第8讲导数的概念及运算题型总结

第8讲导数的概念及运算题型总结【考点分析】考点一：导数的概念①平均变化率：一般地函数在区间上的平均变化率为②导数的概念：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．考点二：导数的几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率，即考点三：导数的物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．考点四：导数的基本公式基本初等函数导函数（为常数）考点五：导数的四则运算法则①函数和差求导法则：；②函数积的求导法则：；③函数商的求导法则：，则．④常数乘以函数的导数：考点六：复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为注：【题型目录】题型一：平均变化率与瞬时变化率问题题型二：导数的概念题型三：导数的基本运算【典型例题】题型一：平均变化率与瞬时变化率问题【例1】（2022江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平均变化率的定义直接求解.【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：A【例2】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】利用平均速度的计算公式求解即可【详解】，，因为物体在这段时间内的平均速度为，所以，解得，故选：A【例3】（2022·四川·成都七中高二期末（文））吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为，为的导函数．已知在上的图像如图所示，若，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．存在，使得【答案】D【分析】A：设，由图得，所以该选项错误；B:根据图像和导数的几何意义得，所以该选项错误；C:设，所以该选项错误；D:结合图像和导数的几何意义可以判断该选项正确.【详解】解：A：设，由图得，所以所以，所以该选项错误；B:由图得图像上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得，所以该选项错误；C:设，因为所以，所以该选项错误；D:表示两点之间的斜率，表示处切线的斜率，由于，所以可以平移直线使之和曲线相切，切点就是点,所以该选项正确.故选：D【例4】（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平均变化率，代入计算．【详解】∵故选：C．【例5】（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示，则下列四个结论中正确的是（

）A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同.B．在内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率不相同.C．若，则在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率一定不同D．若，则在时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度【答案】D【分析】由关系图提供的数据结合平均变化率的定义进行判断．【详解】对于A选项，在时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，瞬时变化率为切线的斜率，故不相同，故A错误；对于B选项，在两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，故B错误；对于C选项，这个时间段内，在时刻时，甲血管中药物浓度的瞬时变化率大于乙血管中药物浓度的瞬时变化率，在时刻时，甲血管中药物浓度的瞬时变化率小于乙血管中药物浓度的瞬时变化率，故存在使得甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同，故C错误；对于D选项，在内，乙血管中药物浓度始终大于甲血管中药物浓度，在时刻，甲乙血管中药物浓度相同，故若，则在时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度，D正确.故选：D．【例6】（2022·全国·高二课时练习）函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】直接代函数平均变化率公式进行化简得到，表达式，由题意知，即可得判断，大小关系.【详解】，.由题意，知，所以.故选：A.【例7】（2022·广东广州·高二期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（

）A．10.9 B．10.9 C．5 D．5【答案】D【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．【详解】解：因为，所以，令，得瞬时速度为．故选：D.【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合图象以及导数的知识求得正确答案.【详解】由图象可知，即.故选：D【例9】（2022·全国·高二课时练习）若一物体运动方程如下（位移单位：，时间单位：求：(1)物体在内的平均速度；(2)物体的初速度；(3)物体在时的瞬时速度.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）计算时间变化量为，其位移变化量为，即可求出物体在，内的平均速度；（2）求物体的初速度，即求物体在时的瞬时速度，求出物体在附近位移的平均变化率，再利用极限的思想求出瞬时速度；（3）求出物体在附近位移的平均变化率，再利用极限的思想求出瞬时速度；（1）解：由已知在时，其时间变化量为，其位移变化量为，故所求平均速度为；（2）解：求物体的初速度，即求物体在时的瞬时速度.因为物体在附近位移的平均变化率为所以物体在处位移的瞬时变化率为，即物体的初速度.（3）解：因为物体在附近位移的平均变化率为，故物体在时的瞬时速度为，即物体在时的瞬时速度为．【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习多选题）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（

）.A．前内球滚下的垂直距离的增量B．在时间内球滚下的垂直距离的增量C．前内球在垂直方向上的平均速度为D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为【答案】BCD【分析】结合函数关系式，根据前内和时间内的可求得平均速度，由此判断各个选项即可.【详解】前内，，，此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确；在时间内，，，此时球在垂直方向上的平均速度为，B正确；D正确.故选：BCD.2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为__________．【答案】【分析】根据题意，求出函数在区间上的平均变化率，进而可得，解出方程可得的值，即可得答案.【详解】解：根据题意，函数在区间上的平均变化率为：解得：故答案为：2.3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为__________.【答案】5【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案.【详解】函数在区间上的平均变化率为.故答案为：4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期末）函数在到之间的平均变化率为___________.【答案】##【分析】根据题意，由平均变化率公式计算即可得解.【详解】解：由函数，得，，所以其平均变化率.故答案为：.5．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知一物体的运动方程是的单位为的单位为），则该物体在时间段内的平均速度与时刻的瞬时速度相等，则___________.【答案】【分析】由平均速度和瞬时速度的概念可得关于的等量关系，从而得到的取值.【详解】在到t+这段时间内，物体的平均速度，所以该物体在时间段内的平均速度为6,当无限趋近于0时即可得到时刻的瞬时速度即,由题意平均速度与时刻的瞬时速度相等，即,解得,故答案为：6．（2022·河北·高二期中）已知函数，则在上的平均变化率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】利用平均变化率的定义求解.【详解】解：在上的平均变化率为：，故选：A7．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二阶段练习（理））已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解.【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率，结合图象，可得，所以.故选：A.8．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.【详解】由图知：，即.故选：A9．（2022·陕西西安·高二期末（理））一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该物体在时的瞬时速度为（

）A．3 B．6 C．12 D．16【答案】A【分析】利用瞬时变化率的定义即可求解.【详解】所以所以.故选：A.题型二：导数的概念【例1】（2021·全国·高二课时练习）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（）A．叫作函数值的增量B．叫作函数在上的平均变化率C．在处的导数记为D．在处的导数记为【答案】ABD【解析】【分析】由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.【详解】A中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；B中，称为函数在到之间的平均变化率，B正确；由导数的定义知函数在处的导数记为，故C错误，D正确.故选：ABD【例2】（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校高二期中）已知函数，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根据瞬时变化率的定义计算可得；【详解】解：因为，所以故选：D【例3】（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中（理））已知函数在处的导数为，则等于（

）A．－2 B．－1 C．2 D．1【答案】A【分析】根据导数的定义，即可判断.【详解】根据导数的定义可知.故选：A【例4】（2022·广东·珠海市第二中学高二期中）已知函数的导函数为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据导数的定义式直接求解.【详解】因为，所以，故选：D.【例5】（2022·全国·高三专题练习）设函数在点处附近有定义，且为常数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由导函数的定义可得选项.【详解】解：因为为常数，所以，故选：C.【例6】（2022·广西河池·高二阶段练习（理））函数在处的导数可表示为，即（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】结合导数定义直接选择即可.【详解】是的另一种记法，根据导数的定义可知C正确．故选：C【例7】（2021·全国·高二课时练习）设在可导，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据导数的定义，可直接计算出结果.【详解】因为在处可导，由导数的定义可得：.故选：D.【题型专练】1．（2021·陕西·榆林市第十中学高二阶段练习（理））已知函数在处的导数为2，则（

）A．－2 B．2 C．－1 D．1【答案】B【分析】利用导数的定义即得.【详解】∵函数在处的导数为2，∴.故选：B.2．（2022·全国·高二课时练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由导数的几何意义判断【详解】由图象可知在上单调递增故，即故选：B3．（2022·天津市武清区杨村第一中学高二阶段练习）设函数，则（

）A．1 B．5 C． D．0【答案】B【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.【详解】由题意，所以，所以原式等于.故选：B.4．（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学高三阶段练习（理））若函数在处可导，则的结果（

）．A．与，h均无关 B．仅与有关，而与h无关C．仅与h有关，而与无关 D．与，h均有关【答案】B【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】解：因为，所以结果仅与有关，而与h无关，故选：B.5．（2021·全国·高二专题练习）设在处可导，则（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】解：∵在处可导，∴，故选：C.6．（2022·全国·高二课时练习）已知，则在处的导数（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】根据条件可得出，即可得出的值.【详解】，．故选：C7．（2021·全国·高二单元测试）设函数在处可导，且，则等于（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】由导数的定义可得，因为，所以，故选：A.8.（2022·湖北襄阳·高二期末）若函数在处的导数为1，则（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3【答案】B【分析】利用导数的定义和几何意义即可得出．【详解】解：若函数在处的导数为1，．则．故选：B．9.（2022·上海·华师大二附中高二期中）已知函数，若，则______.【答案】－1【分析】根据题意，由导数的定义可得，计算即可得出结果.【详解】根据题意，由导数的定义可得，.故答案为：－1.题型三：导数的基本运算【例1】（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据导数运算性质判断各选项即可.【详解】因为,所以A错误；因为,所以B错误；因为,所以C错误；因为,所以D正确.故选:D.【例2】（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】利用导数四则运算法则和复合函数求导法则计算即可得到结果.(1)(2)(3)【例3】（2022·浙江·高三）已知函数（是的导函数），则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案；【详解】，，，，故选：D.【例4】（2022黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））已知，，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数的运算法则求解即可.【详解】，∴，，，，∴，∴.故选：A．【例5】（2023·全国·高三专题练习）下列求导运算错误的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数公式和运算法则判断【详解】解：A选项中，，故正确；B选项中，，故正确；C选项中，，故正确D选项中，，故错误，故选：D.【例6】（2022·湖南·高二期末）（多选题）下列结论正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用导数的运算公式和法则逐个分析判断即可【详解】若，则正确.若，则不正确.若，则正确.若，则正确.故选：ACD【题型专练】1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））下列求导运算不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用基本初等函数的求导公式、导数运算法则逐项分析计算即可判断作答.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D不正确.故选：D2.（2022·全国·高二课时练习）已知函数的导数是，且满足，则__________．【答案】2【分析】由求得，再令建立等式即可求出，即可求得解析式求出【详解】由得，，则，可得，则，.故答案为：23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝cosx+sinx，则的值为______．【答案】##【分析】对f（x）求导得到导函数，然后代入即可得到答案【详解】解：由题意得，f（x）＝f′（）cosx+sinx求导得所以解得，故答案为：．4．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）已知函数（是的导函数），则______．【答案】【分析】注意是一个常数，对求导，代入求得的值，从而得到的解析式，故易得.【详解】因为是一个常数，，所以，故，得，所以，故.故答案为：.5.（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的导数和导数的运算规则求导后可得正确的选项.【详解】，故选：C.6.（2022·陕西武功·二模（文