61分类加法计数原理与分步乘法计数原理（八大题型）

6．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理【题型归纳目录】题型一：分类加法计数原理题型二：分步乘法计数原理题型三：两个原理的综合应用题型四：组数问题题型五：占位模型中标准的选择题型六：涂色问题题型七：种植问题题型八：列举法【知识点梳理】知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理）1、分类加法计数原理：完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法．2、加法原理的特点是：①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．知识点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和．知识点二、分步乘法计数原理1、分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．2、乘法原理的特点：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；②完成每一步有若干种方法；③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．知识点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积．知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别：1、分类计数原理和分步计数原理的区别：两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关．完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．知识点四、分类计数原理和分步计数原理的应用1、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型①分类或分步．②先分类，再在每一类里再分步．③先分步，再在每一步里再分类，等等．（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？【典型例题】题型一：分类加法计数原理例1．（2022·全国·高三专题练习）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.【答案】9【解析】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法，若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有种.故答案为：9.【方法技巧与总结】应用分类加法计数原理应注意如下问题（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．（2）无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．例2．（2022·全国·高三专题练习）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．【答案】【解析】依题意按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有种，中线路中只有种，下线路中有（种．根据分类计数原理，共有（种．故答案为：．例3．（2022·全国·高三专题练习）某大学开设选修课，要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从6个科目中选择3个科目进行研修．已知某班级a名学生对科目的选择如表所示，则的一组值可以是______．科目国际金融统计学市场管理历史市场营销会计学人数2428141519b【答案】（答案不唯一，为正整数且满足即可）【解析】依题意，，即，是满足该式的正整数即可．故答案为：（答案不唯一，为正整数且满足即可）变式1．（2022·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高二期中）某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中选一人担任学生会主席，共有_____一种不同选法.【答案】152【解析】有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中任选一人有：50+50+52=152种方法.故答案为：152题型二：分步乘法计数原理例4．（2022·全国·高三专题练习）直线方程，若从1，2，3，4这四个数字中每次取两个不同的数作为系数，的值，则方程表示不同直线的条数是_________.【答案】10【解析】第一步，给A赋值有4种选择，第二步，给B赋值有3种选择，由分步乘法计数原理可得：(种).又因为与表示同一直线与也表示同一直线，所以形成不同的直线最多的条数为，故答案为：10【方法技巧与总结】利用分步乘法计数原理解题的一般思路（1）分步：将完成这件事的过程分成若干步．（2）计数：求出每一步中的方法数．（3）结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．例5．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【答案】【解析】原来个节目，形成个空位，安排一位老校友；个节目，形成个空位，安排一位老校友；个节目，形成个空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有种.故答案为：例6．（2022·全国·高三专题练习）现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为______种．【答案】12【解析】由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，从中四件不同款式的上衣中，任选一件有种选法，从中三件不同颜色的长裤中，任选一件有种选法，根据分步计数原理，可得共有种不同的选法.故答案为：12题型三：两个原理的综合应用例7．（2022·河北省文安县第一中学高二期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（

）A．5 B．7 C．8 D．12【答案】C【解析】要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为．故选：C．【方法技巧与总结】使用两个原理的原则使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理．例8．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（

）A．18 B．16 C．14 D．10【答案】C【解析】分两类情况讨论：第一类，从中取的元素作为横坐标，从中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有（个）；第二类，从中取的元素作为纵坐标，从中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个），由分类加法计数原理，所以所求个数为．故选：C例9．（2022·山东菏泽·高二期中）如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（

）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由图可知，从甲村直接到到丙村的走法有种，从甲村到乙村再到丙村的走法有种，所以从甲村到丙村的走法共有种.故选:D.题型四：组数问题例10．（2022·广东广州·高二期末）用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（

）A．6 B．12 C．16 D．24【答案】B【解析】先排个位，有4种排法，再排十位，有3种排法，因此共有种排法，故选：B.【方法技巧与总结】对于组数问题，应掌握以下原则（1）明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置（末位或首位）分类，分类中再按特殊位置（特殊元素）优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解．（2）要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位．例11．（2022·全国·高三专题练习）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（

）A．648个 B．720个 C．810个 D．891个【答案】D【解析】根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据分步乘法计数原理，共有种排法，其中各位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有种.故选：D.例12．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（

）A．125种 B．100种 C．64种 D．60种【答案】B【解析】首先排百位数字，只能是1，2，3，4中的一个，故有4种排法，因为允许有重复数字，故十位与个位均有5种排法，故一共有种；故选：B变式2．（2022·全国·高二课时练习）若一个三位数的各位数字之和等于，且各位数字允许重复（如，等），则这种三位数的个数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若百位为，则十位可从中任选一个数，有种选法，又各位数字之和等于，个位只有种选法，有个满足条件的数；若百位为，则十位可从中任选一个数，此时个位只有种选法，有个满足条件的数；同理可知：若百位分别为，依次可得满足条件的数有个.根据分类加法计数原理可知：这种三位数共有个.故选：A.变式3．（2022·全国·高二课时练习）用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（

）A．24个 B．12个 C．18个 D．6个【答案】B【解析】由题意可知，百位上的数字为2或3，十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个数字，个位上的数字再在剩下的2个数字中任选1个，故比200大的3位数的个数为.故选：B变式4．（2022·全国·高二课时练习）将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有（

）.A．6种 B．12种 C．18种 D．24种【答案】A【解析】因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，所以只能填在第一行第一列，只能填在第行第列，只能填在第一行第二列，有种填法（第一行第三列或第三行第一列），5填好后与之相邻的空格可填6，7，8任一个，余下两个数字按从小到大的顺序填入剩余空格只有一种方法，所以共有2×3=6（种）方法，故选；A．题型五：占位模型中标准的选择例13．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一楼到4楼共有走法种数为（

）A．6 B．23 C．42 D．43【答案】B【解析】由题意得可知：由一层走到二层有两种选择，由二层走到三层有两种选择，由三层走到四层有两种选择，根据分步计数法的原则可知共有种走法.故选：B【方法技巧与总结】在占位模型中选择按元素还是按位置进行分解的标准是“唯一性”，即元素是否选、选是否只选一次，位置是否占、占是否只占一次．解题时一般选择具有“唯一性”的对象进行分解．例14．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）3名志愿者，每人从4个不同的岗位中选择1个，则不同的选择方法共有（

）A．12种 B．64种 C．81种 D．24种【答案】B【解析】每个人都有4种选择，故不同的选择方法共有种.故选：B例15．（2022·福建福州·高二期末）6名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（

）A．20 B． C． D．120【答案】B【解析】依题意，每位同学都有3种选法，所以不同的选法种数是.故选：B变式5．（2022·广东广州·高二期末）3名同学报名参加足球队、篮球队，每名同学限报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数是（

）A．8 B．6 C．5 D．9【答案】A【解析】依题意，每名同学报名方法数是2，所以3名同学不同的报名方法的种数是.故选：A变式6．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（

）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种【答案】D【解析】由题，每个同学有2种选择，故不同报名方式为，故选：D题型六：涂色问题例16．（2022·宁夏·贺兰县景博中学高二阶段练习（理））用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】C【解析】对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有种涂色方法，对于④，与②③相邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步乘法计数原理得种不同的涂色方法.故选:C【方法技巧与总结】解决涂色问题的一般思路（1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．（2）以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．（3）将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．例17．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习）给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（

）A．120种 B．720种 C．840种 D．960种【答案】D【解析】A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C有4种颜色可选，E有4种颜色可选，故共有5×4×3×4×4＝960种不同的涂色方法．故选：D．例18．（2022·江苏盐城·高二期末）给四面体ABCD的六条棱涂色，每条棱可涂红、黄、蓝、绿四种颜色中的任意一种，且任意共顶点的两条棱颜色都不相同，则不同的涂色方法种数为（

）A．24 B．72 C．96 D．144【答案】C【解析】由题意，第一步涂有四种方法，第二步涂有三种方法，第三步涂有二种涂法，第四步涂，若与同，则一种涂法，第五步可分两种情况，若与同色，最后一步涂有2种涂法，若第四步涂，与不同，则涂第四种颜色，此时，各有一种涂法综上，总的涂法种数是．故选：C．变式7．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（

）A．36 B．400 C．420 D．480【答案】C【解析】根据题意，分4步进行分析：①，对于区域，有5种颜色可选；②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域、有种选择，则不同的涂色方案有种；故选：C．变式8．（2022·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有种方法，最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种，若安徽与陕西不同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有3种方法，涂江西、湖南也各有种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种方法，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种.故选：C变式9．（2022·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（

）A．48种 B．64种 C．96种 D．144种【答案】C【解析】根据题意，假设正五角星的区域为，，，，，，如图所示，先对区域涂色，有3种方法，再对，，，，这5个区域进行涂色，因为，，，，这5个区域都与相邻，所以每个区域都有2种涂色方法，所以共有种涂色方法．故选：C.题型七：种植问题例19．（2022·全国·高三专题练习）某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．（用数字作答）【答案】180【解析】先在1中种植，有5种不同的种植方法，再在2中种植，有4种不同的种植方法，再在3中种植，有3种不同的种植方法，最后在4中种植，有3种不同的种植方法，所以不同的种植方案共有（种）．故答案为：180．【方法技巧与总结】种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．例20．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________种.【答案】12【解析】A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有2种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有1种种植方法.B在左边种植的情形与上述情形相同.故共有2×(3＋2＋1)＝12(种)不同的选垄方法.故答案为：12例21．（2022·湖北·高二阶段练习）如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）【答案】260【解析】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种，当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种，所以不同的种植方案共有种，故答案为：260变式10．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种.（以数字做答）【答案】42【解析】题型八：列举法例22．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（

）A．144 B．96 C．72 D．60【答案】D【解析】将6串香蕉编号为1，2，3，4，5，6．把“2，3，4，5，6”取完，方法为23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10种，再把1插入其中，每个有6种插法．共有60种方法，故选：D．【方法技巧与总结】将所有情况一一列举出来．例23．元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（

）A．6种 B．9种 C．11种 D．23种【答案】B【解析】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d，当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式；同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式，由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式；解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡，如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）．故选：B.例24．（2022·全国·高三专题练习）已知正整数有序数对满足：①；②．则满足条件的正整数有序数对共有（

）组．A．24 B．12 C．9 D．6【答案】B【解析】由题意知，为正整数，故由可得，因为，故，则满足的数为3和2，则有序数对可能为，再由可得，则的可能有共6种情况，故满足条件的正整数有序数对共有组，故选：B变式11．（2022·全国·高三专题练习）将编号的小球放入编号为盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有__种．【答案】12.【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，只能放入3号盒，号球放入号盒，有2种不同的放法；同理当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种．故答案为：12．【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，用不同的五种颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则复合这些要求的不同着色的方法共有（

）ABCDEA．500种 B．520种 C．540种 D．560种【答案】C【解析】先涂A，则A有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法同理C有3种涂法，D有3种涂法，E有3种涂法由分步乘法计数原理可知，复合这些要求的不同着色的方法共有为5×4×3×3×3＝540故选：C.2．（2022·浙江杭州·高三期中）正整数2160的不同正因数的个数为（

）．A．20 B．28 C．40 D．50【答案】C【解析】因为，所以其质因数属于集合，该集合的元素个数为，所以正整数2160的不同正因数的个数为40，故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）某奥运村有，，三个运动员生活区，其中区住有人，区住有人，区住有人已知三个区在一条直线上，位置如图所示奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（

）A．区 B．区 C．区 D．，两区之间【答案】A【解析】若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米；若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米；若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米；若停靠点为区和区之间时，设距离区为米，所有运动员步行到停靠点的路程和为：，当取最小值，故停靠点为区．故选：A4．（2022·全国·高二课时练习）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（

）．A．80种 B．120种 C．160种 D．240种【答案】B【解析】第一步，对1号区域，栽种有4种选择；第二步，对2号区域，栽种有3种选择；第三步，对3号区域，栽种有2种选择；第四步，对5号区域，栽种分为三种情况，①5号与2号栽种相同，则4号栽种仅有1种选择，6号栽种有2中选择，②5号与3号栽种相同，情况同上，③5号与2、3号栽种都不同，则4、6号只有1种；综上所述，种.故选：B.5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一开学考试）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（）A．12种 B．13种C．14种 D．15种【答案】C【解析】由题意这只小虫子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE,ABCDPFE,ABPDE,共14种，故选：C6．（2022·全国·高三专题练习）解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（

）A．4种 B．5种 C．6种 D．9种【答案】B【解析】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有（种）.故选：B.7．（2022·重庆十八中高二期末）体育场南侧有3个大门，北侧有2个大门，某学生到该体育场练跑步，每个门都可进出，则他进出门的方案共有（

）A．6种 B．10种 C．5种 D．25种【答案】D【解析】由于每个门都可进出，故某学生进出都有5种可能，故他进出门的方案共有种，故选：D8．（2022·江西·高二阶段练习）已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（

）A．64种 B．81种 C．7种 D．12种【答案】A【解析】3位居民依次选择检测点，方法数为．故选：A．二、多选题9．（2022·广东·顺德一中高二期中）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（

）A．只需1人参加，有16种不同选法B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法【答案】ABC【解析】选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有种选法，故A正确；选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有种选法，故B正确；选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有种选法，故C正确；选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误.故选：ABC.10．（2022·福建省永春第一中学高二期中）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则下列选项中恰有8种不同站法的是（

）A．甲、乙都不与老师相邻 B．甲、乙都与老师相邻C．甲与老师不相邻，乙与老师相邻 D．甲、乙相邻【答案】CD【解析】对于A，甲、乙只能站左、右两端，有2种站法，丙、丁在老师相邻两边，有2种站法，所以有种站法，不符合；对于B，同A一样，有4种站法，不符合；对于C，甲站两端，有2种站法，乙与老师相邻，有2种站法，丙、丁站剩下位置，有2种站法，所以有种站法，C符合；对于D，甲、乙要么都在老师左边，要么都在老师右边，且甲、乙还可以相互交换，有种站法，丙、丁站剩下两个位置，有2种站法，所以共有种站法，D符合．故选：CD.11．（2022·河北·高阳中学高二阶段练习）有一项活动，需在3名老师、8名男学生和5名女学生中选人参加，则下列结论正确的是（

）.A．若只需1人参加，则有16种不同的选法B．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有16种不同的选法C．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同的选法D．若需1名老师、1名学生参加，则有16种不同的选法【答案】AC【解析】由题意，有一项活动，需在3名老师、8名男学生和5名女学生中选人参加，共有人，若只需1人参加，由分类计数原理，可得有3+8+5=16（种）不同的选法，所以A正确；若需老师、男学生、女学生各1人参加，由分步计数原理，可得有3×8×5=120（种）不同的选法，所以B错误，C正确；若需1名老师、1名学生参加，由分步计数原理，可得有3×13=39（种）不同的选法，所以D错误．故选：AC12．（2022·全国·高三专题练习）现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（

）.A． B． C． D．6×5×4×3×2【答案】BCD【解析】根据题意，每位同学都有5种选择，共有（种）不同的选法，所以A正确，B，C，D错误．故选：BCD.三、填空题13．（2022·全国·高二课时练习）五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有______种．【答案】【解析】每名高中生均有种报名方法，不同的报名方法有种.故答案为：.14．（2022·全国·高二课时练习）直线l的方程为，若从0，1，3，5，7，8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示______条不同的直线．【答案】22【解析】当A或B中有一个为0时，有2条不同的直线；当时，有条不同的直线,故共有条不同的直线,故答案为：2215．（2022·江苏苏州·高二期末）乘积式展开后的项数是___________.【答案】18【解析】依题意从第一个括号中选一个字母有种方法，从第二个括号中选一个字母有种方法，从第三个括号中选一个字母有种方法，按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项；故答案为：16．（2022·江苏·响水县第二中学高二期中）用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，涂色方法有______种.【答案】320【解析】先从左边第一个格子开始涂色，第一个格子有5种涂色方法，第二个格子有4种涂色方法，第三个格子有4种涂色方法，第四个格子有4种涂色方法，所以共有种不同的涂色方法.故答案为：.四、解答题17．（2022·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．【解析】（1）共可组成4×3×2×1＝24个四位数，这24个四位数的数字和为．（2）这24个四位数中，数字2在千位的有3×2×1＝6个，同样，3、5、7在千位的各有6个．同理，2、3、5、7在百位、十位、个位各出现6次．所以所有数之和为18．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期中）用0，1，2，3，4五个数字.(1)可以排成多少个三位数？(2)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？【解析】(1)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二或第三位可以排0，因此，共有4×5×5=100（个）.(2)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3=12（种）排法；另一类是末位数字不