432等比数列的前n项和公式（6大题型）精练

等比数列的前n项和公式【题型1等比数列前n项和与基本量】1、（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（）A．160B．210C．640D．850【答案】B【解析】设等比数列的公比为，当时，，无解，所以，所以，两式相除得，则，所以.故选：B2、（2023·四川·校联考模拟预测）设为等比数列的前项和，且，则（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】设公比为，由题意，因为，所以，解得或，所以，故或．故选：C．3、（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）（多选）已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】设数列的公比为q，则，所以，解得或，即或．故选：BC．4、（2023·贵州黔东南·高二统考期末）（多选）已知等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若，则可能是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由题意，，，故，即，故，由等比数列的性质，，约去得到，故，解得或或.故选：ABD5、（2023·江苏盐城·高二校考期中）两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则．【答案】【解析】设数列，的公比分别为，则时，，即，当时，，即，当时，，即，联立，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意.所以.【题型2等比数列片段和的性质】1、（2023·贵州黔南·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为．若，则（）A．13B．16C．9D．12【答案】A【解析】设，则，因为为等比数列，根据等比数列的性质，可得仍成等比数列.因为，所以，所以，故.故选：A2、（2023·甘肃兰州·高二兰州一中校考期中）设等比数列的前项和为，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】等比数列的前项和为，则成等比数列，设，则，，所以，所以，所以，即.故选：A.3、（2023·江西南昌·高二校考阶段练习）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（）A．80B．30C．26D．16【答案】B【解析】是各项均为正数的等比数列的前项和，也为等比数列，又，该等比数列第一项，第二项.则公比，，.故选：B.4、（2023·河北衡水·高二河北安平中学校考阶段练习）已知是等比数列的前项和，且，，则.【答案】【解析】由数列是等比数列，是等比数列的前项和，所以成等比数列，且，所以，又因为，，所以，即，解得或，因为，所以.5、（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为.【答案】【解析】由等比数列的性质可得：，，成等比数列，则，由于，所以，当且仅当时取最小值，故最小值为【题型3等比数列奇数项与偶数项的和】1、（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，得到奇数项为，偶数项为，整体代入得，所以前项的和为，解得.故选：B2、（2022·高二单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（

）.A．8B．C．4D．2【答案】D【解析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,由题意易知，设奇数项之和为,偶数项之和为，易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，则，，所以,即.所以这个数列的公比为2.故选:D.3、（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（）A．30B．60C．90D．120【答案】D【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，又，则，解得，故数列的所有项之和是.故选：D4、（2022·高二课时练习）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为．【答案】【解析】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则，所以，，又，则，因此，.5、（2022·高二课时练习）在等比数列中，，，求的值.【答案】50【解析】设,，所以,所以，所以.【题型4等比数列前n项和的其他性质】1、（2023·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以，所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，所以，解得，故选：D2、（2023·重庆巫山·高二校考期末）下列说法正确的是（）A．若数列的公差，则数列是递减数列B．若数列的前项和，则数列为等比数列C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列D．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列；【答案】A【解析】若数列的公差，即，所以数列是递减数列，A选项正确；若数列的前项和，则，当时，，此时有，但，所以数列不是等比数列，B选项错误；若数列的前项和（为常数），则，当时，，此时有，但，当时，，所以数列不一定为等差数列，C选项错误；数列是等比数列，为前项和，当公比，为偶数时，则均为0，不为等比数列，D选项错误.故选：A3、（2023·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（）A．B．C．的最大值为D．的最大值为【答案】C【解析】若，则，，所以，与矛盾；若，则因为，所以，，则，与矛盾，因此，所以A正确．因为，所以，因此，即B正确．因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误．因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确．故选：C4、（2023·全国·高二专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（）A．q>1B．C．D．是数列中的最大项【答案】A【解析】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误；，则B正确；，则C正确；因为，所以是数列中的最大项，则D正确.故选：A.5、（2022·吉林通化·高二校考期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（）A．B．C．是数列中的最大值D．数列无最大值【答案】A【解析】根据题意，等比数列中，，则有，有，又由0，即，必有，由此分析选项：对于A，，故，A正确；对于B，等比数列中，，，则，则，即，B错误；对于C，，则是数列中的最大项，C错误；对于D，由C的结论，D错误；故选：A.【题型5等比数列中Sn与an的关系】1、（2023·北京·高二人大附中校考期中）在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（）A．0B．1C．3D．4【答案】B【解析】是以为公比的等比数列,所以，所以公比进而，所以，故选：B2、（2023·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和（为常数），则的值为（）A．B．C．1D．1【答案】C【解析】由题意等比数列的前项和，则时，，当时，，因为是等比数列，故必适合上式，故，故选：C3、（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知数列{}满足：则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，即，又，故是以1为首项，2为公比的等比数列，故，故.故选：B4、（2023·湖北黄冈·高三校联考期中）公比为2的等比数列的前项和为，若，则．【答案】【解析】公比为2的等比数列，，则.5、（2023下·湖北·高二十堰一中校联考期中）已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，.【答案】1【解析】由得：，两式相减整理得，又当时，，解得：，故是首项为，公比为的等比数列，，，可知，则，即当，时，取得最小值，，因为时，；时，，时，取最小值时，此时.【题型6等比数列前n项和的实际应用】1、（2022·天津·高三校联考期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（）A．228里B．192里C．126里D．63里【答案】B【解析】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为，则有，解得，故选：B.2、（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（）A．8B．10C．12D．16【答案】C【解析】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则是以2为公比的等比数列，，，解得，所以，．故选：C．3、（2023·北京·高二北京二十中校考期中）5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国最高的5G基站海拔6500米.从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队承建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万个）约为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设第一个工程队承建的基站数为万个，依题意，每个工程队承建的基站数由大到小依次排成一列构成等比数列，，数列的公比，，前8项和，因此，解得，所以第一个工程队承建的基站数万个.故选：B4、（2023·云南·高二云南师大附中校考期末）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户､存入规定数额资金､用于教育目的的专项储签，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策，若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，则一次性取出的金额总数为（）（假设教育储蓄存款的年利率为5%，取）A．14400元B．15400元C．16200元D．18500元【答案】A【解析】金额总数为元.结合各选项中的数据可知A最符合，故选：A.5、（2