第五章一元函数的导数及其应用章末测试卷

第5章一元函数的导数及其应用章末测试卷时间120分钟，满分150一、单选题1．函数fx=axa+bA．3 B．4 C．2 D．-【答案】A【分析】根据f'x列方程，求得a,【详解】f'所以aa+b所以a+故选：A2．若0<x1<A．ex2-C．x2ex【答案】C【分析】构造函数fx=ex-lnx，利用导数讨论单调性即可判断A和【详解】令fx=e令h(x即f'x=且f因此在区间0,1上必然存在唯一x0使得f所以当x∈0,x0时fx故A，B均错误；令gx=e当0<x<1时，∴gx在区间0,1∵0<x1<x2，∴选项C正确，D不正确.故选:C.3．已知函数f(x)=sin2x-xfA．3x+y-π=0 B．3x【答案】A【分析】先求出函数f(x)=sin2x【详解】因为f'(x)=2cos2x所以f(即切点π所以切线方程为：y+π2故选：A.4．曲线y=x3-2A．y=-2x BC．y=-12【答案】A【分析】对y=x【详解】因为y=x3所以曲线y=x3-2又因为当x=0时，y所以曲线y=x3-2x在故选：A.5．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若lim△x→0A．-1 B．-14 C．1【答案】A【分析】根据极限与导数的定义计算．【详解】f故选：A．6．函数fx的导函数f'x的图象A．x=12为函数fx的零点 B．C．函数fx在12,2上单调递减 D．f【答案】C【分析】根据导函数图象，导函数与原函数的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由f'x的图象可得，当x<-2时，f'(当12<x<2时，f所以fx在-2,12和2,+∞上单调递增，在所以x=2为fx的极小值点，所以B选项错误，x=12是f'xf-2是函数fx的极小值，但不一定是最小值，所以故选：C7．已知函数fx=x3-f'A．e2-12e B．3e【答案】D【分析】先求导，令x=1，求出f'【详解】依题意，f'x=3故f'1=3-f'12故选：D．8．已函数fx及其导函数f'x定义域均为R，且fx-f'x>0A．xx>0 B．xx<0 C．【答案】B【分析】根据已知不等式构造函数，利用导数判断所构造的新函数的单调性，然后利用单调性进行求解即可.【详解】由fx>ex⇒所以由fx故选：B二、多选题9．已知ln1021+1921A．a>b B．c>b C．【答案】BCD【分析】由题意，构造函数f(x)=(2-x【详解】令f(x则f'(x)在则f(x)在-即1.9ln2.1>2ln2>2.1ln1.9，即ln2.11.9>ln令g(g'所以g'(x)在得g(x)则g(0.1)=ln2.11.9故选：BCD．10．已知f(x)=x3A．存在b,d使得B．任意b､d,f(C．若x1,x2D．若f(x)在【答案】ABD【分析】对于A，当b=d=0时对于B，设函数的对称中心为(m,n)对于C，求导，由题意和韦达定理可得x1x2对于D，由题意可得f'x≥0恒成立，由【详解】解：对于A，当b=d=0时对于B，设函数的对称中心为(m,n)又因为f(2m-2n所以6m+b所以f(x)对于C，因为f'又因为x1,x所以x1x2=1对于D，若fx单调，则有f'所以Δ=4b解得-3≤b≤故选：ABD.11．对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0，给出定义：设f'x是函数y=fx的导数，f″x是函数f'x的导数，若方程f″A．fx的极大值点为B．fx有且仅有3C．点12,2是D．f【答案】BCD【分析】求出f'x=2x2-2x-12，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B【详解】由题意知f'令f'x>0，解得x<-2或x>3，所以f令f'x<0，解得-2<又f-2=所以，fx在x=-2处有极大值f-2=所以fx的极大值点为2，A又极大值f-2=1376>0，极小值f有图象可知，fx有且仅有3个零点，故Bf″x=4x-又f12=23×1因为点12,2是fx的对称中心，所以有f令S=又S=所以2=2021×4=8084，，所以S=4042.故D正确故选：BCD.12．若直线y=mx+n与曲线A．m>0 B．mn=1 C．m+【答案】AD【分析】由导数的几何意义已知条件可判断AB；由基本不等式可判断C；由n=14m可得n【详解】由fx=x设直线y=mx+n与曲线则m=12t>0且t所以A正确，B错误；m+n=nlnm=lnm4m所以函数在（0,e）上递增，在所以gm≤ge=故选：AD.三、填空题13．函数f(x【答案】1【分析】利用导数求得函数的极大值.【详解】fx的定义域是0,+∞f'令f'x=0所以，fx在区间0,在区间e,+∞所以fx的极大值为f故答案为：114．已知函数fx=xlnx+1，gx=e-x+ax【答案】e+1,+∞【分析】根据题意，方程fx+g-x=0有且仅有两解，即y=【详解】因为fx与gx的图象上有且仅有所以方程fx而fx设hx=lnx+ex所以h'令h'x>0，即x>1；令所以函数hx在0,1单调递减，在1,+∞所以hx所以要满足题意则a>故答案为：e+1,+∞.15．已知定义在R上的偶函数y=f(x)的导函数为y=f'x，当【答案】-∞【分析】gx=xfx，进而结合题意得gx=xfx在R【详解】解：令gx=xf因为当x>0时，xf所以当x>0时，g因为y=f(x)所以，g-x=-所以，函数gx=xf因为f所以f(-2)=-3，g所以，当x<12时，f

所以x<12当x>12时，f所以x>12综上，不等式f(2x故答案为：-∞16．若实数x＞0，y＞0且x+y＝1，则xy+1【答案】174【分析】根据条件由基本不等式求出xy≤14，再设t=【详解】根据题意，实数x＞0，y＞0且x+y＝1，则xy≤x+设t=xy，f(t)=t+1t,t∈0,14故答案为：174四、解答题17．已知函数f((1)a=3时，y=f(2)求函数的单调区间；(3)若函数对任意x∈[1,+∞)都有f(x【答案】(1)x(2)答案见解析(3)-∞【分析】（1）将a=3代入函数解析式，求出f1的值，再根据函数（2）求出导函数，对参数a进行分类讨论即可得到答案；（3）若函数对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，即可寻找区间上f【详解】（1）根据题意，当a=3时，fx=所以f'x=x-2x所以y=f(x)在点1,（2）因为函数f(x)=f'x=x-a-当a-1<0即a<1时，x2因为f'x=x所以函数f(x)当a-1>0即令f'x>0，即x2-a-令f'x<0，即x2-a-1综上，当a<1时，函数f(x当a>1时，函数f(x)的单调增区间为（3）由（2）得，当a<1时，函数f(x所以当x∈[1,+∞)时，函数f(x所以f(可得对任意x∈[1,+∞)都有f(x当a>1，函数f(x)的单调增区间为所以对于x∈[1,+∞)，当a-1≤1，即1<a所以f(可得对任意x∈[1,+∞)都有f(x当a-1>1时，即a>2，此时函数f(所以f(又因为f1根据函数f(x)所以存在x0∈[1,+∞)有f(x综上，a的取值范围为-∞,118．已知函数fx=ex-alnx，其中a<e(1)求实数a的值；(2)当x⩾1时，求证：【答案】(1)a(2)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，先求切线方程，再表示△AOB的面积，即可求a（2）法一：首先根据不等式，构造函数gx法二：先证明lnx⩾1-法三：先证明lnx⩾1-1x，利用分析法将不等式转化为证明ex【详解】（1）：∵f∴f∴f1=0，∴∴曲线fx在x=1处的切线方程为∴切线l与坐标轴的两个交点分别为A1,0，B∴S∴（2）证一：f即ex令gxg'g'=e令hx=ex∴hx在1,+∞单调递增，从而∴g'x'>0∴g∴gx在∴gx⩾证二：由（1）知：fx先证ln令gx∴g∴当x⩾1时，g'x⩾∴g∴当x⩾1时，∵当x⩾1时，∴f再证ex设hx=令m∵当x⩾1时，∴mx在∴mx≥m∴hx在∴hx≥∴e∵x∴f原式得证；证三：由（1）知：f先证ln令gx∴∴当x⩾1时，g'x⩾∴g∴当x⩾1时，∴f又x22+∴欲证fx≥x22设hx=e令m∵当x⩾1∴mx在∴mx≥∴hx在∴hx≥h1=e-519．已知条件：①函数fx的图象过点0,1，且a=1；②fx在x=1时取得极大值11题目：已知函数fx=(1)求fx(2)当x∈1,3时，求函数f【答案】(1)选②f(2)最大值为52，最小值为【分析】（1）若选①代入验证导数可知没有极值，故只能选②，其导数在x=1时取得极大值116，有f'1=0f1【详解】（1）若选①：当a=1,f'x则fx单调递增fx若选②；f'又fx在x=1时取得极大值∴f'∴fx（2）由（1）知，f'当1<x<2时f'(易知fx在1,2上单调递减，在2,3又f1∴fx在区间1,3上的最大值为5220．已知函数fx=x(1)若n=-1，判断函数fx在(2)若n=1，判断函数f(3)若n=0，求证：f【答案】(1)函数fx在0,(2)函数fx(3)证明见解析.【分析】（1）利用导数判断函数的单调性；（2）令fx=x3-xcos（3）即证x2-cos【详解】（1）n=-1时，fx=x-1所以函数fx在0,π（2）n=1时，f令fx=x3-令g(因为g(-x)=x不妨研究x≥0函数g(当x∈[0,π]时，g所以函数g(所以g(x)=所以函数g(x)当x∈(π,+∞)时，设h所以函数h(x)单调递增，所以函数所以g(所以函数g(x)在根据函数的奇偶性得函数fx有三个零点综上所述，函数fx有三个零点（3）n=0时，fx=即证x2由（2）得g(设p(所以当x>1时，p'(当x<1时，p'(x所以[p(x原题即得证.已知函数f(x)=lnxax12x3a∈(1)若曲线y=f(x)在点(1,(2)当x>0时，f(x)<0【答案】(1)a(2)(-【分析】（1）求出f'x，根据已知可得k=f'（2）不等式可化为a>lnxx-12x2对x>0恒成立.设g(x)=【详解】（1）∵f根据导数的几何意义可得，曲线y=f(k=又∵f(1)=-a-1所以，-a-1（2）当x>0时，f(x)<0恒即a>lnxx-设g(x)=lnxx又g'(x则h'(x)=-1x-3x又h(1)=0，则当0<x<1时，h(x当x>1时，h(x)<0，则∴g∴a>-12，即实数22．已知函数fx(1)若x=e时，fx取得极值，求(2)若函数gx=xfx+x,【答案】(1)单调递增区间是0,e，单调递减区间是e,+∞；(2)a【分析】（1）首先求函数的导数