解题技巧：乘法公式(平方差公式与完全平方公式)的灵活运用压轴题五种模型全攻略（解析版）VIP

专题06解题技巧专题：乘法公式的灵活运用压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一利用乘法公式进行简便运算】 1【类型二利用乘法公式的变式求值】 4【类型三利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】 6【类型四平方差公式在几何图形中的应用】 11【类型五完全平方公式在几何图形中的应用】 17【典型例题】【类型一利用乘法公式进行简便运算】例题：（2023春·广西北海·七年级统考期中）用简便方法计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）把原式变形为，然后利用平方差公式求解即可；（2）把原式变形为，然后利用完全平方公式进行求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键：．【变式训练】1．（2023春·北京海淀·七年级校考期末）用简便方法计算：．【答案】【分析】利用完全平方公式进行变型，计算即可．【详解】．【点睛】本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，当所求的式子有三项，且满足完全平方公式的特点，运用完全平方公式进行求值可简化运算．2．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）用简便方法计算：(1)(2)【答案】(1)9999(2)400【分析】（1）根据平方差公式简化运算即可；（2）根据同底数幂的乘法公式简化运算即可．【详解】（1）；（2）．【点睛】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键．3．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）用简便方法计算．(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)1(3)(4)【分析】（1）先变形，再利用完全平方公式展开计算；（2）先变形为，再利用平方差公式计算即可；（3）根据完全平方公式将原式化为即可；（4）配上因式，连续使用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．【类型二利用乘法公式的变式求值】例题：（2023春·湖南怀化·七年级校考期中）已知：，．(1)求；(2)求．【答案】(1)9(2)1【分析】（1）先运用完全平方公式分别计算，然后联立即可解答；（2）先运用完全平方公式分别计算，然后联立即可解答．【详解】（1）解：①，②则得：，解得．（2）解：①，②则得：，解得．【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．（2021春·广东深圳·七年级校考期中）已知：，，求下列代数式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）将已知完全平方公式展开，再代入计算即可得到答案；（2）将所求完全平方式展开后，整体代入计算可得答案．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）已知，，求下列代数式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的值，再根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；（2）先算出的值，再根据平方差公式把原式变形，代入计算，得到答案．【详解】（1）解：，，，；（2），，．【点睛】本题考查了代数式求值，涉及平方差公式和完全平方公式运算的应用，算出和的值代入变形的原式是解答本题的关键．3．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知，，求：(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）原式变形为，然后把，，代入计算即可求出结果．（2）变形为，然后把，，代入计算即可求出平方根即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式，求一个数的平方根，熟练地运用公式进行变形是解答本题的关键．【类型三利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式：，对式子作如下变形：，因为，所以，当时，，因此有最小值，即的最小值为．通过阅读，解下列问题：(1)代数式的最小值为___________，此时的值为___________(2)试比较代数式与的大小，并说明理由．【答案】(1)，(2)，见解析【分析】（1）根据材料提示，运用配方法配成完全平方公式，即可求解；（2）运用作差法化简两个代数式，运用配方法配成完全平方公式，比较结果的正负，即可求解．【详解】（1）解：，∵，∴，∴当时，的最小值为，故答案为：，．（2）解：，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查乘法公式，作差法比较两个多项式的大小的综合，掌握配方法配成完全平方公式判定代数式的最值，运用作差法比较结果的正负判断代数式的大小等知识是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式的最小值．解：原式．，．当时，的最小值是．(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．(2)代数式的最大值为______．【答案】(1)当时，原式有最小值(2)【分析】（1）直接将代数式化成的形式，然后求解即可；（2）先把负号提出来，再将代数式化成的形式，然后求解即可．【详解】（1）解：，，，当时原式有最小值；（2），，，代数式的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握利用完全平方公式对多项式变形是解答本题的关键．2．（2023春·浙江·七年级统考期末）在学习了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法：解：，∵，∴，当时，的值最小，最小值为1．∴的最小值是1，请你根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；(2)求代数式的最小值；(3)若，求的最小值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；（2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；（3）由，可得，代入中利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可．【详解】（1）解：，，．的最小值是2．（2），，．的最小值是．（3），，，，．的最小值．【点睛】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值．解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值．根据上述材料，解答下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____________；(2)将变形为的形式，并求出的最小值；(3)若代数式，试求N的最大值．【答案】(1)(2)，2(3)17【分析】（1）根据完全平方公式求解；（2）利用配方法求最小值；（3）先对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可．【详解】（1）解：∵，故答案为：．（2）解：∵，其中，，的最小值是2；故答案为：2．（3）解：，的最大值是17．【点睛】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键.【类型四平方差公式在几何图形中的应用】例题：（2023春·广东揭阳·七年级统考期中）长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）

(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）A．B．C．(2)应用你从（）选出的等式，完成下面习题：①已知，，求的值；②计算【答案】(1)B(2)①；②【分析】（1）根据图形可知，图中阴影部分的面积为：，图的面积为长方形的长乘以长方形的宽，即可；（2）由（1）得，，则，再根据，即可；根据，则变形为，根据第二项的分子和第三项的分母约分，第二项的分母与第三项的分子约分，最后得，进行计算，即可．【详解】（1）∵大正方形的边长为：，小正方形的边长为：，∴阴影部分的面积为：；由图可知，长方形的长为：，长方形的宽为：，∴组成的长方形的面积为：，∴，故选：B．（2）由（1）得，，∴，∵，，∴，∴；∵，∴．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景与应用，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活运用．【变式训练】1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）乘法公式的探究及应用．

【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式_________；【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：①若，，求的值；②计算：．【拓展】（3）计算：．【答案】（1）；（2）①3；②9996；（3）【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；（2）①由（1）可知，进而代入相对于的值即可求解；②将变形为，再应用平方差公式进行计算即可；（3）根据平方差公式将每个括号变形，即可求出答案．【详解】解：（1）大的正方形边长为，面积为，小正方形边长为，面积为，∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，∴图1阴影部分面积，图2阴影部分面积，∵图1的阴影部分与图2面积相等，∴，故答案为：；（2）①∵，，即：，∴；②；（3）．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，灵活运用平方差公式是解题的关键．2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．

(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；(3)请应用公式计算：．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；（2）易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子；（3）各项都应用公式计算即可抵消，得到结果．【详解】（1）在图①中，∵大正方形的面积为，小正方形的面积为，∴阴影部分的面积为，在图②中，∵阴影部分为长方形，长为，宽为，∴阴影部分的面积为；故答案为：,；（2）∵两图的阴影部分面积相等，∴可以得到乘法公式；（3）应用乘法公式得：．【点睛】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式．3．（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．

(1)通过计算两个图形的面积阴影部分的面积，可以验证的等式是______；请选择正确的一个A.B.C.D.(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值．②计算：【答案】(1)B(2)①3；②【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；（2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得；通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律把原式变为：，再运用平方差公式，解决问题．【详解】（1）解：左图中，阴影部分为正方形，面积为：，右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：，所以右图阴影部分面积为：，由于左右两图面积相等，所以有：，故答案为：B．（2）解：由（1）中规律，利用平方差公式可得：，，，．故答案为：．通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：．故答案为：．【点睛】本题主要考查平方差的几何背景和应用，代数式求值，有理数混合运算及数式规律问题，利用平方差公式将代数式变形是关键．【类型五完全平方公式在几何图形中的应用】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级校联考期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为________________．(2)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由阴影部分的面积可得面积为或，从而可得答案；（2）把，代入，再利用平方根的含义可得答案；（3）设，，而，，可得，，可得，从而可得答案．【详解】（1）解：由阴影部分的面积可得：，或，∴；（2）∵，，∴，∴；（3）设，，而，，∴，，而，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形与几何图形的面积，利用完全平方公式的表示求解代数式的值，熟记完全平方公式的变形是解本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

(1)图②中阴影部分的正方形的边长是；(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：；方法2：；(3)观察图②，请写出代数式，，之间的等量关系：．(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值；【答案】(1)(2)，(3)(4)13【分析】（1）由图可知，图②中阴影部分的正方形的边长是小长方形长与宽的差；（2）用正方形面积公式可表示阴影部分面积，根据阴影部分面积等于大正方形面积减去四个小长方形面积可表示阴影部分面积；（3）根据（2）中两种方法表示的阴影部分面积相等，即可得出等量关系；（4）由（3）可得，将，代入即可求解．【详解】（1）解：由图可知：图②中阴影部分的正方形的边长是：，故答案为：；（2）解：方法一：阴影部分面积，方法二：阴影部分面积，故答案为：，；（3）解：由（2）可得：阴影部分面积，∴，故答案为：；（4）解：由（3）可得：，把，代入得：，∴．【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，用不同的方法表示图形面积，以及熟知完全平方公式是解题的关键．2．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．(1)图2中的阴影部分正方形的边长是（用含a，b的代数式表示）；(2)观察图1，图2，能验证的等式是：（请选择正确的一个）；A．B．C．(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，求的面积．【答案】(1)(2)C(3)【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，利用（2）的结论直接代入即可，最后根据三角形面积公式即可得出答案．【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是；故答案为：（2）之间的等量关系是：，故选：C.（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y∴，解得，；

另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，∴，

∴，∴，∴，

∴．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．3．（2023春·山东烟台·六年级统考期中）如图1是长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？___________．(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________；(3)若，，求的值；(4)拓展：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)；(4)【分析】（1）由图2可知，阴影部分的正方形的边