解题技巧：乘法公式(平方差公式与完全平方公式)的灵活运用压轴题五种模型全攻略（原卷版）

专题06解题技巧专题：乘法公式的灵活运用压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一利用乘法公式进行简便运算】 1【类型二利用乘法公式的变式求值】 4【类型三利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】 6【类型四平方差公式在几何图形中的应用】 11【类型五完全平方公式在几何图形中的应用】 17【典型例题】【类型一利用乘法公式进行简便运算】例题：（2023春·广西北海·七年级统考期中）用简便方法计算：(1)(2)【变式训练】1．（2023春·北京海淀·七年级校考期末）用简便方法计算：．2．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）用简便方法计算：(1)(2)3．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）用简便方法计算．(1)(2)(3)；(4)．【类型二利用乘法公式的变式求值】例题：（2023春·湖南怀化·七年级校考期中）已知：，．(1)求；(2)求．【变式训练】1．（2021春·广东深圳·七年级校考期中）已知：，，求下列代数式的值：(1)；(2)．2．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）已知，，求下列代数式的值．(1)；(2)．3．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知，，求：(1)(2)【类型三利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式：，对式子作如下变形：，因为，所以，当时，，因此有最小值，即的最小值为．通过阅读，解下列问题：(1)代数式的最小值为___________，此时的值为___________(2)试比较代数式与的大小，并说明理由．【变式训练】1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式的最小值．解：原式．，．当时，的最小值是．(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．(2)代数式的最大值为______．2．（2023春·浙江·七年级统考期末）在学习了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法：解：，∵，∴，当时，的值最小，最小值为1．∴的最小值是1，请你根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；(2)求代数式的最小值；(3)若，求的最小值．3．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值．解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值．根据上述材料，解答下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____________；(2)将变形为的形式，并求出的最小值；(3)若代数式，试求N的最大值．【类型四平方差公式在几何图形中的应用】例题：（2023春·广东揭阳·七年级统考期中）长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）

(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）A．B．C．(2)应用你从（）选出的等式，完成下面习题：①已知，，求的值；②计算【变式训练】1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）乘法公式的探究及应用．

【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式_________；【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：①若，，求的值；②计算：．【拓展】（3）计算：．2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．

(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；(3)请应用公式计算：．3．（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．

(1)通过计算两个图形的面积阴影部分的面积，可以验证的等式是______；请选择正确的一个A.B.C.D.(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值．②计算：【类型五完全平方公式在几何图形中的应用】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级校联考期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为________________．(2)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【变式训练】1．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

(1)图②中阴影部分的正方形的边长是；(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：；方法2：；(3)观察图②，请写出代数式，，之间的等量关系：．(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值；2．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．(1)图2中的阴影部分正方形的边长是（用含a，b的代数式表示）；(2)观察图1，图2，能验证的等式是：（请选择正确的一个）；A．B．C．(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，求的面积．3．（2023春·山东烟台·六年级统考期中）如图1是长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？___________．(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________；(3)若，，求的值；(4)拓展：若，求的值．4．（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）一个图形通过两种不同