山东省青岛海尔学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

海尔学校2024-2025学年度第一学期期中考试解析-高三上数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，i为虚数单位，为z的共轭复数，则（）A. B.4 C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.（）A. B. C. D.24.已知向量，，其中，若，则（）A.40 B.48 C. D.625.已知的内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，则的最大值为（）A. B. C. D.6.若定义在上的偶函数在上单调递增，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.7.已知a，且，，，则（）A. B. C. D.8.已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知且，则（）A. B. C.2 D.10.已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（）A. B.是偶函数C. D.若，则11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.的定义域为 B.有解C.不存在极值点 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为______.13.数列共有5项，前三项成等比数列，公比为q.后三项成等差数列，公差为d，且若第5项为1，第2项与第4项的和为18，第1项与第3项的和为35，则____________.14.在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则BQ的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知单位向量，满足．（1）求； （2）求在上的投影向量（用表示）．16.（15分）定义三阶行列式运算：，其中（i，）.关于x的不等式的解集为M.（1）求M；（2）已知函数在实数集单调递增，求a的取值范围.17．（15分）函数（，，）的部分图象如图，和均在函数的图象上，且Q是图象上的最低点．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值．18.（15分）已知数列是首项为2，公比为4的等比数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.19.（17分）已知函数.（1）求的值；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.高三期中考试题数学参考答案1.D【解析】由，可得.故选D.2.C【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3.C【解析】由题意得.故选C项.4.D【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选D.5.B【解析】由题意可得，由余弦定理可得，，，.故选B.6..B【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，，又，在上单调递增，所以.故选B项.7.D【解析】由题意可得，解得.故选D.8.A【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9.BCD【解析】由且，得，解得，同理得，故A项错误，B项正确；对于C项，，当且仅当时，取等，故C项正确；对于D项，，故D项正确.故选BCD项.10.BCD【解析】设幂函数，由，得，所以，所以无意义，故A项错误；，所以是偶函数，故B项正确；由，得，故C项正确；因为是偶函数，且在上单调递减，所以由，得，即且解得且，故D项正确.故选BCD项.11.ACD【解析】对于A选项，由函数的定义知的定义域为，故A正确.对于B选项，令，则，即，判别式，无实数解，故B错误.对于C选项，，可知，设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C正确.对于D选项，方法一：由的单调性可知，D正确.方法二：作差有，且，故，D正确.故选ACD.12.【解析】，故时，，故曲线在点处的切线方程为.13.5【解析】由题意得该数列的项可设为，，，，1，又即从而，即，即，解得所以.14.【解析】如图，延长BA，CD交于点E，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q，故点Q在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q在线段BD上，且时，BQ取得最小值.15.解：（1）．……6分（2）在上的投影向量为．……13分16．（15分）解：（1）， （3分）所以，所以原不等式的解集. （6分）（2）由（1）知，所以 （7分）在实数集上单调递增，，又因为当时，是单调增函数，所以当时，，解得 （10分）综上，a的取值范围是.17.解：（1）由题得，，故，．由，得，，故，，，故，故．，即单调递增区间为，．……9分（2）由，即，又，则，故，．……15分18.解：（1）由题意得， （2分）所以. （3分）由，得当时，， （5分）所以，即. （6分）又当时，也符合，所以. （7分）（2）设，则， （8分） （9分）两式作差得， （10分）即， （12分）所以.19.（17分）已知函数.（1）求的值；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.解：（1）由，得， （2分）所以，所以， （4分）所以，所以. （5分） （2）由（1）可得， （6分）， （7分）当时，，，在区间上单调递减，（8分）所以的最小值. （9分）的最大值， （10分），（11分）这时的取值范围为.（12分）当时，，，在区间上，，在区间上单调递减，（13分）所以的最小值. （14分）的最大值， （15分），这时的取值范围为.（16分）综上所述，当时，取值范围为；当时，取值范围为.（17分）变式：已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.解：（1）由，得， （2分）所以，所以， （4分）所以，所以. （5分）所以在处的切线方程为 （6分）化为.（7分）（2）由（1）可得， （8分）所以，，两零点为（9分）-+单调递减单调递增（11分） 因为，（12分）所以时，，（13分）