2024-2025学年安徽省合肥市部分学校2024-2025学年高一上学期第二次教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次教学质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，则.故选：A.2.下列函数与函数是同一函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数；对于B，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数；对于C，，对应关系不同，与函数不是同一函数；对于D，，与函数的定义域不同，所以与函数不是同一函数.故选：B.3.若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，要使不等式有解，则，所以或.故选：C.4.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】，的否定是：，.故选：C.5.已知，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，则，则，当且仅当，结合，，即，时取等号.故选：A.6.已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为为奇函数，则，且函数的图象关于0,1中心对称，即，因为为偶函数，所以，则，所以，，所以，故的周期为，因，所以.故选：B.7.已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（）A. B.的不同子集的个数为8C. D.【答案】D【解析】，由，，，，，作出图，如图所示，由图可知，，，故A，正确；集合的子集个数为个，故B正确；因为，所以，错误.故选：D.8.若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知的定义域为，又因为函数“函数”，故其值域为；而，则值域为；当时，，当时，，此时函数在上单调递增，则，故由函数是“函数”可得，解得，即实数的取值范围是.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.不等式的解集是，则下列选项正确的是（）A.且B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】对于，，，是方程的两个根，所以，，所以，，所以，，所以错误；对于，，由可得不等式解集为，所以正确；对于，当时，，，所以正确；对于，由题得，因为，所以，所以，所以不等式的解集是，所以正确．故选：.10.已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（）A.若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素B.若中不含孤立元素，则中最少有个元素C.若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个D.若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样集合共有个【答案】ABD【解析】对于A，因为集合，，的并集为，且集合，，中任意两个集合的交集都为空集，若中的元素个数大于，则必有两个元素来自集合，，中的一个，此时，集合中存在不是孤立元素的元素，故若中元素均为孤立元素，则中的元素个数小于等于，又时，中元素均为孤立元素，所以若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素，对于B，若中只有1个元素，则必为孤立元素，又集合时，中不含孤立元素，故B正确；对于C，易知这样的集合有，，，；，，；，；共10个，故C错误；对于D，，其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有，，，，，共6个，故D正确.故选：ABD.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（）A.的图象关于轴对称 B.的最大值为1，没有最小值C. D.在上是增函数【答案】ABD【解析】因为，画出的图象如下：A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误；B选项，无最大值，有最小值0，B错误；C选项，因为，故，，因为，所以，故，C正确；D选项，由图象可知在R上不是增函数，D错误.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，，所以，又对于任意的，存在，使得，则，又，，当时，，所以，解得，当时，，所以，解得，综上，的取值范围是.13.已知集合，若，且，则实数m所取到的值为______或______．【答案】21【解析】，因为，且，所以或，当时，可得：，得：，当时，可得：，得：，所以实数m所取到的值为2或1.14.已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】设，则，且，则，当且仅当时，即时，即时，等号成立，又由方程的两根分别为且，可得，所以，且，因为对于，都有成立，即不等式成立，解得，所以实数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）若，全集，试求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围；解：（1）解不等式得，∴，解得，∴，当时，，∴，∴，∴.（2）由（1）可知，，∵，∴，∴实数的取值范围：.（3）由（1）可知，，∵，∴，∴，∴实数的取值范围：.16.已知函数.（1）若，，函数的最小值为0，求a的值；（2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围；（3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值.解：（1）当，时，，由题意得，函数的值域，（i）时，不符合题意；（ii）时，，即；综上，.（2）因为，不等式转化为，因为有四个整数解，则必有两个不相等实数根，记为，且，又因为当时，，当时，，图象开口向上，对称轴为，所以，故不等式的解集中的四个整数解为，所以，所以，故.（3）因为当时，对，，由题设，有，又，则，又，，故存在使成立，则，所以，令，则，，令，则，且，故，当且仅当，即，，时，等号成立，所以，即的最小值为.17.已知，且.（1）求最大值；（2）求最小值；（3）若不等式恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）已知，且，，，当且仅当即，，取“=”.所以最大值为.（2），当且仅当，即，时取“=”，所以最小值为.（3），当且仅当，即，时取“=”，，解得，所以实数m的取值范围为.18.已知方程.（1）若，，求方程的解；（2）若对任意实数，方程恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围；（3）若方程有两个不相等实数解，且，求的最小值．解：（1），时，，解得或.（2），故，所以，其中，当且仅当时，等号成立，故.（3）有两个不相等的实数解，，由韦达定理得，故，所以，此时，所以，因为，所以，令，其在上单调递增，故，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.19.若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．（1）已知函数，函数，判断和hx是否为区间-1,0上的增长函数，并说明理由：（2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值；（3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围．解：（1）是：因为，，；不是，反例：当时，．（2）由题意得，对于恒成立，等价于，即对恒成立，令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数，要保证对恒成立，则，即，解得，所以满足题意的最小正整数为9．（3）根据题意，当时，，当时，，因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：所以，若是R上的增长函数，则对任意的，都有，因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示，所以，解得，所以实数a的取值范围为.安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次教学质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，则.故选：A.2.下列函数与函数是同一函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数；对于B，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数；对于C，，对应关系不同，与函数不是同一函数；对于D，，与函数的定义域不同，所以与函数不是同一函数.故选：B.3.若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，要使不等式有解，则，所以或.故选：C.4.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】，的否定是：，.故选：C.5.已知，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，则，则，当且仅当，结合，，即，时取等号.故选：A.6.已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为为奇函数，则，且函数的图象关于0,1中心对称，即，因为为偶函数，所以，则，所以，，所以，故的周期为，因，所以.故选：B.7.已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（）A. B.的不同子集的个数为8C. D.【答案】D【解析】，由，，，，，作出图，如图所示，由图可知，，，故A，正确；集合的子集个数为个，故B正确；因为，所以，错误.故选：D.8.若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知的定义域为，又因为函数“函数”，故其值域为；而，则值域为；当时，，当时，，此时函数在上单调递增，则，故由函数是“函数”可得，解得，即实数的取值范围是.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.不等式的解集是，则下列选项正确的是（）A.且B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】对于，，，是方程的两个根，所以，，所以，，所以，，所以错误；对于，，由可得不等式解集为，所以正确；对于，当时，，，所以正确；对于，由题得，因为，所以，所以，所以不等式的解集是，所以正确．故选：.10.已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（）A.若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素B.若中不含孤立元素，则中最少有个元素C.若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个D.若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样集合共有个【答案】ABD【解析】对于A，因为集合，，的并集为，且集合，，中任意两个集合的交集都为空集，若中的元素个数大于，则必有两个元素来自集合，，中的一个，此时，集合中存在不是孤立元素的元素，故若中元素均为孤立元素，则中的元素个数小于等于，又时，中元素均为孤立元素，所以若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素，对于B，若中只有1个元素，则必为孤立元素，又集合时，中不含孤立元素，故B正确；对于C，易知这样的集合有，，，；，，；，；共10个，故C错误；对于D，，其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有，，，，，共6个，故D正确.故选：ABD.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（）A.的图象关于轴对称 B.的最大值为1，没有最小值C. D.在上是增函数【答案】ABD【解析】因为，画出的图象如下：A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误；B选项，无最大值，有最小值0，B错误；C选项，因为，故，，因为，所以，故，C正确；D选项，由图象可知在R上不是增函数，D错误.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，，所以，又对于任意的，存在，使得，则，又，，当时，，所以，解得，当时，，所以，解得，综上，的取值范围是.13.已知集合，若，且，则实数m所取到的值为______或______．【答案】21【解析】，因为，且，所以或，当时，可得：，得：，当时，可得：，得：，所以实数m所取到的值为2或1.14.已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】设，则，且，则，当且仅当时，即时，即时，等号成立，又由方程的两根分别为且，可得，所以，且，因为对于，都有成立，即不等式成立，解得，所以实数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）若，全集，试求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围；解：（1）解不等式得，∴，解得，∴，当时，，∴，∴，∴.（2）由（1）可知，，∵，∴，∴实数的取值范围：.（3）由（1）可知，，∵，∴，∴，∴实数的取值范围：.16.已知函数.（1）若，，函数的最小值为0，求a的值；（2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围；（3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值.解：（1）当，时，，由题意得，函数的值域，（i）时，不符合题意；（ii）时，，即；综上，.（2）因为，不等式转化为，因为有四个整数解，则必有两个不相等实数根，记为，且，又因为当时，，当时，，图象开口向上，对称轴为，所以，故不等式的解集中的四个整数解为，所以，所以，故.（3）因为当时，对，，由题设，有，又，则，又，，故存在使成立，则，所以，令，则，，令，则，且，故，当且仅当，即，，时，等号成立，所以，即的最小值为.17.已知，且.