2021年九年级数学上册课件

CONTENTS

目录

第一章方程与不等式―一1

第一讲整式方程2

第二讲一元方程17

第三讲解方程组36

第四讲解不等式55

第五讲含参问题72

第六讲绝对值不等式90

第二章…戈何计算与证明：

第七讲几何变换107

第八讲几何证明综合121

1

第一讲整式方程

【知识概述】

整式方程是所有一元方程的基础，分式方程、根式方程和绝对值方程等都可以转化成一个整

式方程.之前已经学过了一元一次方程和一元二次方程的解法，超过三次的整式方程称为高次方

程，它也是整式方程的重点和难点.

这一讲中，首先介绍多项式的因式定理和有理根定理；接下来介绍待定系数法，这些都是解

高次方程的重要工具，最后在第三个模块中，将对高次方程的求解方法做出系统性的介绍和探讨.

【知识结构】

2

模块一因式定理与有理根定理

【知识精要】

形如/(尤)=%/'+4x"T+…+%_］无+%("为非负整数，旬30)的代数式叫做关于X的一

元〃次多项式.旬,%,…,凡称为多项式的系数，〃称为此多项式的次数.

对于任意两个多项式y(x),g(x)(g(x)w0),总存在两个多项式4(x)和外(尤)，使得

/(x)=g(x>q(x)+r(x),其中/(X)叫做被除式,g(x)叫做除式,q(x)叫做商式,r(x)叫做余

式,余式r(x)的次数小于除式g(x)的次数.当r(x)=O时,有f(x)=g(x>q(x),此时称作/(x)

被g(x)整除,或/(“被乳尤)整除,g(x)和q(x)叫做/(x)的因式.

如果g(x)是一次式x-a,则r(x)的次数小于1,因此，r(x)只能是常数(0或非零常数),

这时，余式也叫余数，记为r,即有"x)=(x-“>q(x)+r;

令x=a得,f(a)=r;因此，有以下重要定理：

余数定理：多项式/(x)除以(x-a)所得的余数等于/(a).

由上述可知，如果/'(X)能被x-a整除，那么必有r=0,反之，如果r=0,那么/(x)能被

x-a整除，因此，得到以下重要定理：

因式定理：如果多项式“X)能被X-“整除，亦即〃x)有一个因式x-a,那么/(a)=0,

反之，如果/'(。卜。，那么x-a必为多项式/(x)的一个因式.

有理根定理若H■…+q尤+/是一个整系数多项式，而°是〃工)的一

个有理根，其中八s互质，那么必有s|4,“%；特别地，如果/'(X)的首项系数%=1,那么/(x)

的有理根都是整根，而且是。。的因子.

有理根定理的一个常见应用即是利用这个性质进行试根，结合因式定理对多项式进行因式分

解，具体步骤如下:

3

1)对于一个整系数一元高次多项式/(无)=。/"+0“_1尤"7+—+0俨+%,找到区的所有因

%

数；

2)将所有因数依次代入多项式，若存在一个因数a,使得/(«)=0,则。为多项式/(%)的

一个根；

3)由因式定理可知，〃x)必有一个因式为x-a,因此可写为〃x)=(x-a)g(x)；

对于多项式g(x)可以继续利用试根法进行因式分解，也可利用其它方法进行因式分解，最终

将/(x)因式分解.

备注：多项式的根即为其所对应的方程的根，故对于求解一个一元整式方程，如果可以将其

所对应的多项式因式分解，即可求出该方程的根.

【典型例题】

1.已知多项式2%3一%2+冽有一个因式是2%+1,求冽的值.

【答案】m=—.

2

【解析】因为多项式2/一丁十冽有一个因式是2工+1,故该多项式有一个根一工,

2

即+加=0，解得，冽=；.

2.分解因式：x3-8x2+19%-20.

【答案】(X-5)(X2-3X+4).

【解析】由有理根定理，有理根可能为±1，±2,±4,±5,±10,±20,且显然任意％<0

使得多项式为负，故不可能为有理根,

•・・/(5)=0,故有一个有理根x=5,

4

X3-8X2+19X-20=(X3-5X2)-(3X2-15X)+(4X-20)=(X-5)(X2-3X+4),

-3x+4在实数范围内无法因式分解，-8/+19x-20=(x-5)(V-3x+4).

3.分解因式：x3+8x2+17x+10.

【答案】(x+l)(x+2)(x+5).

【解析】根据有理根定理，可知多项式/+8/+17工+10的有理根只可能是±1,±2,±5,

±10,因为当x=-l,-2,-5时，X3+8X2+17X+10=0,

所以x3+8x2+17x+10必含有因式(x+l)(x+2)(x+5),

比较最高次系数，得—+8x2+17x+10=(x+l)(x+2)(x+5).

4.求整系数多项式=f75+5d_15x?+2尤+8的全部有理根.

【答案】1和-2.

【解析】4=1，故/(x)的有理根都是整数，且都是%的因子，

故/(x)可能的有理根是±1,±2,±4,±8,

代入，检验得只有"1)=0、/(-2)=0,故〃x)的有理根只有1和-2.

5

模块二待定系数法

【知识精要】

待定系数法：

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，根据得到的恒等式的性质得出对应项

系数应满足的方程或方程组，再通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满

足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法.

有些复杂的多项式因式分解可以借助于待定系数法.

用待定系数法因式分解，步骤如下：

(1)设原多项式分解为含待定系数的因式的积；

(2)依据等式恒等，比较等式两边同类项的系数，得到方程或方程组；

(3)解方程或方程组求出待定系数的值；

(4)将多项式因式分解.

其中假设未知系数时，可通过观察原多项式的结构，判断确定因式中的一些项，减少待定系

数的个数，从而降低解决问题的难度.

待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等

各种场合.其指导作用贯穿于初等数学、中等数学甚至高等数学，认真学好并掌握待定系数法对

于解决很多问题都大有裨益.

【典型例题】

5.分解因式：x4-X，+6x?-x+15.

【名师点拨】这是x的四次五项式，若能分解因式，必然可以分解为两个二次式的积或

一次式与三次式的积，用待定系数法均可尝试.由于多项式分解因式的形式通常是唯一

的，若第一种形式可行，就不必尝试另一种形式，若第一种不行，再从第二种形式入手.

6

【答案】(%2+工+3)卜2_2%+5).

【解析】假设原多项式可分解为两个二次式的积，

设X4_%3+6%2-X+15=(12+QX+b)(x?+ex+d),

2

则原式=/+(〃+°)m3+0+d+ac)x+(ad+bc)x+bd,

比较两边对应项的系数可得:

6Z+C——1ci—\

b+d+ac=6b=3

解得

ad+be=-1c=-2

bd=15d=5

/.%，-x，+6%2-x+15=+x+3)(、2—2x+5).

6.分解因式：

432432

(1)x—x+4x+3x+5；(2)x-x-5x-6x-4；

【答案】(1)+%+i)(%2_2%+5)；(2)(%、+%+1)(.2一2%—4).

【解析】(1)设X4-丁+4/+3%+5=，+ax+：)(%2+cX+d),

则原式=/+(〃+。)13+仅+4+ac^x2+(ad+bc)x+bd,

比较两边对应项的系数可得：

a+c=-\Q=1

b+d+ac=4b=l

解得＜

ad+be=3c=-2'

bd=5d=5

32

/.x4-x+4x+3x+5=+%+1)(%2—2、+5)；

2

(2)设/_13-5x-6x-4=(12+办+6)(%2+cx+d),

则原式=/+(〃+c)13+(b+d+ac^x2+(〃d+bc)x+bd,

比较两边对应项的系数可得：

7

CLC——1d—\

b+d+ac=-5口b=l

7,，解得《

ad+be=-6c=-2

bd=—4d=-4

/.--5——6x-4—(x?+x+1)(x2-2x-4).

7.(1)当左为何值时，x?-3孙+领2+x+9y-2能分解成两4■次因式的乘积，

并分解此多项式；

(2)当左为何值时，多项式2盯+4+3无一5y+2能分解成两个一次因式的乘积？

【名师点拨】当原多项式已经含有未知参数，为化简待定系数的复杂度，可先分解出因

式中的常数项，从而减少待定的系数个数.

【答案】(1)斤=-10,(x+2y-l)(x-5y+2)；(2)k=-3.

【解析】(1)由原式中/+》一2=(无一1乂X+2)可设，

x2-3xy+ky2+x+9y-2=(x+ay-l)(x+6y+2),

x2-3xy+ky>~+龙+9y-2=丁+(^a+b)xy+aby2+x+(2a-b)y-2，

对比两边系数可得,

a+b=-3a=2

<ab=k，解得<b=-59

2a-b=9k=-W

/.x2-3xy—10必+x+9y-2=(x+2y—l)(x-5)+2)；

(2)令y=0,原式+3x+2=(x+l)(x+2).

故令f-2xy+ky2+3x-5y+2=(%+〃歹+1)(%+勿+2),

即x2-2xy+ky?+3x-5y+2=Y+(。+b^xy+aby2+3x+(2a+b^y+2,

a+6=-2a=-3

比较系数得ab=k,解得<b=1,所以左二-3.

2。+6=—5k=-3

8

8.当加为何值时，多项式+盯+4x+加歹能分解成两个一次因式的乘积.

【名师点拨】多项式中不含常数项时，可以不必两个因式均假设常数项，从而减少待定

系数的个数.

【答案】0或4.

【解析】•・•原式中不含常数项，

.,.设/xy+4x+my=(<x+ay)^x+by+c),

即川+q；++机y=%2+(Q+人)孙+此丫2+cx+acy,

a+b=l

ab=O

...V,

c=4

ac=m

(1)。=0时，b=\,c=4,m=0；

(2)b=0时，Q=1,c=4fm=4；

二.机的值为0或4.

9.(1)若八6是整数，且V—x—1是办3+加+1的因式，求6的值；

(2)若13X3+冽/+i]%+〃能被13/一6%+5整除，求整数加、〃的值.

【名师点拨】考查待定系数法.

【答案】(1)-2；(2)-19,-5.

【解析】(1)设办3+加+1=俨_工_])(办_]),

即cix^+bx?+1—ax，+(—d—l)x?+(1—Q)X+19

—a—\=b9l—a=O,解得a=1Jb=—2；

9

(2)设13x，+mx2+llx+〃=(13]2-6x+5)(x+左)，

BP13x3+mx2+llx+〃=13x3+(13A;-6)x2+(5—6左)％+5左,

m=13k-6k=-\

.•.<11=5—6左，解得(加=—19,.•.加=—19,n=-5.

n=5kn=—5

10.(1)在1〜100之间若存在整数〃，使-+X—〃能分解为两个整系数一次式的乘积，这

样的〃有多少个.

(2)已知多项式X，+6/+°x+d的系数都是整数.若bd+cd是奇数，证明：这个多项

式不能分解成两个整系数多项式的乘积.

【答案】(1)9；(2)略.

【解析】(1)依题意令一十X一〃=(x+〃)(x+b)(a,b为整数)，

等式两侧系数匹配有

y+61,n--ab=-a(\-a\=a(a-\\,

〃=ab

又104100,故V100,根据对称性，不妨令〃>0,

故符合条件的〃=2,3,4,•••,10,合计9个，对应9个符合条件的整数〃.

(2)若％3+.2+6+4分解成两个整系数多项式的乘积，

令1+加+cx+d=(X+冽)卜2(加，n,尸为整数)，

有x3+bx2+cx+d=xi+(加+〃)％2++mn)x+mr,

b=m+n,

比较系数得<c=mn+r,

d=mr,

依题意有bd+cd=d[b+c)=mr[m+n+r+mn)为奇数.

由奇偶性分析得加,r,加+〃+〃+加〃均为奇数，

另一方面m+n+r+mn=m+r+n^m+l^,

10

m,〃为奇数，加+1为偶数，〃（加+1）为偶数，，冽+〃+〃+加〃为偶数，矛盾.

故这个多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积.

11

模块三高次方程

【知识精要】

上两个模块介绍了因式定理、有理根定理和待定系数法这三个解高次方程的重要工具，本模

块重点介绍高次方程解法步骤与技巧.

高次方程的常见解题思路是通过因式分解将一个高次的整式写成几个低次的代数式相乘的

形式，从而达到降次的目的.一旦次数为2次，便能通过二次方程的求根公式求解.

所以解高次方程的关键是如何将对应的高次多项式进行因式分解，常见的因式分解的分法有:

猜根法(即利用有理根定理来猜根)、换元法(即观察方程的特征，通过换元降次，化简求解)、

待定系数法等，下面将通过具体例题来逐一介绍.

【典型例题】

11.解方程：

(1)X3-3X2-4X+12=0；

(2)2/-15/+38/一39X+14=0.

7

【答案】(1)3或±2；(2)x=1或x=2或1=—.

2

【解析】(1)根据有理根定理，可知多项式d—3d—4x+12的有理根只可能是±1,±2,

±3,±4,±6,±12,因为当x=±2和3时，x3—3x2—4x+12=0,

所以一3--4x+12必含有因式(x-2)(x+2)(x-3),

比较最高次系数，得d一3%2-4x+12=(x-2)(x+2)(x-3),

二.方程的解为3或±2；

(2)先利用有理根定理求出一个有理根x=l,

左边=2x4-2x3-13X3+13X2+25x2-25x-14x+14

12

=2x3(x-l)-13x2(x-l)+25x(x-l)-14(x-l)

二(x-1)(2/-13X2+25X-14)=(x-l)(2x3-7x2-6x2+21x+4x-14)

=(x-1)[(2x3-7x2)-(6x2-2lx)+(4x-14)]

=(x-l)[x2(2x-7)-3x(2x-7)+2(2x-7)]

=(x-l)(2x-7)(x2—3x+2)=(x-l)(2x-7)(x-l)(x-2)

=(x-1)2(x-2)(2x-7).

7

，原方程的解为x=1或x=2或x=

2

12.解方程：x4+(x—4)4=626.

【名师点拨】对于形如(X+Q)4+(X+6)4=C的高次方程，均可利用均值换元，令

=(…)+(*+为代入化简求解.

2

【答案】X二5或—1.

【解析】设y=x—2,则x=y+2,x—4=y—2,代入原方程得：

+2)4+(歹-2)4=626，

打开整理得，/+24/-297=0,/.(/-9)(/+33)=0,解得，y2=9,昨±3,

得％=5或-1,为原方程得根.

13.解方程：

(1)6X4+7X3-36X2-7X+6=0；

(2)2x4+3x3-16x2+3x+2=0.

[答案1(1)x=2或x=-工或x=-3或x=—；(2)x=工，x2=2,x,=—2—百,x4=—2+V3.

232

【解析】(1)左边=(6/+6)+(7/—7%)—36%2

13

=6(x"-2x2+1+2X2)+7X(X2-1)-36/

=6(X2-1)2+2X2+7X(X2-1)-36X2

=6(X2-1)2+7x(x?_i)_24X2

=[2(x2-1)-3x][3(x2-1)+8x]

=(2X2-3X-2)(3X2+8X-3)

=(x-2)(2x+l)(x+3)(3x-1)

原方程的解为x=2或x=」或工=-3或x=-；

23

(2)显然xwO,方程两边同除无2得：2^：2+4)+3卜：+，)-16=0,

^x+-=y,有/+3+2=/，即/+乂=/_2,代入方程得：

XXX

2(/-2)+3j-16=0,2j；2+3j-20=0,解方程得y=g或一4.

当夕=3时，代回得》=!或2；

22

当y=T时，代回得x=-2-JI或一2+退.

综上原方程得根为x,=；,x2=2,x3=—2—V3,x4=—2+V3.

14.解方程：(4x+l)(3x+l)(2x+D(x+l)=3/.

・>——5+Jl3

【答案rt】七二•

1,26

【解析】原方程化为[(4x+l)(x+l)][(3x+1)(2%+1)]=3一,

(4Y+5x+l)(6、2+5x+1)=3-,

(4/+5%+1)+(6/+5%+1)

=5x2+5x+1

2

(4%2+5x+1)-(6工2+5x+1)

2

14

原方程可化为[(5/+5X+1)+/][(5X2+5X+1)-/]=3X4,

(5x2+5X+1)2-X4=3X4,(5x2+5x+l)2-4x4=0,

[(5x2+5x+l)+2x2][(5x2+5x+l)-2x2]=0,

2

(7x+5x+1)(3,+5x+1)=0,角率得x1>2=屈.

15.解方程(16/一97+(9/-16『=(25/一25y.

34

【答案】丸2=±*工3,4=±*％5,6=±1・

【解析】令16%2-9=〃，9x2-16=v,有25f-25=〃+v,

代入原方程化为，w3+v3=(w+v)3w3+v3=I/3+v3+3〃v(〃+v),

得"v("+u)=0,/.〃=0或v=0或M+V=0,

即16f—9=0或9/—16=0或25f—25=0.

34

解得打2=土W，%3,4=，/,6=±1•

15

拓展内容

多项式除以多项式:

两个多项式相除，可以先把这两个多项式按照同一字母降幕排列，然后再仿照两个多位数相

除的计算方法，用竖式进行计算.

多项式除以多项式的一般步骤：

（1）把被除式、除式按某个字母作降嘉排列，并把所缺的项用零补齐；

（2）用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项；

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个

积；

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次

数低于除式的次数为止，被除式=除式X商式+余式.

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除.

例：计算（9—+2/+5）+（-3+

2%+9

%2+Ox—3）2x3+9x2+0>+5­

2丁+of-6x

9x2+6x+5

9x2+Ox-27

6x+32

所以商式为2x+9,余式为6x+32.

注意以下几点：

（1）列竖式计算时，按某一个字母作降幕排列，所缺的项需要用零补齐；

（2）目前我们所学习的多项式除以多项式情况均为一元多项式相除.

当除式、被除式都按照降幕排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数.因此，计算时

只需写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去.这种方法叫做分离系数法.按

照分离系数法，上面例题的计算过程如下：

16

2+9

1+0-3)2+9+0+5

2+0—6

9+6+5

9+0—27

6+32

于是得到商式为2x+9,余式为6x+32.

17

【课堂练习】

1.(15分)解方程：(x-l)(x+2)(x+3)(x+6)=28.

【答案】x二5士回.

2

【解析】将第一个和第四个括号内整式相乘，第二个括号和第三个括号内整式相乘,

得，+5x-6)(x?+5x+6)=28,

A+5x+6+%?+5x—62尸

令/=--------------------+5x，

2

得6)«+6)=28,

/./=±8,即J+5x=±8,解得x———―———.

2

2.(15分)解方程：3x3+X2+X-5=0.

【答案】x=\.

【解析】试根得到X=1是方程的解，

将方程左边除以(x-1)得至I」3X3+X2+X-5=(3X2+4X+5)(X-1),

二.(3—+4x+=0,

3x2+4x+5=0(无解，舍去)或x—1=0,x=1.

3.（15分）若一+7盯+即2_5x+43y-24可分解为两个一次因式的积，

求加的值.

【答案】-18.

【解析】由原式中f_5%一24=（工+3乂工一8）可设，原式=（x+ay+3）（x+力一8）,

贝！Jx2+7xy+my2-5x+43〉—24=x2+（＜a+b^xy+aby2-5x+（3b-8〃）y-24,

a+b=7,ab=mf36—8Q=43,解得Q=-2,b=9,m=-18.

18

4.（15分）求解关于x的方程（x+VH）（x+2而）1+3而）,+4旧）=一40.

【答案】二5旧土恒或-5而土沟,

22

【解析】将第一个和第四个括号内整式相乘，

第二个括号和第三个括号内整式相乘，

得卜2+5而%+44)12+55yH%+66)=-40,

令,=工2+5而％+55,原方程可化为«-11)(7+11)=-40,

在刀4r—初/日—5A/1I±V19_p.-5A/1T±V91

解得，=x2+5jl1+55=±9,解得x=-----------或工=-----------.

22

5.(20分)解方程：(12一31+1)2-312一3%+1)一%+1=0.

【答案】x=1±V5或x=2±g.

【解析】(x2-3%+-212一31+1)+1一12一3%+1)-1=0

/.(x2-3%)-(12_2%+1)=(r_3%)-(x-1)2=(x2-2x-1)(.^2-4%+1)=0,

解得x=1±y/2或x=2土V3.

6.(20分)解下面关于x的方程：

(1)x+2x2-5x-6=0；

(2)x4+2x3-9x2-2x+8=0.

【答案】(1)2或-1或-3；(2)1或2或-1或-4.

【解析】(1)运用试根法，试得方程有一个解为x=2,

因此把方程化为(x-2)(x+l)(x+3)=0,

解得％=2或%=—1或x=—3；

(2)运用试根的方法，分母是1的约数，分子是8的约数，

19

我们试得x=2是方程的根,

方程左边除以程-2)得到X4+2X3-9X2^2X+8=(X-2)(X3+4X2-X-4),

故x=2或d+4x2-x-4=0,

下面解方程d+4x2-x-4=0,

再次试根得到X=1是方程的根，左边除以(X-1)得到

x3+4x2-x-4=+5x+4)=(x-l)(x+l)(x+4),

x=1或x=—1或x=-4,

综上，方程的解有x=2或x=l或x=—l或l=一4.

20

【课后作业】

1.(15分)解方程：X4+2X3-2X2-3X+2=0.

【答案】1或-2或士亚.

2

【解析】试根得x=l是原方程一个根，

因此方程化为(X-1)(X3+3X2+X-2)=0,

下面解方程/+3x2+x-2=0,

试根得x=-2是方程的一个根，

因此化为(X+2)(X2+X-1)=0,

2.(15分)解方程：(x—2)(x+D(尤+4)(x+7)=19.

F优安1—5+V85_—5+\/S5

L口木/再,2=2，x3,4=",

【解析】[(x-2)(x+7)][(x+l)(x+4)]=19,(x2+5x-14)(x2+5x+4)=19,

人(x2+5x-14)+(x2+5x+4)

令y=----------------------------------^-=X2+5X-5,则有(>—9)(>+9)=19,

歹2=100,y=±10,

当>=10时，代回得x=-5[历；

当了=一10时，代回得.=一5士、.

2

所以原方程得根为丸2=U痣,=-5土，.

3.(15分)问/--+1是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积？

【答案】不能.

【解析】若--Y+1能分解成两个整系数的二次因式的乘积，

21

不妨设/—一+1=(、2+办+1)(%2+6%+1)

或者———+]=(工2_|__1)_|_bx—1)，

比较V与f的系数可得

[a+b=O1a+b=0

<,或者《，，

[ab+2=-1\ab-2=-\

解得/=3或-1,没有整数〃能满足以上方程，故矛盾.

4.(15分)分解因式：2x(x+l『+%4一%2+1.

【答案】(x2+x+l)2.

【解析】原式=/+2/+3d+2x+1设原式

=(%2+办+人)(%2+cx+d)=%4+(4+。)/+(6+d+ac)x2+(od+bc^x+bd,

比较两边对应项的系数可得：

a+c=2fa=l

b+d+ac=3s’口b=l,、24°/\2

<,尚军得<，2x(x+1)+x4-x2+1=(x92+x+l).

ad+be=2c=1''

bd=\[d=l

5.(20分)解方程：x6+1+x5+x+x4+x2=6x3.

【答案】玉=1.

【解析】两边同时除以丁,^X3+4+X2+4+X+-=6,

XXX

令，=x十工，贝！J—十—y=t2—2jx3+—r-=t3—3t,

XXX

因此原方程可化为d-3f+*一2+/=6,

因式分解可得(-2)(r+%+4)=0,

22

-2=0或/+3/+4=0(舍去)，

.,.t=x+—=2f解得x=l.

x

6.(20分)解方程：x4+5x3+7x2—3x-10=0.

【答案】玉=1,X2=—2.

【解析】利用有理根定理可知有理根即从±1,±2,±5,±10选取，

发现x=l为方程的根，故f+5x3+7f_3x-10必定具备因子(x-1),

/.%4+5%3+7x2—3x—10

=(x4-x3)+(6x3-6x2)+(13x2-13x)+(lOx-10)

=x3(x-1)+6x2(X-1)+13X(X-1)+10^¥-1)

继续对x3+6f+13x+10进行猜根法因式分解，最终得到(x-l)(x+2乂x2+4%+5)=0,

原方程的解为再=1,x2=-2.

23

第二讲一元方程

【知识概述】

在上一讲中重点介绍了一元整式方程的相关问题，本讲主要涉及可以化归为一元整式方程的

几类方程.

在初中自招中，较为常见可化为一元二次的方程包括分式方程、无理方程以及绝对值方程，

本讲将分模块介绍这几类方程的一般解法以及相关技巧.

“化归”是解决这类方程的基本思想，即通过方程的变形，将这些类型的方程转化为我们最为

熟悉的一元二次方程，在学习中同学们应当注意体会这种数学思想.

另一方面，在自招中，解决此类方程往往会涉及到较为特殊的运算技巧，在学习时应当注意

积累以及总结，避免不必要的去分母去根号等方程的变形，即所谓的“死算”.

【知识结构】

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模块一分式方程

【知识精要】

分式方程的一般解法

分式方程的一般解题步骤即为去分母化为整式方程求解.

解出方程的根后不要忘记验根，对于分式方程的验根只需检验分母是否为0即可.

分式方程的化简技巧

部分通分

不将等式中的所有项一并通分，而是通过分组配对各自通分，从而达到约分降次的目的，避

免将分式方程化为过高次数的整式方程.

如求解方程：」-+—L='+—L.

x+1x+2x+3x+4

若直接去分母，理论上方程会化为一个3次的高次方程，

若直接将等式两边通分，也不存在可以约分的因子，

考虑移项重新配对通分—.....—=—.....—,

x+1x+3x+4x+2

2__2

(x+l)(x+3)(%+4)(x+2)

发现两边分子均存在约数2,继续去分母，方程次数仅为2次可以求解.

分离常数

对于分子次数大于等于分母次数的代数式，可以分离常数，使得分子的次数低于分母的次数,

分离的过程可借助待定系数法或者长除法.

方口x+21I2x2+3x+2x

如----=1+-------5------------=2+------------

X+1X+1X+X+1X+X+1

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裂项

对于形如7—U~入的分式可以考虑裂项，

(x+Q)(x+b)

]__i_(_J______1_)oa-b__1______1

(X+Q)(X+Z?)a-b\x+bx+a)(X+Q)(X+6)x+bx+a

巧取倒数

某些情况下，对于方程(组)中的未知数求解比较麻烦，此时如果对未知数的倒数进行求解,

方程(组)的形式反而会变得简单.但需注意的是，取倒数时，无形中会加上“分子不为0”

的条件，因此取倒数前一定要考虑分子为0的情况.

yfl11

例如：关于x,>的方程组1+>，将方程组内方程均取倒数得到*'，解出

L且5=1+1'y

5x+y[xy

之后再取倒数求解.

备注：学生版中化简技巧将略去，讲解中请注意.

【典型例题】

Y2+12

1.解方程：土上=3.

2x+1x

【答案】'=-1或1=2.

【解析】去分母，化简得/一3X-2=0,

根据有理根定理，可知多项式丁-3工-2的有理根只可能是±1,±2,

因为当x=-l和2时，》3-3工一2=0,.“3一3》一2有因式@+1)@-2),

因式分解得x3-3x-2=(x+1)2-2),解得x=-1或%=2,

经检验，它们都是方程的根，故原方程的根为x=T或x=2.

26

2.(2014复旦附中自招)方程二-+工=/-4x-2的解为_________.

x—3x—5

【名师点拨】解分式方程的通常做法是直接去分母化成高次整式方程，再因式分解降次

求解；然而观察本题可发现，将等式右边的常数项先移项再通分，可避免出现四次方程,

从而化简运算.以下提供两种解法以供参考.

【答案】x=0或4或4±G.

【解析】解法一：

将原方程去分母整理成整式方程，有：

%4-12X3+45%2-52X=0,

观察等式左边，因式分解可得：

X4-12X3+45X2-52X=X(X3-12X2+45X-52)=X[(X3-12X2+32X)+13X-52]

=x[x(x-4)(x-8)+13(x-4)]=x(x-4)(x?-8x+13)=0,

二.x=0或尤-4=0或f-8x+13=0,

解得：x=0或4或4±G,经验证，均为原方程的根.

解法二：

将2移项得得：[娱+1J+[展+l]=/-4x,

XX2A

--------1--------=x-4x,

x—3x—5

当x=0时，等式成立，为原方程的根；

当xwO时，两边同除x得：

—+—=x-4,将左式通分得：,2(1)T,

x-3x-5(x-3)(x-5)

当x-4=0,即x=4时，等式成立，为原方程的根；

27

当x-430时，两边同除x-4得：-——--——-=1,

(1)("

x2-8x+13=0,:.x=4±s/3.

综上，x=0或4或4±6，经验证，均为原方程的根.

3.解方程:

/_,、x+1x+8x+2x+7

(1)------+-------=-------+-------；

x+2x+9x+3x+8

,C、x—7x—15%—13x—9

x—9%—17x—15x—11

【答案】⑴x=-—；(2)13.

2

【解析】(1)原方程变形为：fi一一—hfi一一U=fi一一—hfi一一—

(x+2)(x+9)(x+3)Ix+8

11

x+8x+9x+2%+3

(x+2)(x+3)=(x+8)(x+9),得n=-■—,

经检验x=为原方程的根；

2

(2)将方程化为部分分式得二—+♦—=°-+上

x-9x-17x-15x-11

分别通分得正某三T记就询'显然、是方程的一个解,

1_1

当XW13时,

(x-9)(x-17)(x-15)(x-11)

去分母整理得17x9=11x15,显然不成立,

故方程的解是x=13,经检验，不是方程的增根.

,ARAHEtx+63x2+10x+42x+1e

4.解万程：--------5------------+--------=0.

x+1x+3x+2x+2

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【答案】x=-9.

【解析】分离常数，原方程变形为：

15(x—2A—35x—23

1+--------3+—-------------+2+------=0,-----------；--------------------

x+1Ix+3x+2)x+2x+1x+3x+2x+2

去分母整理得：x+9=0,x=-9.经检验x=-9为原方程的根.

11

5.解方程:=2.

%?+x—2%?+7x+10

【答案】西=-2-加，x?-—2+J10.

11

【解析】原方程变形为:=2，

(x+2)(x-l)(x+2)(x+5)

01-2>［士-与=2,匕，

去分母得(％+5)--1)=6(%-1)(%+5),

x?+4x—6=0,/.再=—2—J10,%2=—2+J10.

经检验，原方程两个根为再=-2-,x2=-2+V10.

6.梅军方程：——----+----+—-----=0.

x2+1lx—8X2+2X-8x2-13x—8

【名师点拨】观察可知，原式每项分母中均含有8,可考虑用部分换元法增元降次

求解.

【答案】x=±1、±8.

【解析】令/一8=y,则原式化为：」一+—1—+」_=o,

y+llxy+2xy-13x

通分去分母，整理可得：y2=49x2,y=