2021年高中数学新高考真题卷一卷二合集

2021年高中数学新高考真题卷一卷二合集

2021年高中数学新高考试卷一原卷与答案

2021年高中数学新高考试卷二原卷与答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用

23铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡右上角

“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试

卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={R-2VXV4},3={2,3,4,5},则()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.

{2,3,4}

2.已知z=2-i，则z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.己知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（)

A.2B.2aC.4D.4x/2

［一看）单调递增的区间是（

4.下列区间中，函数f（x）=7sin)

(A)

22

5.已知耳，居是椭圆c：5+?=1的两个焦点，点M在c上，则|叫卜|摩|的最大

值为（）

A.13B.12C.9D.6

nlsin^(l+sin2^)/、

6.若tan®=-2,则-------------L=()

sin0+cos0

6226

A一一B.一一C.-D.-

5555

7.若过点（。8）可以作曲线y=e"的两条切线，则（)

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<^D.0<h<ea

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取

1个球，甲表示事件”第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”,

丙表示事件”两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件”两次取出的球的数字之和是7”，

则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据玉，声，…，血，由这组数据得到新样本数据M，%，…，L，其中

M=Xj+c(i=l,2,…为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

10.已知。为坐标原点，点R(coso,sina),7^(cos/?,-sin/?),

A(cos(a+/?),sin(a+£)),A(l,0),则()

A.|。制=|。司B.,止|阿

C.OAOPvOROP?D.30月=。修0勺

11.己知点P在圆(x—5『+(y-5)2=16上，点4(4,0)、5(0,2),则()

A.点尸到直线A3的距离小于10

B.点P到直线43的距离大于2

C.当NP8A最小时，归邳=3啦

D.当NP8A最大时，|阳二30

12.在正三棱柱ABC—A8C中，AB=AA,=1,点p满足BP=ABC+〃BB-其中

>le[0,l],//e[0,l],则()

A.当;1=1时，△AgP的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸一48。的体积为定值

C.当4=3时，有且仅有一个点P，使得

D.当〃二g时，有且仅有一个点P,使得A8J.平面A片尸

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/（力=V（82]—2-、）是偶函数，贝ijQ=____.

14.已知。为坐标原点，抛物线C：y?=2px（，＞0）的焦点为尸，P为。上一点，PF与

x轴垂直，。为工轴上一点，且PQ_LOP,若|硝=6,则C的准线方程为.

15.函数〃%）=注一1|一2111%的最小值为.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格

为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmx12dm,20dmx6dm两种规格

的图形，它们的面积之和S=240（10?,对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,

20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和S?=180dn?,以此类推，则对折4次共可

以得到不同规格图形的种数为;如果对折〃次，那么ZS*=dm2.

jt=i

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

4+1,〃为奇数,

17.已知数列｛q｝满足4=1,

+2,〃为偶数

（1）记〃二叼“，写出伪，打，并求数列也｝的通项公式;

（2）求｛〃〃｝的前20项和.

18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,3两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问

题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则

从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束”类问题

中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否

则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,

且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

19.记二ABC是内角A,B,CH勺对边分别为。，b,c.已知〃二双，点。在边AC上,

BDsinZABC=as\nC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AO=2DC,求cos/ASC.

20.如图，在三棱锥A-BCD中，平面A5D_L平面8c。，AB=AD,。为8。的中点.

(1)证明：OALCD；

(2)若KOCD是边长为1等边三角形，点E在棱4。上，DE=2EA,且二面角

E-8C-O的大小为45。，求三棱锥4一区CO的体积.

21.在平面直角坐标系中，已知点6(-J氏。)、鸟(J万,0)|M用一|M用=2,点M

的轨迹为C.

(1)求。的方程；

(2)设点T在直线x上，过了两条直线分别交C于A、8两点和P,Q两点，且

2

|刃4卜|7罔=|阴•|图，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22.已知函数/(x)=x(lTnx).

(1)讨论的单调性；

(2)设。，b为两个不相等的正数，且罚na-Hnb=a-b,证明：2<-+-<e.

ab

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分,考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用

23铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡右上角

“条形码粘贴处”.

2•作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试

卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.设集合4=卜卜2<%<4},5={2,3,4,5},则A08=()

A.{2}B.{2,3}c.{3,4}D.

{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义可求AB.

【详解】由题设有Ac5={2,3},

故选：B.

2.已知z=2—i，则z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的乘法和共拆复数的定义可求得结果.

［详解］因为z=2—i,故；=2+i，故z「+i)=(2_i)(2+2i)=6+2i

故选：C.

3.已知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.25/2C.4D.45/2

【答案】B

【解析】

【分析[设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为

所求.

【详解】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则万/=2昼夜，

解得1=2日

故选：B.

4.下列区间中，函数f(x)=7sinjx-单调递增的区间是()

D.

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式2时一■|<工一看<24万+郛wZ),利用赋值法可得出结论.

/\

【详解】因为函数丁=411工的单调递增区间为2ki*,2k4++(keZ),

\L2)

(jr、jrjrjr

对于函数/(x)=7sinx---,由2ATT-------<x----<2ATF+—(ZwZ),

k6J262

jr27r

解得2攵万一]<xv2攵万+半(ZwZ)

取攵=0,可得函数/(x)的一个单调递增区间为

则0,—c--|(Z,A选项满足条件，B不满足条件;

‘红竺1

取比=1,可得函数/（力的一个单调递增区间为

~9~)

CD选项均不

满足条件.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin（5+p）形

式，再求y=Asin（5+°）的单调区间，只需把s+夕看作一个整体代入y=sinx的相应

单调区间内即可，注意要先把。化为正数.

5.已知"，尸2是椭圆C：三十9=1的两个焦点，点M在。上，则|孙卜|咋|的最大

值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本题通过利用椭圆定义得至|“峥|+|咋|=2。=6,借助基本不等式

明可得到答案.

\MFt\-\MF2\<网;阿玛

【详解】由题，“2=9,从=4,则附用+|g|=2a=6,

所以阿耳卜四图4=9（当且仅当|“用二阿闾=3时，等号成立）.

<2）

故选：C.

【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到.

什八八esin6（1+sin26）

6.布tan9=-2,则-------------=（）

sin夕+cos。

6226

A.----B.----C.-D.一

5555

【答案】C

【解析】

【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan6=-2即可得到结果.

【详解】将式子进行齐次化处理得：

sin8（1+sin2。）sin^（sin26^-cos26+2sin6cos。）

=sin6（sin，+cos。）

sin6+cos9sin6+cos。

_sin6(sine+cos。)_tan2+tan_4-2_2

sin2^+cos2^l+tan2^1+45

故选：C.

【点睛】易错点睛：本题如果利用tan®=-2,求出sin/cos。的值，可能还需要分象限

讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论.

7.若过点(。/)可以作曲线y=e"的两条切线，则()

A.eb<aB.e”<b

C.0<a<eb0.0<b<ea

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形

确定结果

【详解】在曲线y=-上任取一点尸«,一),对函数y=/求导得y=ev,

所以，曲线y=在点P处的切线方程为y-d=d(x-f),即y=dx+(l-l)e'，

由题意可知，点(。,匕)在直线y=~x+(l—f)d上，可得力=ae'+(lT)d=(a+lT)e',

令/(f)=(a+l—，)d，则/'(，)=

当，va时，/'(r)>0,此时函数/(f)单调递增，

当时，r(r)<0,此时函数/(r)单调递减，

所以，/(〃皿=/(〃)=/，

由题意可知，直线y=b与曲线y=/(。的图象有两个交点，则bv/(〃皿=/，

当rva+1时，/(r)>0,当r>a+l时，/(r)<0,作出函数/(1)的图象如下图所示:

由图可知，当0〈人ve“时，直线y=b与曲线y=/（f）的图象有两个交点.

故选：D.

【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取

1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,

丙表示事件”两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，

贝U（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【答案】B

【解析】

【分析】根据独立事件概率关系逐一判断

【详解】P（甲）=3P（乙）=3P（丙）=［尸（丁）=£=3，

6636366

尸（甲丙）=0=P（甲）P（丙），P（甲丁）二3=P（甲）P（丁方

36

P（乙丙）=」=P（乙）P（丙％P（丙丁）二00P（丁）P（丙）,

36

故选：B

【点睛】判断事件AB是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)二尸(AB)是否成立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据阳，々，…，当，由这组数据得到新样本数据,，乂，…，先，其中

y=%+c(i=l,2,…,〃),c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】A、C利用两组数据的线性关系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x)t即可判断正

误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且。工0,故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为七，则第二组的中位数为y=七+。，显然不相同，错误；

c：ZXy)=O(x)+ZXc)=O(x),故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为4ax-%in，则第二组的极差为

,'max-Xnin一(3皿+°)一(%n+。)一/ax一5in，故极差相同，正确；

故选：CD

10.已知。为坐标原点，点[(cosa,sina),《(cos/?,-sin/)，

[(cos(a+夕),sin(a+4))，4(1,0),则()

A\OP\=\OP\B.

]2\AP]=\AP2\

C.OAOP.=OP,OI}D.OAOP^OP.OP.

【答案】AC

【解析】

【分析】A、B写出0<,。/、APrA6的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；

C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

22

(详解】A：=(cosa,sina)，OP^=(cos4，一sinB)，所以10Px|=Vcosa+sina=1，

10P21=J(cos0)2+(-sin£)2=1，故IOPX|=(OP21,正确；

B：AF\=(cosa-1,sina),AP2=(cos/?-1,-sinp),所以

|A^|=V(cosa-l)2+sin2a=7cos2a-2cosa+1+sin2a=^2(1-cosa)=^4sin2y=21sin-y|

,同理|Ap|=J(cos夕-l)2+sin2£=2|sing|,故|4片|不一定相等，错误；

C：由题意得：OAOF^=lxcos(a+/?)+0xsin(a4-^)=cos(a+/?),

OF\OP1=cosacos夕+sina•(-sinp)=cos(a+6)，正确；

D：由题意得：OA-OF^=lxcosa+Oxsina=cosa,

OP,OR=cosPxcos(a+/7)+(-sin尸)xsin(a+p)

=cosacos2-sinasin0cosfl-sinasinpcos0-cosasin2P

=cosacos2/7-sinasinip=cos(a+2^),错误；

故选：AC

11.已知点P在圆(x—5『+(y-5)2=16上，点4(4,0)、5(0,2),则()

A.点p到直线A6的距离小于10

B.点?到直线的距离大于2

C.当NP84最小时，|尸耳=30

D.当NP84最大时，|冏=3血

【答案】ACD

【解析】

【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点尸到直线AB的距离的取值范围，可判断

AB选项的正误；分析可知，当NP84最大或最小时，依与圆M相切，利用勾股定理可判

断CD选项的正误.

【详解】圆（"-5）2+（丁一5）2=16的圆心为加（5,5）,半径为4,

直线A3的方程为:+]=1,即x+2y-4=0,

|5+2x5-4|11I1J5

圆心M到直线A8的距离为।/」=—二」一＞4,

65

所以，点尸到直线A8的距离的最小值为止5-4<2,最大值为生叵+4<10,A选项

55

正确，B选项错误;

如下图所示：

当NPB4最大或最小时，/出与恻M相切，连接MP、BM,可知尸

\BM\=^（0-5）2+（2-5）2=V34，|阴=4,由勾股定理可得

\BP\==3V2»CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线/与半径为「圆C相离，圆心C到直线，的距离为d,则圆C

上一点P到直线/的距离的取值范围是W一二d+r].

12.在正三棱柱ABC-A耳£中，AB=A4,=1,点P满足3户=几3右+"3瓦，其中

/1G[0,1],//G[0,1],则（）

A.当a=1时，△4&P的周长为足值

B.当〃=1时，三棱锥尸一A/C的体积为定值

C.当;l=g时，有且仅有一个点尸，使得AP_L3P

D.当"=g时，有且仅有一个点P,使得ABJ.平面ABf

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将2点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值：

对于C,考虑借助向量平移将2点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解尸点

的个数.

易知，点P在矩形8CG与内部（含边界）.

对于A,当；1=1时，BP=BC+^BBpBC+，即此时尸仁线段CG，周长

不是定值，故A错误；

对于B,当〃=1时，BP=ABC+BBpBB]+AB。,故此时P点轨迹为线段qG,而

,4G〃平面A^C,则有2到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，

故B正确.

1I

对于C,当％时，=+,取8C,qG中点分别为。，”，则

-2

BP=8Q+〃QH,所以尸点轨迹为线段不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图,

4日,0,1,p(0,0,〃)，则qp:一日,0,〃一1,8P=(o,

I2)\^)(2)12，

〃(〃-1)=0,所以〃=0或〃=1.故H,Q均满足,故C错误；

1——1---

对于D,当〃=5时，BP=ABC+^BBI,取BB「CC,中点为M,N.BP=BM+入MN1

所以尸点轨迹为线段MN.设P(0,%,；),因为4*，0,0，所以AP=-与y。,；，

'2)k27\22)

一号；,-1,所以3+』%-4=0=%=-,，此时「与N重合，故D正确.

\22/4222

故选：BD.

【点睛】本题主要考查向量的等价替换.关键之处在于所求点的坐标放在二角形内.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(司=/(。2—2一、)是偶函数，则〃=____.

【答案】1

【解析】

【分析】利用偶函数的定义可求参数。的值.

【详解】因为/(力=/(。2-2一)故/(一力=一/(小2T-21

因为f(x)为偶函数，故/(一%)=/(力,

时x3•2、-2r)=-x3(a2-x-2"),整理得到(a-l)(2v+2-r)=0,

故a=l,

故答案为：1

14.已知。为坐标原点，抛物线C：y2=2px(〃>0)的焦点为尸，P为C上一点，PF与

x轴垂直，。为x轴上一点，且若|图=6,则C的准浅方程为_____.

3

【答案】x=--

2

【解析】

【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得〃，即得结果.

nn

【详解】不妨设P(§p)「.。(6+g,0),P。=(6,—p)

因为尸Q1.OP,所以勺6-〃2=0(2〃>0「.〃=3「.。的准线方程为X=一方

故答案为：％=-三3

2

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

15.函数/(%)=|2工一1|一21nx的最小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】由解析式知/(幻定义域为(0,+8),讨论0<X工!、x>l,并结合

22

导数研究的单调性，即可求/(幻最小值.

【详解】由题设知：f(x)=|2x—l|-21nx定义域为(0,+oo),

，当0vxW］时，/(x)=l-2x-21nx,此时/(x)单调递减：

12

当一时，f(x)=2x-\-2\nxt有/'a)=2--<0,此时/(外单调递减；

2x

2

当*>1时，/(x)=2x-l-21nx,有/'(幻=2-->0,此时/(力单调递增；

x

又fM在各分段的界点处连续，

工综上有：0<xKl时，/V)单调递减，4>1时，单调递增；

・・・/a)^/(i)=i

故答案为：i.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格

为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格

的图形，它们的面积之和S=240411?,对折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,

20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和S?=180dn?,以此类推，则对折4次共可

以得到不同规格图形的种数为；如果对折〃次，那么二dm2.

15(3+〃)

【答案】⑴.5(2).720-

2〃-4

【解析】

【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S〃，再根据错位相减法得结果.

【详解】（1）对折4次可得到如卜规格：—dmx12dm,—dmxGdm,5dmx3dm»

42

33

10dmx—dm,20dm义一dm,共5种;

24

12Qn+1

(2)由题意可得S=2x120,$2=3x60,$3=4x30,S4=5x15,…，^=()

120x2120x3120x4+L+I2。*】)

设5=

2°2^2?

则4竽+等120〃120(71+1)

++2〃T+T，

两式作差得

6。(1一击)120(〃+l)

f11

-5=240+120———^=240+

-+r2++击

2(22TT

二360」2。(〃+3)

2〃2”

_八240(〃+3)八15(〃+3)

因此，S=720-----——^=720——

2〃2"-4

故答案为：5；720_155：3）

2«-4

【点睛】方法点睛：数列求和常用方法:

(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解;

(2)对于｛《白｝结构,其中｛《J是等差数列,｛勿｝是等比数列,用错位相减法求和;

(3)对于｛%+£｝结构,利用分组求和法;

（4）对于＜三一,结构，其中｛与｝是等差数列，公差为d（d。。），则

」一=!（1-一——利用裂项相消法求和.

〃〃凡川小〃4+J

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

z1储”+1,〃为奇数，

17.已知数列间满足Q1,为偶数

⑴记仇=%,，写出4,%,并求数列也｝的通项公式;

（2）求｛%｝的前20项和.

【答案】（1）4=2也=5；（2）300.

【解析】

【分析】（1）根据题设中的递推关系可得包川=勿+3,从而可求｛〃｝的通项.

（2）根据题设中的递推关系可得｛为｝的前20项和为§2。可化为

520=2佃+4+…+4+4））-10,利用⑴的结果可求Sa。.

【详解】（1）由题设可得4=。2=4+1=2,力2=〃4=。3+1=。2+2+1=5

又a2k+2=+1»。2%+1=+2，

故生4+2=%4+3即%=d+3即4+1=3

所以｛或｝为等差数列，故〃=2+5—1）X3=3〃-1.

（2）设｛%｝的前20项和为邑0，则520=4+。2+。3+・一+。20，

因为q=〃2-1，%=〃4-1，，49=。20-1，

所以$20=2（叼+/++々18+420）—1°

（9x10、

=2（Z?1+Z?2++^+Z?lo）-lO=2xllOx2+^y-x31-10=300.

【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推

关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.

18.某学校组织“一带一路''知识竞赛，有A,3两类问题，每位参加匕赛的同学先在两类问

题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则

从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题

中的每个问题回答正确得20分，否则得。分：8类问题中的每个问题回答正确得80分，否

则得。分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,

且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答4类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）B类.

【解析】

【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）

与（1）类似，找出先回答8类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20,100.

p（X=0）=l-0.8=0.2；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

（2）由⑴知，E（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答3问题，记y为小明的累计得分，则丫的所有可能取值为0,80,100.

P（y=0）=l-0.6=0.4；

P（Y=80）=0.6（1-0.8）=0.12；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以E（y）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因为54.4V57.6,所以小明应选择先回答8类问题.

19.记-ABC是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知〃=而，点。在边AC上,

BDsinZABC=as\nC.

(1)证明：BD=bx

(2)若AD=2DC,求cos/ABC

7

【答案】（1）证明见解析；（2）cosZ4BC=—.

12

【解析】

【分析】（D根据正弦定理的边角关系有8。二半，结合已知即可记结论.

2bb

(2)由题设8£>=〃,AO=—,DC=—,应用余弦定理求cosNADB、cosZ.CDB,又

33

人4][序

NADB=7T-NCDB,可得2/+1二——,结合已知及余弦定理即可求8SNABC.

a23

（1）由题设，BD=-^—,由正弦定理知:-----=----------,即----------=一

sinZABCsinCsin/ABCsin/ABCb

:.BD=――,又户=ac，

b

:.BD=b,得证.

(2)由题意知：BD=b,AD=-,DC=-,

33

:.cosZADB=-----------=—―7——,同理cosZCDB=-----

2》竺也2〃2b

~3

-:ZADB=7T-ZCDB,

一心理

,整理得2/+<?=+,又b?=(1c

4b2b23

~T

A2^+^-=—,整理得6。4一11/6+3/=0,解得彳=_1或4=。，

a23b23b-2

zr2-ur2—h24a2

由余弦定理知：cosZ4BC=-----=

lac32b2

当冬="L时，cos/45C=1>1不合题意；当g=3时，cosZ4BC=—：

b236b2212

综上，cosZABC--.

12

【点睛】关键点点睛:第二问，根据余弦定理及ZADB=K-ZCDB得到。力,c的数量关系，

结合已知条件及余弦定理求cosNA5c.

20.如图，在三棱锥A—BCD中，平面平面BCD,AB=AD^。为80的中点.

(1)证明：OA1CD；

(2)若cOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角

七一3。—。的大小为45。，求三棱锥A-3C。的体积.

【答案】（I）详见解析⑵

6

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO_L平面BCD,即可证得结果；

（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.

【详解】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO_LBD

因为平面ABD平面BCD=8Z）,平面ABD_L平面BCD,AOu平面ABD,

因此AOJ_平面BCD,

因为COU平面BCD,所以AO_CD

（2）作EF1BD于E作FM±BC于M,连FM

因为AOI平面BCD.所以AOIBD.AOICD

所以EFJ_BD,EF_LCD,B£）cCD=£）,因此EF_L平面BCD,即EF_LBC

因为FMJ_BC,FM\所=尸，所以BC_L平面EFM,即BC_LMF

7T

则ZEMF为二面角E-BC-D的平面角，/EMF=-

4

因为BO=OD,t.OCD为正三角形，所以AOCD为直角三角形

因为8石=2£0,，根=[3/=]（1+!）=1

2233

2

从而EF=FM=-.\AO=\

3

QAOJ•平面BCD,

所以V=—AO-S,BCD=~xlx~x>/3-—-

3326

【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.

21.在平面直角坐标系xO），中，已知点片（-J万,0）、鸟（J万,0）|5|一|“卜2,点M

的轨迹为C.

(1)求C的方程;

(2)设点了在直线人=，上，过丁的两条直线分别交。于A、6两点和P,。两点，且

2

|Z4|.|7B|=|7^-|得，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

2

【答案】(1)x2-^=l(x>l)：(2)0.

【解析】

【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹C是以点入、尸2为左、右焦点双曲线的右支，求

出。、6的值，即可得出轨迹。的方程；

(\\

(2)设点7不/，设直线AB的方程为》-二勺X--，设点A(5，x)、8(天,月)，

联立直线A8与曲线C的方程，列出韦达定理，求出|7?*|73］的表达式，设直线PQ的斜

率为22,同理可得出|历iTQl的表达式，由|啊・|用化简可得勺+&2的值.

【详解】因为I”用一|咋|=2<忻闾=2所,

所以，轨迹。是以点耳、尸2为左、右焦点的双曲线的右支，

设轨迹C的方程为三一方二1(〃>0/>0),则勿=2,可得。=1,6=47-/=4,

所以，轨迹C的方程为V一得=1(x21)；

(2)设点T-JI,若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点,

1,即y=女/+/_；4,

不妨直线AB的方程为y-，=&x—

2

y=k,.x+t——1K,.

联立〈121,消去y并整理可得

\6x2-y2=\6

2

（k；-16）工？+K（2/—勺）r+1+16=0,

设点4（天,凹）、8（%,%），则且£>；•

〃乙