专题02高一学科素养能力竞赛不等式专题训练（原卷版）

第2讲高一学科素养能力竞赛不等式专题训练【题型目录】模块一：均值不等式模块二：柯西不等式模块三：权方和不等式模块四：培优试题精选模块五：全国高中数学联赛试题精选【典例例题】模块一：均值不等式1、高中阶段涉及的几个平均数：设（1）调和平均数：（2）几何平均数：（3）代数平均数：（4）平方平均数：2、均值不等式：，等号成立的条件均为：特别的，当时，即基本不等式3、基本不等式的几个变形：（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围【例1】，，且，不等式恒成立，则的范围为_______.【例2】若，，则的最小值为__________．【例3】若是正实数，且，则的最小值为．【例4】设，，则的最小值是．【例5】已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．12【例6】若实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例7】已知，且，则的最小值是(

)A．49 B．50 C．51 D．52【例8】设，，，则的最小值为______．【例9】已知，，且，则的最小值为___________.【例10】若，且，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【例11】设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（

）A． B． C． D．【例12】已知，，，则取到最小值为________．【例13】对任意x，y，，则（）A. B.C. D.模块二：柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.（2）已知都是实数，则：（3）已知同号且不为0，则：【例1】（柯西不等式）实数x、y满足，则的最小值是（）A． B． C．3 D．4【例2】若实数，则的最小值为（）A．14 B． C．29 D．【例3】已知：，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【例4】已知a，，，则的最大值为（）A．18 B．9 C． D．【例5】若实数，则的最小值为（）A．14 B． C．29 D．【例6】“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A． B． C． D．【例7】已知，，且，则的最小值是______.【例8】已知，，均为非负数，且，则的最小值为______．模块三：权方和不等式二元：已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.一般形式：设()，实数，则，其中等号当且仅当时成立.称之为权方和不等式.【例1】已知，且满足，则的最小值为________．【例2】已知，，则的最小值为.【例3】已知x＞0，y＞0，且则的最小值是．【例4】已知，则的最小值为.【例5】已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是．模块四：培优精选试题【例1】已知实数，满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．【例2】已知，且，则下列不等式不正确的（

）A． B． C． D．【例3】已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【例4】已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【例5】若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【例6】若a，，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【例7】已知，，下列命题中正确的是（

）A．“”的最小值为B．若，则C．若，则D．若，则【例8】已知，是正实数，则下列选项正确的是（

）A．若，则有最小值2B．若，则有最大值5C．若，则有最大值D．有最小值【例9】已知，且，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为【例10】已知，均为正实数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【例11】已知正数满足，则的最大值是___________.【例12】若实数m，n满足，则的最小值是___________.【例13】已知正数满足，，则的最小值为__________.【例14】已知，则的最大值为________．【例15】已知实数，则的最小值为_________．【例16】设，则最小值为________【例17】设，则的最大值为________.模块五：全国高中数学联赛试题精选【例1】（2020甘肃预赛）设均为正数，则的最小值为.【例2】设为自然数，为正实数，且满足，则的最小值是．【例3】【2019年省数学竞赛】已知实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,求的最大值.【例4】【上海数学竞赛】对一切正实数x,y，都有，则的最大值为.