，直线与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；（2）转化为0后，根据直线与椭圆联立即可求解.【小问1详解】因为,解得2.所以点在椭圆上.将代入,得..从而..【小问2详解】显然直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为.设.假设存在点,因为直线与轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形，0，即,即.由