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文档简介
2025届山西省汾阳市第二高级中学高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若平面向量,满足,则的最大值为()A. B. C. D.2.要得到函数的图象,只需将函数的图象()A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位3.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B.C. D.4.已知数列是公比为的等比数列,且,,成等差数列,则公比的值为(
)A. B. C.或 D.或5.如图是一个算法流程图,则输出的结果是()A. B. C. D.6.设,则()A. B. C. D.7.的展开式中,项的系数为()A.-23 B.17 C.20 D.638.对于函数,若满足,则称为函数的一对“线性对称点”.若实数与和与为函数的两对“线性对称点”,则的最大值为()A. B. C. D.9.若复数满足,则()A. B. C.2 D.10.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为()A. B.3 C.2 D.11.如图所示,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,则球的体积为()A.1605π3 B.64212.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是,则判断框中应填入的条件是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,若,则实数的取值范围为__________.14.在平面直角坐标系中,双曲线的焦距为,若过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为,则双曲线的离心率为____________.15.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,如图是过且垂直于长轴的弦,则的内切圆方程是________.16.在平面五边形中,,,,且.将五边形沿对角线折起,使平面与平面所成的二面角为,则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;(2)已知点,直线与曲线交于、两点,求.18.(12分)在本题中,我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数:①的定义域和值域都是;②在上是增函数或者减函数.(1)若在区间上是闭函数,求常数的值;(2)找出所有形如的函数(都是常数),使其在区间上是闭函数.19.(12分)已知,函数有最小值7.(1)求的值;(2)设,,求证:.20.(12分)如图,设椭圆:,长轴的右端点与抛物线:的焦点重合,且椭圆的离心率是.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过作直线交抛物线于,两点,过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点,求面积的最小值,以及取到最小值时直线的方程.21.(12分)将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,,…,,并绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)现从年龄在,,内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人进行座谈,用表示年龄在)内的人数,求的分布列和数学期望;(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达,利用向量数量积的性质,化简为三角函数最值.【详解】由题意可得:,,,故选:C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.2、D【解析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可;【详解】解:函数,要得到函数的图象,只需将函数的图象向左平移个单位.故选:D.【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题,属于基础题.3、A【解析】试题分析:由题意,得,解得,故选A.考点:函数的定义域.4、D【解析】
由成等差数列得,利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.【详解】由题意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故选:D.【点睛】本题考查等差等比数列的综合,利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键,对于等比数列的通项公式也要熟练.5、A【解析】
执行程序框图,逐次计算,根据判断条件终止循环,即可求解,得到答案.【详解】由题意,执行上述的程序框图:第1次循环:满足判断条件,;第2次循环:满足判断条件,;第3次循环:满足判断条件,;不满足判断条件,输出计算结果,故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出,其中解答中执行程序框图,逐次计算,根据判断条件终止循环是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.6、D【解析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.【详解】由,即,又,即,,即,所以.故选:D.【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.7、B【解析】
根据二项式展开式的通项公式,结合乘法分配律,求得的系数.【详解】的展开式的通项公式为.则①出,则出,该项为:;②出,则出,该项为:;③出,则出,该项为:;综上所述:合并后的项的系数为17.故选:B【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识,考查理解能力,计算能力,分类讨论和应用意识.8、D【解析】
根据已知有,可得,只需求出的最小值,根据,利用基本不等式,得到的最小值,即可得出结论.【详解】依题意知,与为函数的“线性对称点”,所以,故(当且仅当时取等号).又与为函数的“线性对称点,所以,所以,从而的最大值为.故选:D.【点睛】本题以新定义为背景,考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式,理解新定义含义,正确求出的表达式是解题的关键,属于中档题.9、D【解析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式计算.【详解】解:由题意知,,,∴,故选:D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法.10、D【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可.【详解】结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故对三角形运用余弦定理,得到,而结合,可得,,代入上式子中,得到,结合离心率满足,即可得出,故选D.【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难.11、A【解析】
设球心为O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的内切圆的圆心为O1,该圆与边B【详解】如图,设三棱柱为ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1为斜边是A1C1则圆O1的半径为O设球心为O,则由球的几何知识得ΔOO1M所以OM=2即球O的半径为25所以球O的体积为43故选A.【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题,解答本题的关键有两个:(1)构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形,并在此三角形内求出球的半径,这是解决与球有关的问题时常用的方法.(2)若直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则该直角三角形内切圆的半径r=a+b-c12、D【解析】
首先判断循环结构类型,得到判断框内的语句性质,然后对循环体进行分析,找出循环规律,判断输出结果与循环次数以及的关系,最终得出选项.【详解】经判断此循环为“直到型”结构,判断框为跳出循环的语句,第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:,此时退出循环,根据判断框内为跳出循环的语句,,故选D.【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图,属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点:(1)不要混淆处理框和输入框;(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5)要注意各个框的顺序,(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
画图分析可得函数是偶函数,且在上单调递减,利用偶函数性质和单调性可解.【详解】作出函数的图如下所示,观察可知,函数为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减,故,故实数的取值范围为.故答案为:【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论:(1)如果函数是偶函数,那么.(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.14、【解析】
利用即可建立关于的方程.【详解】设双曲线右焦点为,过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线分别交于两点,则,,由已知,,即,所以,离心率.故答案为:【点睛】本题考查求双曲线的离心率,做此类题的关键是建立的方程或不等式,是一道容易题.15、【解析】
利用公式计算出,其中为的周长,为内切圆半径,再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知,,,,设内切圆的圆心为,半径为,则,故有,解得,由,或(舍),所以的内切圆方程为.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题,涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识,考查学生的运算能力,是一道中档题.16、【解析】
设的中心为,矩形的中心为,过作垂直于平面的直线,过作垂直于平面的直线,得到直线与的交点为几何体外接球的球心,结合三角形的性质,求得球的半径,利用表面积公式,即可求解.【详解】设的中心为,矩形的中心为,过作垂直于平面的直线,过作垂直于平面的直线,则由球的性质可知,直线与的交点为几何体外接球的球心,取的中点,连接,,由条件得,,连接,因为,从而,连接,则为所得几何体外接球的半径,在直角中,由,,可得,即外接球的半径为,故所得几何体外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及多面体的外接球的表面积的计算,其中解答中熟记空间几何体的结构特征,求得外接球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力与运算求解能力,属于中档试题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)【解析】
(1)根据极坐标与直角坐标互化公式,以及消去参数,即可求解;(2)设两点对应的参数分别为,,将直线的参数方程代入曲线方程,结合根与系数的关系,即可求解.【详解】(1)对于曲线的极坐标方程为,可得,又由,可得,即,所以曲线的普通方程为.由直线的参数方程为(为参数),消去参数可得,即直线的方程为,即.(2)设两点对应的参数分别为,,将直线的参数方程(为参数)代入曲线中,可得.化简得:,则.所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线的参数方程的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.18、(1);(2).【解析】
(1)依据新定义,的定义域和值域都是,且在上单调,建立方程求解;(2)依据新定义,讨论的单调性,列出方程求解即可。【详解】(1)当时,由复合函数单调性知,在区间上是增函数,即有,解得;同理,当时,有,解得,综上,。(2)若在上是闭函数,则在上是单调函数,①当在上是单调增函数,则,解得,检验符合;②当在上是单调减函数,则,解得,在上不是单调函数,不符合题意。故满足在区间上是闭函数只有。【点睛】本题主要考查学生的应用意识,利用所学知识分析解决新定义问题。19、(1).(2)见解析【解析】
(1)由绝对值三解不等式可得,所以当时,,即可求出参数的值;(2)由,可得,再利用基本不等式求出的最小值,即可得证;【详解】解:(1)∵,∴当时,,解得.(2)∵,∴,∴,当且仅当,即,时,等号成立.∴.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用,属于中档题.20、(Ⅰ);(Ⅱ)面积的最小值为9,.【解析】
(Ⅰ)由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的,再由离心率可求得,从而得值,得标准方程;(Ⅱ)设直线方程为,设,把直线方程代入抛物线方程,化为的一元二次方程,由韦达定理得,由弦长公式得,同理求得点的横坐标,于是可得,将面积表示为参数的函数,利用导数可求得最大值.【详解】(Ⅰ)∵椭圆:,长轴的右端点与抛物线:的焦点重合,∴,又∵椭圆的离心率是,∴,,∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)过点的直线的方程设为,设,,联立得,∴,,∴.过且与直线垂直的直线设为,联立得,∴,故,∴,面积.令,则,,令,则,即时,面积最小,即当时,面积的最小值为9,此时直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,抛物线中弦长的求解,涉及三角形面积范围问题,利用导数求函数的最值问题,属综合困难题.21、(1)见解析;(2).【解析】
(1)取的中点,连接、,连接,证明出四边形为平行四边形,可得出,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法
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