安徽省亳州市亳州一中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案及解析

亳州一中2024-2025学年第一学期高二年级第一次月考测试卷数学注意事项：1．满分分值：150分；考试时间：150分钟．2．考试范围：选择性必修一第一章，第二章，第三章3.1椭圆．3．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、班级等信息认真填写在答题卡上．4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．5．考试结束后，只需上交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线经过点，且法向量，则的方程为（）A. B.C. D.2.在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.33.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则长等于（）A. B. C.4 D.24.a=−1是直线与直线(垂直的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.直线与圆交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为A. B. C. D.6.设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.或 B.或C. D.7.直线的倾斜角的取值范围是（）A B.C D.8.正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（）A B.C.的长为 D.10.已知点在圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，11.曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（）A.曲线C关于直线交于不同于原点的Ax1,yB.存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；C.存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；D.曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______．13.设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间三点，设．（1）若，，求；（2）求与的夹角的余弦值；（3）若与互相垂直，求k．16.已知直线与圆：交于两点．（1）求线段的垂直平分线的方程；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，求过点的圆的切线方程．17.已知的三个顶点分别为，，，直线经过点.（1）求外接圆的方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；（3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率.18.如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求．19.已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围.

亳州一中2024-2025学年第一学期高二年级第一次月考测试卷数学注意事项：1．满分分值：150分；考试时间：150分钟．2．考试范围：选择性必修一第一章，第二章，第三章3.1椭圆．3．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、班级等信息认真填写在答题卡上．4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．5．考试结束后，只需上交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线经过点，且法向量，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的法向量求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意知直线的法向量是，可得其斜率为，所以直线的方程为，即.故选：C2.在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项.【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.于是四个选项都是错的.故选：A3.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（）A. B. C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故选：C.4.a=−1是直线与直线(垂直的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】按照直线的斜率是否为零和是否存在对分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线的充要条件计算分析即可得出．【详解】当a=−1时，两条直线分别化为：，，此时两条直线相互垂直；当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不垂直；当、时，两条直线的斜率分别：，，∵两条直线相互垂直，∴，解得．综上可得：a=−1是直线与直线(垂直的充分不必要条件．故选A．5.直线与圆交于E，F两点，则△EOF（O是原点）面积为A B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：由题意分别求得三角形的底边和高，然后计算面积即可.详解：由题意可知原点、圆心到直线的距离分别为：，直线被圆截得的弦长为：，则的面积为.本题选择D选项.点睛：圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.6.设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示：依题意，，要想直线l过点且与线段AB相交，则或，故选：A7.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果.【详解】设直线的倾斜角为.因为，，，所以，.又，则.当时，单调递增，解，可得；当时，单调递增，解，可得.综上所述，.故选：B.8.正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，又，所以，，所以的取值范围为．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（）A. B.C.的长为 D.【答案】BD【解析】【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确：对于C选项，，则，则，C错误：对于，则，D正确.故选：BD.10.已知点在圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.11.曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（）A.曲线C关于直线交于不同于原点的Ax1,yB.存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；C.存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；D.曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于.【答案】AC【解析】【分析】由对称性判断A，利用基本不等式求得曲线上的点到原点距离的最大值后可判断BCD．【详解】因为由可得，所以曲线关于原点对称，又直线过原点，所以Ax1,y所以，所以A正确；由，所以，即：①，当取等号，此时，点在曲线上，而，所以不可能在一个以原点为中心、边长为1的正方形内，所以B错误，点可以在一个以原点为中心、半径为1的圆上，故C正确，由①式知，所以D错误．故答案为：AC．【点睛】方法点睛：利用方程研究曲线的性质，利用基本不等式求曲线上的点到原点距离的最大值．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______．【答案】【解析】【分析】由题知、，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，所以直线的方程为，即；方法2：设，，则由，可得，同理可得，所以直线方程为.故答案为：13.设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.【答案】##【解析】【分析】由列方程，化简求得的值.【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∵，不共线，∴，∴，∴.故答案为：14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则______.【答案】【解析】【分析】由题意可得，从而可求得，根据勾股定理可求得，利用椭圆离心率的定义即可求得结果.【详解】如下图所示：因为，，所以，可得，即，可得；又在中，，由椭圆定义可得，即，所以，可得.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间三点，设．（1）若，，求；（2）求与的夹角的余弦值；（3）若与互相垂直，求k．【答案】（1）或（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．【小问1详解】因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，因此或；【小问2详解】因为所以与的夹角的余弦值为；【小问3详解】因为与互相垂直，所以或.16.已知直线与圆：交于两点．（1）求线段的垂直平分线的方程；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，求过点的圆的切线方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】试题分析：（1）由题意，线段垂直平分线经过圆的圆心，斜率为，可得线段的垂直平分线的方程；（2）利用，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求的值；（3）设切线方程，利用点到直线距离，建立斜率的方程．试题解析：（1）由题意，线段的垂直平分线经过圆的圆心，斜率为，∴方程为，即；（2）圆可化为，∵，∴圆心到直线的距离为，∵圆心到直线的距离为，∴，∴（3）由题意，知点不在圆上．①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为，即．由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，所以所求切线的方程为．②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为．综上，所求切线的方程为．考点：直线与圆的位置关系．【易错点晴】解析几何中求切线方程是一种重要题型，也是易错题型，其根源是忽视了直线方程的局限性．直线方程的点斜式（斜截式）都漏掉了一种情况，即斜率不存在的情况，故在利用这种形式的直线方程时，一定要养成优先考虑特殊情况的习惯；同样，直线方程的截距式也存在着不足，不仅要求斜率存在且不能为零，还要求直线不能过原点．17.已知的三个顶点分别为，，，直线经过点.（1）求外接圆的方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；（3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率.【答案】（1）（2）或（3），【解析】【分析】（1）根据待定系数法可得圆的方程；（2）根据直线方程，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得直线方程；（3）由，可得当时面积最大，即此时为等腰直角三角形，进而可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式可得解.【小问1详解】设圆的方程为，，则，解得，则圆的方程为，即；【小问2详解】由（1）得圆心，半径，又，可知圆心到直线的距离，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离，解得，则直线方程为，即；综上，直线方程为x=1或.【小问3详解】由D1,4在圆外，则在中，，，又，则当，即时，取得最大值为，此时等腰直角三角形，即圆心到直线的距离，即，解得18.如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求．【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【分析】（1