26957942精讲练10不等式解法-2020-2021学年六年级数学寒假精讲练专题沪

精讲练10不等式解法【理解概念不透致错】例1、下列给出四个式子，①x>2②a≠0③5<3④a≥b其中是不等式的是（）A、①④B、①②④C、①③④D、①②③④错解、选A分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号，正解、选D【符号意义不清致错】例2、下列不等式①2a>a②a2+1>0③8≥6④x2≥0一定成立的是（）A、②④B、②C、①②④D、②③④错解、选A分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0”正解、选DCDAB例3CDAB错解，选A分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心圆点，表示将该位置点取上，虑心圆点，表示将位置点挖去不要，同时应注意画线的方向，按数轴从左到右方向看时，x>a、x≥a时向右画，反之向左画正解，选C例4、若，则下列不等式成立的是（）A、B、C、D、错解、B分析、本题错解属于对“<”、“≤”的应用不当，只考虑了这一情况，而忽略了x3=0时,原式也成立，正解、选D【性质运用不当致错】例5、对不等式变形正确的是()A、两边同除以3，得B、两边同除以3，得C、两边同除以3，得D、两边同除以3，得错解、选A分析、根据不等式的性质，不等式两边同除以一个不为0的正数时，不改变不等号的方向；但同除以一个不为0的负数时，要改变不等号的方向，本题变形是不等式两边同除以3，所以要改变不等号的方向，正解、选B【不等式和方程的对比】不等式和方程都是用来研究现实生活中数量关系的数学模型，它们既有区别又有联系，若能加强它们之间的对比，则会收到事半功倍的学习效果.同时，又能在一元一次方程的基础上学好不等式.概念的对比一元一次方程的一般形式为ax+b=0（a≠0）、标准形式为ax=b（a≠0）；一元一次不等式的一般形式为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）、标准形式为ax＞b或ax＜b（a≠0）.两者的相同点是化简后都只有一个未知数,且未知数的次数都是1;不同点是一元一次方程是用等号表示相等关系的式子,一元一次不等式是用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”等表示不等关系的式子.变形依据的对比一元一次方程的变形依据是等式的性质，一元一次不等式的变形依据是不等式的性质，见表名称等式的性质不等式的性质对称性若a=b，则b=a若a＞b，则b＜a传递性若a=b，b=c，则a=c若a＞b，b＞c，则a＞c性质1若a=b，则a±c=b±c若a＞b，则a±c＞b±c性质2若a=b，c≠0，则ac=bc，若a＞b，且c＞0，则ac＞bc，若a＞b，且c＜0，则ac＜bc，可见：等式两边都乘以（或除以）同一个数时，只须考虑这个数是否为零；而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，除了考虑这个数不能为零外，还必须考虑该数的正负性.求解过程的对比解题步骤完全类似,都经过五个步骤：“去分母”“去括号”“移项”“合并”“系数化为1”.由于两者变形依据不同,所以在解不等式的过程中“去分母”或“系数化为1”时，如果两边乘以（或除以）的数是一个负数，则改变不等号的方向.解题思路相同都是首先通过化简，转化为最简方程ax=b（a≠0）或最简不等式ax＞b或ax＜b（a≠0），然后系数化1.解和解集的对比一般地，一元一次方程的解通常只有一个，而一元一次不等式的解有无数个，由它们组成的解的集合简称为一元一次不等式的解集.它们的共同点是：不论是一元一次方程的解，还是一元一次不等式的解，都能使方程或不等式成立.它们在数轴上表示时不同:方程的解ｘ＝ａ在数轴上表示为一个点；不等式的解集ｘ≥ａ在数轴上表示为一条射线.标准的一元一次方程(ax=b)和标准的一元一次不等式（以ax＞b为例）解的比较ax=b的解有三种可能：⑴当a≠0时,有惟一解;⑵当a=b=0时,有无数个解;⑶当a=0,b≠0时,无解.对于形如ax＞b的不等式,我们可分以下几种情况来研究它的解.⑴若a＞0,则x＞;⑵若a＜0,则x＜;⑶若a=0,①b≥0时,不等式无解;②b＜0时,不等式的解为任意数.通过上述对比,可以发现尽管一元一次方程和一元一次不等式有着本质的区别,但它们也存在许多相似之处.类比方程学习不等式,可以充分利用已有的解方程的经验,来实现知识的正迁移.将不等式与方程对比学习,这样更有利于弄清两者的区别与联系,更能深入,透彻理解这两部分的知识.【如何学好不等式的性质】我们知道等式有两个基本性质，而不等式却有三个重要性质.不等式的三条性质和等式的性质一样，不等式的性质是不等式变形的重要依据.所以同学们必须深刻理解，熟练掌握，才会灵活运用.因此同学们在学习不等式的性质时，应注意以下三个问题：一、注意不等式的性质与等式的性质区别和联系不等式的性质与等式的性质既有本质的区别，又有着内在的联系.其联系在于：不等式两边加（或减）同一个数或式子，都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；而等式两边加（或减）同一个数或式子，都乘（或除以）同一个正数，结果仍相等.区别在于：对于等式来说，在两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等；而对于不等式来说，在用负数乘以（或除以）不等式的两边时，不等号的方向却要改变．正是因为不等式的性质与等式的性质的这种联系及区别，导致了解一元一次不等式与解一元一次方程的联系及区别.二、注意对不等式性质3的理解与运用不等式的基本性质3是指：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.用字母表示为：如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或＜.就是说，在不等式的两边可以随意加（或减）同一个式子，却不能在不等式的两边任意乘（或除以）同一个式子.这是因为不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向不变.这条性质对初学者来说最容易忽视，导致不等式变形错误，应加以重视.三、注意对不等号的方向变与不变的理解为了能清楚地说明不等号的方向变与不变，我们还是通过例题来说明：由不等式5＞2可以得到5±3＞2±3，或许有的同学会认为，在不等式都加上或减去3，不等号的方向并不发生改变，这是利用不等式的性质1，但若不等式5＞2可以得到2±3＜5±3，仍然成立，这个好象同学们不理解，事实上，这与不等式的性质1仍然是一致的，关键在于，判断一个不等式的不等号方向变与不变，应将原不等式的左右两边经过变形后仍然放在不等式的左、右两边，然后再根据不等式的性质来确定不等号的方向变与不变.又如由不等式5≥2可以得到5×(－2)≤2×(－2)，这时由于在不等式两边同乘以了一个“－2”，所以不等号的方向要改变.再如，已知关于x的不等式2＜(1－a)x的解集为x＜，则a的取值范围应该是a＞1.这是因为对照已知条件中两个不等式，可以发现，已知不等式左、右两边经过变形后位置发生了改变，即2在原不等式的左边，经过变形后在右边，含x的项在已知不等式的右边，经过变形后在左边，因此应先将2＜(1－a)x变形为(1－a)x＞2，再根据不等式的性质确定a的取值范围.即根据不等式的性质3，得1－a＜0，所以a＞1.总之正确理解与运用不等式的基本性质，尤其是基本性质3，是学好不等式的关键，同学们在学习时不妨多运用具体问题加以巩固和训练.【感悟“不等式的基本性质3”】不等式的基本性质3：如果，并且c<0，那么ac<bc．我们以“同乘一个负数（如－2）”为例加以验证．（1）若a，b同为负数，如－3>－4，而（－3）×(－2)=6，（－4）×（－2）=8．因为6<8，所以（－3）×（－2）<（－4）×（－2）．（2）若a=0，b<0，如0>－3，而0×(－2)=0，(－3)×(－2)=6．因为0<6，所以0×（－2）<(－3)×(－2)．（3）若a，b为一正数一负数，如2>－3，而2×(－2)=－4，(－3)×(－2)=6．因为－4<6，所以2×（－2）<（－3）×（－2）．（4）若a>0，b=0，如2>0，而2×(－2)=－4，0×(－2)=0，因为－4<0，所以2×（－2）<0×（－2）．（5）若a，b同为正数，如3>2，而3×(－2)=－6，2×(－2)=－4．因为－6<－4，所以3×（－2）<2×(－2)．总之，如果a>b，c<0，无论a，b取哪种情况下的数，都有ac<bc．例用不等号填空，并简要说明理由．（1）若，则．（2）若a>b，则．解：（1）>；依据不等式的性质3，在不等式的两边都乘以－2，得．（2）≤；因为，当时，依据不等式的性质3，在不等式的两边都乘以，得；当，得．总之，．注：此题在解答中，易忽视c=0的情况，而错填“<”【不等式解集表示四法】我们已经学习了不等式，那么，不等式的解集有哪些表示形式呢？大的方面讲主要有：“不等号法”，即用不等号（≠、≤、≥、＜、＞）表示解集，其特点是准确；“图示法”，即用数轴加折线表示解集，其显著的特点是直观；“列举法”，即把解集列举出来，其特点具体；“综合法”为了发挥它们的各自的特点，通常综合运用上述的方法.一、不等号表示法例1、不等式2x≥3的解集是__________简析移项得23≥x,合并得x≤1.所以填x≤1.例2、若a>b则3a－2_______3a－2(填“>”“=”“<”)分析因为a>b所以3a>3b,3a－2>3b－2应填“>”号.二、图示表示法例3、不等式≥3的解集在数轴上表示正确的是()DBDBAC图1析解移项得:2x≥31;合并得：2x≥2；两边同除以2得x≥1；所以选如图1中的D.三、列举表示法例4、不等式的负整数解是.简析移项得x＞3解得x＞6,所以不等式的负整数解是5、4、3、2、1.102102图231解集如图2所示，则这个不等式的正整数解是＿＿简析由图可知不等式的正整数解是1.四、综合表示法例6、在数轴上表示不等式2x6≥0的解集，正确的是（）··03O·O3O33O·····BACD图3简解由不等式移项得2x≥6,解得x≥3;由图3知:A的解集是x＞3,C的解集是x≥3,D的解集是x≤3,所以选B.例7、已知实数在数轴上对应的点如图4所示，则下列式子正确的是（）．·····x图4·····x图4C．D．简析：因为0<a<1b<－1所以ab<0|b|>|a|a+b<0A、B、D均不正确，选C.不等式的解集还有其它的表是方法.如不等号与文字结合表示(x＞3的整数)等,请同学们注意总结.【不等式的运算口诀】一、不等式性质不等式的三条基本性质是不等式变形的依据，它不仅表明了不等号的方向变与不变，更重要的是，变形后的不等式与原来不等式的解集完全相同，只是形式上发生了变化.特别注意的是基本性质3，不等式两边同或除以一个负数，不等号的方向一定要改变.为了好记，不等式的三条基本性质可以浓缩成下面一句话：加减不变乘除负变正不变.二、在数轴上表示不等式解集的方法用数轴表示不等式的解集一般的有下列四种情况：a图1a图1aa图22.x＜a，如图2aa图33.x≥a，如图3aa图44.x≤a，如图4用数轴表示不等式的解集体现了数形结合的思想，是研究不等式解集的重要手段，也是学习不等式组的重要工具，而同学们往往由于记错而用错，下面的口诀会帮助你记住它.大向右，小向左，有等点，无等圈.三、确定不等式组解集的方法借助数轴可以确定出不等式组解集下列四种情况：不等式组（其中a＞b）的解集为：x＞a.不等式组（其中a＞b）的解集为：x＜b.3.不等式组（其中a＞b）的解集为：b＜x＜a.4.不等式组（其中a＞b）的解集为：无解.它是解不等式组的关键，利用数轴非常直观的就能总结出来。但是，由于情况较多所以很容易混淆，导致解不等式组出错，下面的口诀会帮助你会帮助你记牢用准.大中取大，小中取小.中间正好，两边空了.【一元一次不等式的易错点整理】一、一元一次不等式的解法易错点归纳1.去括号时，错用乘法分配律【例1】解不等式3x+2（24x）＜19.错解：去括号，得3x+44x＜19，解得x＞15.诊断:错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.正解:去括号，得3x+48x＜19，5x＜15，所以x＞3.2.去括号时，忽视括号前的负号【例2】解不等式5x3（2x1）＞6.错解：去括号，得5x6x3＞6，解得x＜3.诊断：去括号时，当括号前面是“”时，去掉括号和前面的“”，括号内的各项都要改变符号.错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号.正解:去括号，得5x6x+3＞6，所以x＞9，所以x＜9.3.移项时，不改变符号【例3】解不等式4x5＜2x9.错解：移项，得4x+2x<95，即6x<14，所以诊断:一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样,移项就要改变符号，错解忽略了这一点.正解:移项，得4x2x<9+5，解得2x<4，所以x<2.4.去分母时，忽视分数线的括号作用【例4】解不等式错解：去分母，得，解得：诊断:去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用.正解:去分母，得6x（2x5）＞14，去括号，得5.不等式两边同除以负数，不改变方向【例5】解不等式3x－6＜1+7x.错解：移项，得3x－7x＜1+6，即－4x＜7，所以诊断：将不等式－4x＜7的系数化为1时，不等式两边同除以－4后，根据不等式的基本性质：不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解.正解：移项，得3x－7x＜1+6，即－4x＜7，所以所以x＞6.去分母时，漏乘不含分母的项【例6】解不等式错解：去分母，得x2（x1）＞3x+1，去括号，解得诊断:去分母时，要用最简公分母去乘不等式两边的每一项.而错解只乘了含有分母的项，漏乘了不含有分母的项.正解:去分母，得6x2（x1）＞3x+6，去括号，得6x2x+2＞3x+6，解得x＞4.7.忽视对有关概念的理解【例7】求不等式的非负整数解.错解：整理，得3x≤16，所以故其非负整数的解是1，2，3，4正解：非负整数的解是0，1，2，3，4,58.在数轴上表示解集时出现错误【例8】解不等式：3（1－x）≥2（x+9），并把它的解集在数轴上表示出来.错解：整理，得－5x≥15，所以x≤－3，在数轴上表示如图1所示.诊断：本题求得的解集并没错，问题出在将解集在数轴上表示出来时出现了错误，即有两处错误：一是方向表示错误，不应该向右，而应该向左；二是不应用空心圆圈表示，而应用实心圆圈表示.正解：整理，得－5x≥15，所以x≤－3，在数轴上表示如图2所示.注：上述三例告诉我们解一元一次不等式时一定要认真分析题目的结构特征，灵活运用解一元一次不等式的步骤，正确理解有关概念，才能及时避开陷阱，准确、快速的求解.9.不等式组解集忽视等号【例9】若不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是（）.A.a＜2B.a≤2C.a＞2D.a≥2错解：原不等式组可化简为得a＜2，故选A.诊断：当a=2时，原不等式组变为解集也为x＞2.正解：应为a≤2，故选B.10.忽视了字母的范围【例10】解关于x的不等式m（x2）＞x2.错解：化简，得（m1）x＞2（m1），所以x＞2.诊断:错解在默认为m1＞0，实际上m1还可能小于或等于0.正解:化简，得（m1）x＞2（m1），①当m1＞0时，x＞2；②当m1＜0时，x＜2；③当m1=0时，无解.【例11】解不等式（a－1）x＞3.错解：系数化为1，得.诊断：此题的未知数系数含有字母，不能直接在不等式两边同时除以这个系数，应该分类讨论.正解：①当a－1＞0时，；②当a＝1时，0×x＞3，不等式无解；③当a－1＜0时，.12.套用解方程组的方法解不等式组【例12】不等式组的解集为___________.错解：两个不等式相加，得x1＜0，所以x＜1.诊断：这是解法上的错误，它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈，不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，求得的公共部分就是不等式组的解集，而不能用解方程组的方法来求解.正解：解不等式组，得在同一条数轴上表示出它们的解集，如图，以不等式组的解集为：.【例13】解不等式组错解：因为5x3＞4x+2，且4x+2＞3x2，所以5x3＞3x2.移项，得5x3x＞2+3.解得.诊断：上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在的条件下，任取一个x的值，看是否正确.如取x＝1，将它代入5x3＞4x+2，得2＞6（不成立）.可知不是原方程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集.正解：由5x3＞4x+2，得x＞5.由4x+2＞3x2，得x＞－4.综合x＞5和x＞－4，得原不等式组的解集为x＞5.二、不等式的应用问题1．市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％和95％．（1）若购买树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株?（2）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗?（3）若希望这批树苗的成活率不低于92％，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗?【分析】：由题意可知，第一题存在等量关系，考虑用方程来解决；后两个问题存在不等关系，可用不等式来解决．【详解】（1）设购甲种树苗x株，则乙种树苗为(500－x)株．依题意得50＋80(500—)＝28000解之得：＝400∴500－＝500－400＝100即：购买甲种树苗400株，乙种树苗100株．（2）由题意得：50＋80(500－)34000．解之得200即：购买甲种树苗不小于200株．（3）由题意可得90%x＋95％(500—x)≥92％·500∴300设购买两种树苗的费用之和为y元，则＝50＋80(500－)＝40000－30所以＝40000－30，其中的值随的增大而减小，所以＝300时有最小值，＝40000－30300＝31000．【考点】本题考察了方程与不等式知识在实际问题中的应用．2．下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素的含量及成本：甲乙丙维生素（单位/千克）400600400维生素（单位/千克）800200400成本（元/千克）654某食物营养研究所将三种食物混合成110千克的混合物，使之至少需含48400单位的维生素及52800单位的维生素．求三种食物所需量与成本的关系式．【详解】设需甲、乙两种食物分别为千克，则丙需千克，设共需成本元，应有【考点】本题考察了列不等式组的能力，解题关键应抓住体现不等关系的关键词语.如“至少”等．3.小明和小亮共下了10盘围棋，小明胜一盘计1分，小亮胜一盘计3分．当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高于小明．他们各胜过几盘？（已知比赛中没有出现平局）【分析】此题是一道反映不等关系的应用题，抓住“当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高于小明”这样的关键语句表示不等关系；另外应当明确在比赛中，小明赢的盘数恰好等于小亮输的盘数．【详解】设下完10盘棋后，小亮胜了盘，根据题意得，，解得，则不等式组的正整数解为，所以小亮胜3盘，小明胜7盘．【不等式（组）在实际问题中问题的应用】创设丰富多彩的密切联系生活、旅游、商品购销、生产等市场经济的实际问题的情景，让学生从数学的视角探究问题的解题策略，是新课程标准设定的一个重要目标，为了适应这一理念，全国课改实验区的命题专家进行了有益的尝试，本文试摘取可抽象、转化建立起与不等式（组）这一数学模型进行解决的若干个实例加以剖析，以飨读者.一、旅游租车问题“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元．（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案．分析：（1）题目中已经告诉2种不同座位的客车的每辆的租金，只需求出承载385名师生所需每种客车所需的总辆数，便可求出学校单独租用这两种车辆各需多少钱.有如下解法：∵385÷42≈9.2，∴单独租用42座客车需10辆，租金为320×10＝3200元．又385÷60≈6.4，∴单独租用60座客车需7辆，租金为460×7＝3220元．（2）本问中的不等关系我们可从2个角度探究①2种客车8辆承载的人数应不少于385名；②租用2种客车8辆的租金应低于3200元（这是因为试题要求“要比单独租用一种车辆节省租金”）.若设租用42座客车x辆，则60座客车（8－x）辆，便可得到如下的不等式组：；解之得：≤x<．∵x取整数，∴x＝4，5．当x＝4时，租金为320×4＋460×（8－4）＝3120元；当x＝5时，租金为320×5＋460×（8－5）＝2980元．比较2个方案，显然租用42座客车5辆，60座客车3辆时，租金最少．二、优化购车方案的设计问题晓跃汽车销售公司到某汽车制造厂选购A、B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆.(1)求A、B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？(2)若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元，销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？分析：(1)根据题目中“用300万元提供的2种购车方案”容易布列方程组求出A、B两种型号的轿车的单价.若设A型轿车每辆为x万元，B型轿车每辆为y万元，则有解得，∴A、B两种型号的轿车每辆分别为15万元10万元.(2)阅读分析本问告知的条件可以发现提供的2个不等关系（关键的标志是：不超过、不低于2个词语）①不超过400万元购车资金；②全部售出后总获利不低于20.4万元的利润.据此2个不等关系，若设购进A型号轿车a辆，则购进B种型号轿车(30－a)辆，则有解之得18≤a≤20.∵a是整数∴a=18，19，20.∴有三种购车方案.方案1：购进A型轿车18辆，购进B型轿车12辆；方案2：购进A型轿车19辆，购进B型轿车11辆；方案3：购进A型轿车20辆，购进B型轿车10辆；汽车销售公司将这些车全部售出后：方案1获利18×0.8+12×0.5=20.4(万元)方案2获利19×0.8+11×0.5=20.7(万元)方案3获利20×0.8+10×0.5=21(万元)所以有三种购车方案.在这三种购车方案中，汽车销售公司将这些轿车全部售出后分别获利为20.4万元，20.7万元，21万元.三、工艺品的制作问题的探