2024-2025学年安徽省多校高一上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.或 B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以或，所以.故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由全称命题的否定为特称命题可得，命题“”的否定是.故选：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由得，由能推出，但推不出，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.如果，且，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，且，所以或，对于A，当时，故A错误；对于B，若，则，此时，故B错误；对于C，因为，所以，又因为或，所以不为0，所以，故C错误；对于D，因为，且，所以，，故D正确.故选：D.5.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，恒成立，即恒成立，又因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以的最大值为.故选：A.6.已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又，所以解得：.故选：D.7.若正实数，满足，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】∵正实数x，y满足，，∴，当且仅当取等，设，∴，∴，即，，∴，故最小值为2.故选：A．8.定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可变形为，即，化简可得恒成立，所以恒成立，化简可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，，则下列结论正确的是（）A.若且，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】对于A，不妨令，，满足，，不满足，故A错误；对于B，，由不等式的性质知，B正确；对于C，由不等式的性质知，若则所以，故C正确；对于D，由不等式的性质知，若，，则，故D正确.故选：BCD.10.若，，，且，则（）A. B.C D.【答案】BD【解析】对于A，由，则，由，当且仅当时等号成立，可得，解得，故A错误；对于B，由，当且仅当时，等号成立，则，故B正确；对于C、D，由，由题意以及选项B可知：，且，故C错误，D正确.故选：BD.11.设是一个数集，若对任意的，且，都有，，，，则称是一个数域，例如实数集是一个数域，则下列结论正确的是（）A.数域中必含有0，1两个数B.集合是一个数域C.有理数集是一个数域D.数域中必含有【答案】ACD【解析】对于A，数域中必须有一个非零元素，令，则，所以任何数域中均含有两个数，所以选项A正确；对于B，由，而任何数域中均含有两个数，所以选项B错误；对于C，由任何数域中均含有两个数，数域对加法封闭，所以，所以所有的正整数都在数域中，再由数域对减法封闭，所以，所以所有负整数都在数域中，即所有整数都在数域中；再由数域对除法封闭，整数之间作除法，能得到所有有理数在数域中，即有理数是最小的数域，任何数域都必须包含所有有理数，所以选项C正确；对于D，由任何数域都必须包含所有有理数，而，所以数域中必含有，所以选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，.若，则实数____________.【答案】【解析】由题意，，若时，解得，则不成立；若时，解得或，当时，成立，当时，不成立；综上所述，.13.若命题“，”为假命题，则的取值范围是______.【答案】或【解析】由题知，原命题“”为假命题，所以命题的否定“”为真命题，即判别式，解得或.14.某中学在校园内开设了“希望之星小市场”，将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知，某商品的进价为每件20元，设每件售价为元，则每天的销售件数，要想日利润最大，售价应定为每件_______________元.（利润=售价-进价）【答案】30【解析】设日利润为，则，令，由，则，可得，由二次函数的对称轴，当时，取得，此时日利润最大，故当，即时，日利润最大.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合，.（1）若，求；（2）设集合，若的子集有8个，求的取值集合.解：（1）当时，集合，，由集合交集的概念及运算，可得.（2）由（1）知，集合，又由方程，解得或，因为集合，若的子集有8个，可得集合有3个元素，即有3个元素，当时，集合，符合题意；当时，集合，符合题意；当时，集合，符合题意；当且且时，此时，集合，不符合题意，所以实数的取值集合为.16.已知二次函数.（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；（2）指出它的图象的对称轴，请描述函数值的变化趋势及最大值或最小值.解：（1）因为，所以函数的图象由函数的图象上所有点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度可得.（2）由（1）可得函数图象开口向上，其对称轴为，当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大；当时，函数值取到最小值，为，无最大值.17.已知：关于的不等式的解集为，：不等式的解集为.（1）若，求；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.解：（1）由题知：当时，，解得，所以，又，所以，解得，所以，所以.（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集，由（1）知，，时，集合，所以，则，又时，，符合是的真子集，时，，符合是的真子集，所以，综上，实数的取值范围为.18.（1）当时，求的最小值；（2）已知，，都是正数，且，求证：.解：（1），，，当且仅当，即时，等号成立，故当时，函数的最小值为.（2），且，，当且仅当，即时，等号成立，故.19.设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质.（1）试判断集合和是否具有性质，并说明理由；（2）已知集合，若具有性质且恰有4个元素，直接写出符合条件的集合；（写出3个即可）（3）已知集合，若具有性质，证明：中的元素个数不大于10.解：（1）对于集合，因为，所以集合不具有性质.对于集合，因为，所以集合具有性质.（2）以下集合符合条件(答出其中任意3个即可)：，，取其中3个，证明：满足题意，因为，，，，，，则具有性质，同理可证明满足题意（3）将集合分成如下的5个集合：.要证明中的元素个数不大于10，只需证明从上面每个集合中选出的元素不能超过2个.以为例，该集合超过2个元素的子集有：，因为，则这些子集均不具有性质.其余4个集合同理.因为具有性质，所以从每个集合中选出的元素不超过2个.综上，集合中的元素个数不大于10.安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.或 B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以或，所以.故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由全称命题的否定为特称命题可得，命题“”的否定是.故选：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由得，由能推出，但推不出，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.如果，且，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，且，所以或，对于A，当时，故A错误；对于B，若，则，此时，故B错误；对于C，因为，所以，又因为或，所以不为0，所以，故C错误；对于D，因为，且，所以，，故D正确.故选：D.5.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，恒成立，即恒成立，又因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以的最大值为.故选：A.6.已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又，所以解得：.故选：D.7.若正实数，满足，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】∵正实数x，y满足，，∴，当且仅当取等，设，∴，∴，即，，∴，故最小值为2.故选：A．8.定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可变形为，即，化简可得恒成立，所以恒成立，化简可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，，则下列结论正确的是（）A.若且，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】对于A，不妨令，，满足，，不满足，故A错误；对于B，，由不等式的性质知，B正确；对于C，由不等式的性质知，若则所以，故C正确；对于D，由不等式的性质知，若，，则，故D正确.故选：BCD.10.若，，，且，则（）A. B.C D.【答案】BD【解析】对于A，由，则，由，当且仅当时等号成立，可得，解得，故A错误；对于B，由，当且仅当时，等号成立，则，故B正确；对于C、D，由，由题意以及选项B可知：，且，故C错误，D正确.故选：BD.11.设是一个数集，若对任意的，且，都有，，，，则称是一个数域，例如实数集是一个数域，则下列结论正确的是（）A.数域中必含有0，1两个数B.集合是一个数域C.有理数集是一个数域D.数域中必含有【答案】ACD【解析】对于A，数域中必须有一个非零元素，令，则，所以任何数域中均含有两个数，所以选项A正确；对于B，由，而任何数域中均含有两个数，所以选项B错误；对于C，由任何数域中均含有两个数，数域对加法封闭，所以，所以所有的正整数都在数域中，再由数域对减法封闭，所以，所以所有负整数都在数域中，即所有整数都在数域中；再由数域对除法封闭，整数之间作除法，能得到所有有理数在数域中，即有理数是最小的数域，任何数域都必须包含所有有理数，所以选项C正确；对于D，由任何数域都必须包含所有有理数，而，所以数域中必含有，所以选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，.若，则实数____________.【答案】【解析】由题意，，若时，解得，则不成立；若时，解得或，当时，成立，当时，不成立；综上所述，.13.若命题“，”为假命题，则的取值范围是______.【答案】或【解析】由题知，原命题“”为假命题，所以命题的否定“”为真命题，即判别式，解得或.14.某中学在校园内开设了“希望之星小市场”，将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知，某商品的进价为每件20元，设每件售价为元，则每天的销售件数，要想日利润最大，售价应定为每件_______________元.（利润=售价-进价）【答案】30【解析】设日利润为，则，令，由，则，可得，由二次函数的对称轴，当时，取得，此时日利润最大，故当，即时，日利润最大.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合，.（1）若，求；（2）设集合，若的子集有8个，求的取值集合.解：（1）当时，集合，，由集合交集的概念及运算，可得.（2）由（1）知，集合，又由方程，解得或，因为集合，若的子集有8个，可得集合有3个元素，即有3个元素，当时，集合，符合题意；当时，集合，符合题意；当时，集合，符合题意；当且且时，此时，集合，不符合题意，所以实数的取值集合为.16.已知二次函数.（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；（2）指出它的图象的对称轴，请描述函数值的变化趋势及最大值或最小值.解：（1）因为，所以函数的图象由函数的图象上所有点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度可得.（2）由（1）可得函数图象开口向上，其对称轴为，当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大；当时，函数值取到最小值，为，无最大值.17.已知：关于的不等式的解集为，：不等式的解集为.（1）若，求；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.解：（1）由题知：当时，，解得，所以，又，所以，解得，所以，所以.（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集，由（1）知，，时，集合，所以，则，又时，，符合是的真子集，时，，符合是的真子集，所以，综上，实数的取值范围为.18.（1）当时，求的最小值；（2）已知，，都是正数，且，求证：.解：（1），，，当且仅当，即时，等号成立，故当时，函数的最小值为.（2），且，，当且仅当，即时，等号成立，故.19.设集合是的非空子集，若对任意，，都有，则称集合具有性质.（1）试判断集合和是否具有性质，并说明理由；（2）已知集合，若具有性质且恰有4个元素