专题03 函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）（含答案解析）

专题03函数目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 1考点精讲讲练 4考点一：求函数的定义域、值域 4考点二：函数（分段函数）求值 7考点三：函数的三种表示法 9考点四：函数单调性的判断 12考点五：函数的最值 15考点六：函数的奇偶性 17实战能力训练 20明晰学考要求1、了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域、解析式；2、了解函数的三种表示方法及各自的优缺点；3、能运用定义法证明函数的单调性；4、能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)的概念；5、了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；6、了解函数奇偶性的定义，掌握判断和证明函数奇偶性的方法；基础知识梳理1、函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围A值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}①一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥\f(4ac－b2,4a)))))；当a<0时，它的值域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤\f(4ac－b2,4a)))))，对应关系实际上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③反比例函数f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)．2、函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系3、分段函数分段函数求值时，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间；然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.4、函数的单调性（1）①基本概念条件一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)结论f(x)在区间D上单调递增f(x)在区间D上单调递减图示②当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数；当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数.③定义中x1，x2有三个特征：①x1，x2属于同一个区间；②任意性，x1与x2不能用D上的特殊值代替；③有序性，通常规定x1<x2.(2)函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.①函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域.②若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接.5、函数的最值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足∀x∈I，都有f(x)≤M∀x∈I，都有f(x)≥M∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值.②对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略.5、函数的奇偶性(1)定义及图象特征①设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数.如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数.②图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数.奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数.（2）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性.①奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数.②若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.考点精讲讲练考点一：求函数的定义域、值域【典型例题】例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由对数函数的定义域与含分式的函数定义域，构成不等式组求解即可.【详解】因为，所以定义域满足，解得，故选：A.例题2．（2023高三·江苏·学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】函数定义域满足，，解得答案.【详解】函数的定义域满足：，，解得.故选：D例题3．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函数的定义域；再根据复合函数单调性的判断方法判断的单调性；最后根据单调性即可得出答案.【详解】要使函数有意义，须使，解得，即函数的定义域为.令，，则.因为函数在上单调递增，在上单调递减；为上的增函数，所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，.又因为，，所以函数的值域为.【即时演练】1．下列函数中，定义域为的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D.【详解】对A，其定义域为，故A错误；对B，其定义域为，故B错误；对C，由题意得，解得，则其定义域为，故C错误；对D，显然其定义域为R，故D正确.故选：D.2．函数的定义域为（

）A．且 B．且C． D．【答案】B【分析】根据根式、分式的意义直接运算求解即可.【详解】由题意可得：，解得且，所以函数的定义域为且.故选：B.3.函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据偶次根式有意义的条件求解即可【详解】函数的定义域为，故选：B4.函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的定义域为且在定义域内是增函数可得答案.【详解】函数的定义域为且在定义域内是增函数.所以故选：D【点睛】本题考查具体函数的值域，属于基础题.考点二：函数（分段函数）求值【典型例题】例题1．已知，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】直接代入求解即可.【详解】因为，则，故选：B.例题2．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解.【详解】由函数，则.故选：D.例题3．已知函数，则=（

）A．1 B．3 C．-3 D．-1【答案】B【分析】计算出，从而求出.【详解】，.故选：B例题4．已知函数，若，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当时，，当时，，故由，得，故选：A【即时演练】1．已知函数，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】直接代入计算即可.【详解】.故选：A.2．（2023高二下·北京·学业考试）已知集合，定义函数则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由，结合分段函数的解析式可得答案.【详解】由题意可知，所以，故选：B.3.（2023高一下·吉林·学业考试）已知函数，若，则的取值为（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【分析】利用分类讨论表示方程求解即可.【详解】当时，，不符合题意，当时，，符合题意故选：A.考点三：函数的三种表示法【典型例题】例题1．已知函数，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】由函数解析式求解．【详解】因为，所以，故选：A例题2．（2023高二·湖南衡阳·学业考试）如图是周老师散步时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象，则周老师散步的路线可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据关于的函数关系的图象确定正确答案.【详解】根据关于的函数关系的图象可知，周老师先远离家，然后有一段时间和家的距离相同，然后再回家（离家越来越近），所以D选项对应图象符合.故选：D例题3．（2024高二下·福建·学业考试）某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（

）元A．1000 B．1750 C．1500 D．1300【答案】B【分析】根据给定条件，求出生产成本与产量的函数关系，再代入求出函数值.【详解】令生产零件件的成本为元，当时，，当时，，因此，当时，，所以当时，生产成本为1750元.故选：B例题4．已知函数用列表法表示如下表，则012201【答案】0【分析】由表格给出的数据有，则可求出答案.【详解】根据表格中的数据有所以故答案为：0【点睛】本题考查根据函数的列表法求函数值，属于基础题.【即时演练】1．在股票交易过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线，另一种是平均价格曲线.如表示股票开始交易后2小时的即时价格为3元；表示2小时内的平均价格为3元，下四个图中，实线表示的图象，虚线表示的图象，其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合函数图象，可得答案.【详解】刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，故A、D错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故B错误.故选：C.2．函数的图象如图所示，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】有图像可知，当时，，即可求解.【详解】有图像可知，当时，，故.故选：C.3．已知，则的解析式可取为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用配凑法求得的解析式.【详解】由于，所以.故选：C4．的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列不正确的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】C【分析】根据已知条件逐个分析判断即可【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为，所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确，对于B，由选项A，可知（），所以B正确，对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为，所以，当且仅当时等号成立，所以，，因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误，对于D，由选项C可知，，所以，因为，所以（），所以D正确，故选：C.考点四：函数单调性的判断【典例讲解】例题1．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（

）A．-1,0 B．0,1 C． D．1,2【答案】B【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可．【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势，由图可知：的单调递增区间为.故选：B．例题2．下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.【详解】对于A：函数在上单调递减，故A正确；对于B：函数在上单调递增，故B错误；对于C：函数在上不具有单调，故C错误；对于D：函数在上单调递增，故D错误；故选：A例题3．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.【详解】对于A：函数在定义域上单调递减，故A错误；对于B：函数在定义域0,+∞上单调递增，故B正确；对于C：函数在，0,+∞上单调递减，故C错误；对于D：函数在上单调递减，在0,+∞上单调递增，故D错误.故选：B【即时演练】1．在下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得.【详解】对A：在上单调递增，故A错误；对B：在上单调递增，故B错误；对C：在上单调递减，在上单调递增，故C错误；对D：在上单调递减，故D正确.故选：D.2．（2024高二下·湖北·学业考试）若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据解析式代入检验判断A，取特殊值检验判断BC，根据解析式及基本不等式可判断D.【详解】对A，，，所以满足条件，故A正确；对B，取，，不满足条件，故B错误；对C，取，，不满足条件，故C错误；对D，，，，由知当时，，故，故D错误.故选：A3．下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性即可．【详解】对于A，函数在定义域内单调递增，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上为减函数，A选项错误；对于B，由反比例函数的性质可知，在区间上为增函数，B选项正确；对于C，由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，C选项错误；对于D，由指数函数性质可知，在区间上为减函数，D选项错误.故选：B考点五：函数的最值【典例讲解】例题1．已知函数，则函数的最大值为（

）A．15 B．10 C．0 D．【答案】A【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.【详解】函数在上单调递增，则，所以函数的最大值为15.故选：A例题2.已知函数，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．10【答案】C【分析】方法一：运用基本不等式可求得最小值.方法二：求出函数在上的单调性，根据单调性判断函数的最值.【详解】方法一：当时，，所以得最小值是6.方法二：因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以.故选：C例题3.用定义证明函数在上的单调性，并求在上的最值.【答案】证明见解析，，【分析】取，计算得到证明，再根据函数的单调性计算最值得到答案.【详解】任取，则，即，故函数在上是增函数，，故，.【即时演练】1．下列函数中，存在最小值的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】单调递减值域为,无最小值，A选项错误；fx=x2-2x在单调递减，在单调递增，当x=1单调递增，值域为，无最小值，C选项错误；fx=lnx单调递增，值域为,无最小值，故选:B.2．已知函数，则在上的最大值为（

）A．9 B．8 C．3 D．【答案】A【分析】先通过对称轴确定单调性，进一步可求最大值.【详解】函数的对称轴为，所以函数在上单调递减，.故选：A.3.函数在区间上的最小值为，最大值为，则【答案】【分析】结合函数的单调性计算即可得.【详解】由在上单调递减，故，，即.故答案为：.考点六：函数的奇偶性【典例讲解】例题1.已知是定义在上的奇函数，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即.故选：B.例题2.（2024高二下·云南·学业考试）下列函数中，是偶函数的为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意奇偶性的性质和定义逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故A错误；对于选项BC：可知，均为奇函数，故BC错误；对于选项D：因为的定义域为，且，所以为偶函数，故D正确；故选：D.例题3.已知奇函数的图象关于原点对称．下列函数图象中，可以表示奇函数的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BC【分析】根据奇函数关于原点对称判断选项.【详解】根据奇函数关于原点对称结合函数图象，符合题意是B,C选项.故选：BC.例题4.（2022高二下·河北·学业考试）已知函数为偶函数，则实数（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据偶函数的性质计算可得.【详解】因为函数为偶函数，又函数的定义域为，所以，即，所以对任意的恒成立，又，所以，解得.故选：B【即时演练】1.（2021高二上·新疆·学业考试）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性、奇偶性等知识来确定正确答案.【详解】A选项，是非奇非偶函数，不符合题意.B选项，在上不是增函数，不符合题意.C选项，在上单调递减，不符合题意.D选项，设的定义域是，，所以是奇函数，，当时，单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，符合题意.故选：D2.（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数，若的图象关于原点对称，则实数.【答案】【分析】利用奇函数的性质，令，即可得到答案.【详解】∵函数的图象关于原点对称,∴fx为奇函数∴，∴a=-1，经验证满足题设.故答案为：3．（2024高二下·浙江·学业考试）奇函数，则．【答案】【分析】根据题意，结合奇函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，即，经验证：函数的定义域为关于原点对称，且，符合题意，所以.故答案为：.实战能力训练1．函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根据函数的解析式可求出结果.【详解】由题意，函数，所以.故选：A.2．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意，，解得，所以函数的定义域为.故选：A3．对于函数，部分与的对应关系如下表：则值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据表格先求，再求的值.【详解】由表格可得，，所以.故选：C.4．函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先证明函数的单调性，然后利用函数的单调性求解即可.【详解】函数在上单调递减.所以当时，，，所以的值域为.故选：B5．设函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意直接求解即可.【详解】解：因为，所以．故选：D．6．已知函数则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分段函数概念，代入对应解析式求解即可.【详解】∵∴.故选：A.7．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是