2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题08 高等背景下概率论的新定义（七大题型）（教师版）

专题08高等背景下概率论的新定义【题型归纳目录】题型一：切比雪夫不等式题型二：马尔科夫链题型三：卡特兰数题型四：概率密度函数题型五：二维离散型随机变量题型六：多项式拟合函数题型七：最大似然估算【典型例题】题型一：切比雪夫不等式【典例1-1】(2024·浙江·二模)某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标元件数(件)121836304(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.(i)若，证明：；(ii)利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)【解析】(1)记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品，(2)(i)由题：若，则又所以或由切比雪夫不等式可知，所以；(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，由切比雪夫不等式知，，即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.【典例1-2】(2024·吉林长春·模拟预测)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和．切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立．(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．【解析】(1)法一：对非负离散型随机变量及正数使用马尔科夫不等式，有．法二：设的分布列为其中，记，则对任意，.(2)设在100名患者中治愈的人数为．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，那么在此假设下，．由切比雪夫不等式，有．即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小，据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．【变式1-1】(2024·高三·湖北·阶段练习)随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设为离散型随机变量，则，其中为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式；(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数.在一次抽奖游戏中，有个不透明的箱子依次编号为，编号为的箱子中装有编号为的个大小､质地均相同的小球.主持人邀请位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为的箱子中抽取的小球号码为，并记.对任意的，是否总能保证(假设嘉宾和箱子数能任意多)？并证明你的结论.附：可能用到的公式(数学期望的线性性质)：对于离散型随机变量满足，则有.【解析】(1)设的所有可能取值为取的概率为.则，

(2)(2)由参考公式，.，用到而，故.当时，，因此，不能保证.题型二：马尔科夫链【典例2-1】(2024·高三·全国·专题练习)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为．(1)求的值；(2)求的值(用表示)；(3)求证：的数学期望为定值．【解析】(1)设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为．由题意知，，所以．(2)因为，所以．又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．所以，．(3)因为①，②．所以①②，得．又因为，所以．所以．所以的概率分布列为：012p所以．所以的数学期望为定值1．【典例2-2】(2024·高三·贵州黔西·阶段练习)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.(1)求，和，；(2)证明：为等比数列(且)；(3)求的期望(用表示，且).【解析】(1)若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为，所以，①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，综上可知：，.(2)经过次这样的操作.记甲盒子恰有2个黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，3白的概率为，①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为，此时：若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，故.，因此，因此为等比数列，且公比为.(3)由(2)知为等比数列，且公比为，首项为，故，所以，.【变式2-1】(2024·浙江杭州·二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n元(，)时，最终输光的概率为，请回答下列问题：(1)请直接写出与的数值．(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．【解析】(1)当时，赌徒已经输光了，因此.当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.(2)记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,,即，所以，所以是一个等差数列，设，则，累加得，故，得，(3)，由得,即,当时，，当时，，当时，，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．题型三：卡特兰数【典例3-1】(2024·湖北·二模)五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；(2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对(2)中的，有【解析】(1)依题可知，的可能取值为.，，，所以，的分布列如下：024所以，．(2)依题可知，时，，所以时胜利的概率最大.(3)记事件“机器人行走步时恰好第一次回到初始位置”，“机器人第一步向前行走”，则“机器人第一步向后行走”.下面我们对事件进行分析.发生时，假设机器人第步是向前行走，则之前的步机器人向前走的步数比向后走少一步，而因为机器人第一步为向前行走，这说明存在使得机器人走了步时回到了初始位置，这与的发生矛盾，所以假设不成立.即机器人第步为向后行走，从而机器人第2步到第步向前和向后行走的步数均为，且从第2步开始，到第步的这步，任意时刻机器人向前走的步数均不少于向后走的步数(否则在这过程中机器人会回到初始位置).根据卡特兰数，从第2步到第步共有种行走方式.通过上述分析知，，所以．由于，，故等式成立．【典例3-2】(2024·全国·模拟预测)卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰(1814-1894)命名．历史上，清代数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为(1)证明是卡特兰数；(2)求的通项公式．【解析】(1)若先走到则合法路径，若先走到且不走到，相当于走到后向右走到再走到，合法路径若先走到且不走到，相当于走到后再从走到，合法路径，于是，即为卡特兰数.(2)记直线，则所有不合法路线都会与直线有交点，记第一个交点为，将之后的路径都沿着对称，那么这条不合法路径的终点成为了，于是总路线为，不合法路线为，合法路径为，即.题型四：概率密度函数【典例4-1】(2024·高二·湖南·课后作业)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间(样本数据)，经数据分析得到如下结果：坐公交车：平均用时30min，方差为36骑自行车：平均用时34min，方差为4(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.(2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图(a)所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.(提示：(2)中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图(b)中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.)【解析】(1)李明平时选择骑自行车更稳妥，由已知得坐公交车平均用时30min，骑自行车平均用时34min，差距不大；但是坐公交车的方差为36，骑自行车的方差为4，由于方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小，则坐公交车所花费的时间不稳定，即李明平时选择骑自行车更稳妥.(2)由图(a)中可知，X和Y的概率密度曲线可知，由此可知，如果某天有38min可用，那么李明坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概率，应选骑自行车；由图(a)中可知，X和Y的概率密度曲线可知，由此可知，如果某天有34min可用，那么李明坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概率，应选坐公交车.【典例4-2】(2024·高二·安徽·期末)设随机变量X的概率密度函数为，则，若对X的进行三次独立的观测，事件至少发生一次的概率为；(1)对X做n次独立重复的观测，若使得事件A至少发生一次的概率超过95%，求n的最小值．(，)(2)为满足广大人民群众对接种疫苗的需求，某地区卫生防疫部门为所辖的甲、乙、丙三区提供了批号分别为1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供选择，要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种．由于某些原因甲区不能选择1、2、4号疫苗，且这三区所选批号互不影响．记“甲区选择3号疫苗”为事件B，且；①求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率；②记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为K，求K的分布列．【解析】(1)所以解得，所以用Y表示对X的n次独立重复观察中事件A发生的次数，则，，则，即解得，对X至少做11次独立重复观测；(2)①记“三个区选择疫苗批号互不相同”为事件C，②依题意的可能取值为，则，，所以分布列如下：K345P题型五：二维离散型随机变量【典例5-1】(2024·高三·湖北·阶段练习)设的所有可能取值为，称()为二维离散随机变量的联合分布列，用表格表示为：YX…………1仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义，对于固定的，若，则称为给定条件下的条件分布列．离散随机变量的条件分布的数学期望(若存在)定义如下：．(1)设二维离散随机变量的联合分布列为YX12310.10.30.20.620．050.20.150.40.150.50.351求给定条件下的条件分布列；(2)设为二维离散随机变量，且存在，证明：；(3)某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫．【解析】(1)因为，所以用第一行各元素分别除以0．6，可得给定条件下的条件分布列：123(2)二维离散随机变量的概率为，有由，．于是，．由，有．(3)由(2)知，对于二维离散随机变量，．设他需要小时离开迷宫，记表示第一次所选的门，事件表示选第个门，由题设有．因为选第一个门后30分钟可离开迷宫，所以．又因为选第二个门后50分钟回到原处，所以．又因为选第三个门后70分钟也回到原处，所以．所以．解得，即他平均要150分钟才能离开迷宫．【典例5-2】(2024·山东潍坊·一模)若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；②若是①中的值，求(结果用，表示)；(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．【解析】(1)①该二维离散型随机变量的所有可能取值为：.②依题意，，，显然，则，所以.(2)由定义及全概率公式知，.【变式5-1】(2024·江苏常州·一模)设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；现有个球等可能的放入编号为的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为，落入第2号盒子中的球的个数为．(1)当时，求的联合分布列，并写成分布表的形式；(2)设且，求的值．(参考公式：若，则)【解析】(1)若，的取值为0，1，2，的取值为0，1，2，则，，，，，，，故的联合分布列为(2)当时，，故所以，由二项分布的期望公式可得．题型六：多项式拟合函数【典例6-1】(2024·甘肃·一模)下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表：年份序号12345人数(万人)263273286314334(1)现用模型作为回归方程对变量与的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该模型所表示的回归方程(与精确到0.01)；(2)已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写.某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人数，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：对于回归方程【解析】(1)可令，则与成线性回归关系，则的对应关系如下图：49162536263273286314334根据公式可得，则，，则,,所以，，则.(2)可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为，可知，因此随机变量的分布列如下：01234(人).【典例6-2】(2024·安徽·一模)碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出一份力．某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设：①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°．某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表：项目旋转角度开始烧水时燃气表计数/dm3水烧开时燃气表计数/dm318°9080921036°8958908054°8819895872°8670881990°84988670以x表示旋转角度，y表示燃气用量.(1)用列表法整理数据(x，y)；x(旋转角度：度)1836547290y(燃气用量：dm3)(2)假定x，y线性相关，试求回归直线方程(注：计算结果精确到小数点后三位)(3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？(注：计算结果精确到小数点后一位)参考数据：，，，，线性回归模型，二次函数模型．参考公式：，，．【解析】(1)整理数据如图：x(旋转角度：度)1836547290y(燃气用量：dm3)130122139149172(2)，，，，故回归直线方程为；(3)，即旋转角约为38.7时，烧开一壶水燃气用量最少.回归直线与二次函数拟合两者关系时，相关指数分别为，，则，.因为，所以二次函数拟合效果更好.题型七：最大似然估算【典例7-1】(2024·河南·模拟预测)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有4位成员，两个部门分别独立地发出邀请，邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议．(1)用1，2，3，4代表专家库中的4位专家，甲、乙分别代表食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门，将两个部门邀请的专家及参会的专家人数的所有情况绘制成一个表格，请完成如下表格．

(2)最大似然估计即最大概率估计，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为k(，，，…，)，其中为X所有可能取值的最大值．请用最大似然估计法估计参加会议的专家人数．【解析】(1)完成的表格如下：(2)记X为参加会议的专家人数，(，3，4)的概率记为．由(1)中的表格可知出现的次数为6，出现的次数为24，出现的次数为6，则，，，则，，根据最大似然估计法，可以估计出参加会议的专家人数为3．【典例7-2】(2024·湖北孝感·模拟预测)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.(1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望.(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了名代表，卫生监督管理部门邀请了名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.(备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P(X=k)取值最大时，X的估计值为k)【解析】(1)X的可能取值为2，3，4，则，，，则X的分布列为X234P0.10.60.3(2)设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，人数为，则收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B.人数为Card(A∪B).设参加会议的群众代表的人数为Y，则.若，则，则，，，令，得，解得，以代替k，得，令，得，解得，所以，若为整数，则当或时，取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为或，若不是整数，则当时，取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为，其中，表示不超过的最大整数.【变式7-1】(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.(ⅰ)请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.(ⅱ)统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.【解析】(1),故分布列为：012.(2)(i)设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.(ii)设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,当时，当时，当时所以池塘乙中的鱼数为199或200.【过关测试】1．(2024·河南·模拟预测)甲､乙､丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；(2)投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；(3)设，求证：．【解析】(1)由题意知，．所以随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望为.(2)由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有．变形为．又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以．所以数列的通项公式．(3)由(2)可得，则，所以．又因为，所以．综上，．2．(2024·高三·云南保山·期末)现有甲、乙两名篮球运动员进行投篮练习，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为.(1)为了增加投篮练习的趣味性，甲、乙两人约定进行如下游戏：甲、乙两人同时投一次篮为一局比赛，若甲投进且乙未投进，则认定甲此局获胜；若甲未投进乙投进，则认定乙此局获胜；其它情况认定为平局，获胜者此局得1分，其它情况均不得分，当一人得分比另一人得分多3分时，游戏结束，且得分多者取得游戏的胜利.求甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率.(2)投篮练习规定如下规则：甲、乙两人轮流投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则对方投篮，第一次投篮由甲完成，设为第次投篮由甲完成的概率.(i)求，，的值；(ii)求与的关系式，并求出.【解析】(1)由题意可知，在一局比赛中，甲获得1分的概率是，乙获得1分的概率是，甲、乙均不得分的概率是，甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的比分是3∶0或4∶1，当比分是3∶0时，甲获胜的概率为；当比分是4∶1时，甲获胜的概率为所以甲恰在第五局结束后取得游戏胜利的概率为.(2)(ⅰ)由题意知：，，.(ⅱ)由题意知：当时，，所以，又，所以是以为公比，为首项的等比数列；所以.3．(2024·高三·浙江·开学考试)一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值(分值代表要求度，1分最低，5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：岗位业务能力分值管理能力分值计算机能力分值沟通能力分值合计分值会计(1)215412业务员(2)523515后勤(3)235313管理员(4)454417对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.(i)小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；(ii)小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值.【解析】(1)将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据，又，所以这