2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题07 线性代数背景下的新定义（三大题型）（教师版）

专题07线性代数背景下的新定义【题型归纳目录】题型一：行列式背景题型二：矩阵背景题型三：向量组背景【典型例题】题型一：行列式背景【典例1-1】(2024·高三·云南曲靖·阶段练习)定义行列式运算：，若函数

(，)的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.(1)求函数的单调增区间；(2)数列的前项和，且，求证：数列的前项和.【解析】(1)由题意：，∵，即，∴，∴的图象向右平移个单位后得，此函数为奇函数，则，∵，∴，∴，由，可得，∴的单调增区间为；(2)由上可得，∴，当时，；当时，，又，适合此式，∴，∴，∴．【典例1-2】(2024·高一·北京·期末)对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式(determinant)，记作，(1)求下列行列式的值：①；②；③；(2)求证：向量与向量共线的充要条件是；(3)讨论关于x，y的二元一次方程组()有唯一解的条件，并求出解.(结果用二阶行列式的记号表示).【解析】(1)①②；③.(2)证明：若向量与向量共线，则：当时，有，即，当时，有，即，∴必要性得证.反之，若，即，当c，d不全为0时，即时，不妨设，则，∴，∵，∴，∴，∴与共线，当且时，，∴与共线，充分性得证.综上，向量与向量共线的充要条件是.(3)用和分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得：，①同理，消去x，得：，②∴当时，即时，由①②得：，，∴当时，关于x，y的二元一次方程组()有唯一解，且，.【变式1-1】(2024·高二·全国·单元测试)我们用(，、、、)表示矩阵的第行第列元素.已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且，，.(1)求；(2)求关于，的关系式；(3)设行列式，求证：对任意、，、、时，都有.【解析】由于该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且，，，则矩阵中第一行的公差为1，第二行的公差为2，从而第三行的公差为3，即有第行的公差为，则有第一列的公差为1，第二列的公差为2，从而第列的公差为，则由等差数列的通项公式，即可得到所以(1)所以(2)(3)证明：由于行列式，即有，则，故对任意，，，，时，都有题型二：矩阵背景【典例2-1】(2024·广东·一模)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为(其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号)，记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(1)，，矩阵，求使的的最小值.(2)，，，矩阵求.(3)矩阵，证明：，，.【解析】(1)由题意得.若，则，即.因式分解得.因为，所以.所以使的的最小值是10.(2)由题得第1对角线上的平方和为，第2对角线上的平方和为，第对角线上的平方和为，第对角线上的平方和为，所以所以.(3)由题意知，证明等价于证明，注意到左侧求和式，将右侧含有的表达式表示为求和式有故只需证成立，即证成立，令，则需证成立，记，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立，即成立，所以原不等式成立.【典例2-2】(2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试)由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．(i)求；(ii)已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．【解析】(1)，则，即，解得，则，，，，故.(2)(i)，，故，，.(ii)，，，故，故，，即，取验证不成立，整理得到，，当时，，不成立；当时，；当时，；现说明当时不成立：设，，，则，，故单调递增，，设，，，，，故单调递减，，，，，故时，不成立，综上所述：使成立的所有的正整数对为，.【变式2-1】(2024·高二·北京丰台·期末)已知数表，，，其中，，分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．(1)若数表，，且是，的生成数表，求；(2)对，，数表，，与满足第i行第j列的数对应相同().是，的生成数表，且．(ⅰ)求，；(ⅱ)若恒成立，求的最小值．【解析】(1)由题意得，，，，所以．(2)由题意得，当，时，有①，即，(ⅰ)当时，，解得，当时，由①得②，得，所以，又，，，均符合上式，所以，时，．(ⅱ)由(ⅰ)知，，所以对于，，有，由及知，所以时，对于，，恒成立，显然时，恒不成立．下面证明：对于任意，不能恒成立．记，此时，所以，即当时，有成立，这与恒成立矛盾，所以对于任意，不能恒成立，综上，的最小值为．【变式2-2】(2024·高二·北京·学业考试)已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.①任意中有三个，一个3；②存在，使中恰有三个数相等.(1)判断数表是否由生成；(结论无需证明)(2)是否存在数表由生成？说明理由；(3)若存在数表由生成，写出所有可能的值.【解析】(1)数表是由生成；检验性质①：当时，，共三个，一个3；当时，，共三个，一个3；当时，，共三个，一个3；任意中有三个，一个3；检验性质②：当时，，恰有3个数相等.(2)不存在数表由生成,理由如下:若存在这样的数表A，由性质①任意中有三个，一个3，则或-1，总有与的奇偶性相反，类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反；因为中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数，此时中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表由生成；(3)的所有可能的值为3，7，11.一方面，当时，可以生成数表；当时，可以生成数表；当时，可以生成数表；另一方面，若存在数表A由生成，首先证明：除以4余3；证明：对任意的，令，则，分三种情况：(i)若，且，则；(ii)若，且，则；(iii)若，且，则；均有与除以4的余数相同.特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是中至少有3个数除以4的余数相同.注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3.其次证明：；证明：只需证明；由上述证明知若可以生成数表A，则必存在，使得；若，则，，，所以，对任意，均有，矛盾；最后证明：；证明：由上述证明可得若可以生成数表A，则必存在，使得，，，，欲使上述等号成立，对任意的，，则，，经检验，不符合题意；综上，所有可能的取值为3，7，11.题型三：向量组背景【典例3-1】(2024·高一·上海·阶段练习)对于一组向量，，，…，，(且)，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．(1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；(2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由；(3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与(且)关于点对称，求的最小值．【解析】(1)由题意可得：，则，解得：；(2)存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，；(3)由题意，得，，即，即，同理，，三式相加并化简，得：，即，，所以，设，由得：，设，则依题意得：，得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，故.【典例3-2】(2024·高一·上海奉贤·期末)对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”(1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；(2)已知，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．【解析】(1)由题意，而，，，，所以，解得，所以的范围是；(2)的等量关系是，证明如下：由题意是向量组的“好向量”，所以，则，即，所以，同理，，三式相加并整理得，所以，所以．【变式3-1】(2024·高三·上海宝山·期末)对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.(1)设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；(2)若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；(3)已知､､均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.【解析】(1)由题意，得：，则解得：(2)是向量组，，，…，的“向量”，证明如下：，当为奇数时，，故即当为偶数时，故即综合得：是向量组，，，…，的“向量”(3)由题意，得，，即即，同理，三式相加并化简，得：即，，所以设，由得：设，则依题意得：，得故所以当且仅当时等号成立故【过关测试】1．(2024·高一·四川成都·期中)定义行列式运算：，若函数()的最小正周期是.(1)求函数的单调增区间；(2)数列的前项和，且，求证：数列的前项和.【解析】(1)由题意：，∵，∴，由可得，∴的单调增区间为．(2)证明：由(Ⅰ)得，∴，①当时，；②当时，，而，满足上式∴，则，∴．2．(2024·高二·上海宝山·阶段练习)已知数列和满足：，且成等比数列，成等差数列．(1)行列式，且，求证：数列是等差数列；(2)在(1)的条件下，若不是常数列，是等比数列，①求和的通项公式；②设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值．【解析】证明:因为,所以,,因为,所以,即,所以数列是等差数列.①由(1)知数列是等差数列,设公差为(),设等比数列的公比为,因为成等比数列，成等差数列,所以且,所以,且,结合化简可得且,解得,所以,,故,.②因为成等差数列,所以,即,由于,且均为正整数,所以,,所以,可得,即,当时,,,所以不等式不成立,当或时,成立,当时,,即时,则有,所以的最小值为6,当且仅当且或时,取得最小值6.3．(2024·高一·吉林延边·期中)已知定义在上的奇函数满足,且在上是增函数;又定义行列式;函数(其中)(1)证明:函数在上也是增函数；(2)若函数的最大值为，求的值；(3)若记集合恒有，恒有,求满足的的取值范围.【解析】(1)证明：任取，则且在上是增函数

，又为奇函数故即

函数在上也是增函数(2)的最大值只可能在,,处取若，，则有，此时，符合题意若，，则有,此时，不符合题意若，，则有或此时或,不符合题意综上所述：(3)是定义在上的奇函数且满足又在上均是增函数由得：或又恒有，恒有所以恒有即不等式在恒成立由得：

此时由得：此时综上所述：4．(2024·湖北孝感·模拟预测)定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．(2)求数列的前n项和．【解析】(1)证明：因为，所以，消去，得，当时，，则，当时，由及，得，所以，因为，，所以为公差为1的等差数列，为公比为2的等比数列．(2)由(1)知，则．5．(2024·高二·陕西西安·期中)有个正数，排成矩阵(行列的数表)：，表示位于第行，第列的数.其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知，，.(1)求公比.(2)用表示.(3)求的值.【解析】(1)由题可知第4行公差为，由此可知由第四列数据可知公比为：(2)，是首项为，公差为的等差数列，故(3)因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以由(2)可知，故，设的前n项和为①②得6．(2024·高二·江苏苏州·期中)设2阶方矩阵，则矩阵A所对应的矩阵变换为：，其中，，其意义是把点变换为点，矩阵M叫做变换矩阵.(1)当变换矩阵时，点，经矩阵变换后得到点分别是，，求经过，的直线的方程；(2)当变换矩阵，点经矩阵的作用变换后得到点，求实数m，n的值.【解析】(1)由题可知：，则，解得，所以.同理可得，则，所以经过，的直线方程为：，即.(2)由题可知：，即有，得.所以，.7．(2024·上海·模拟预测)设A是由个实数组成的2行n列的矩阵，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的矩阵构成的集合．记为A的第一行各数之和，为A的第二行各数之和，为A的第i列各数之和．记为、、、、…、中的最小值．(1)若矩阵，求；(2)对所有的矩阵，求的最大值；(3)给定，对所有的矩阵，求的最大值．【解析】(1)依题意，，，，，，所以.(2)设矩阵，，且，若任意改变矩阵A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成其相反数，得到新矩阵，则，且，则不妨设，且由的定义知，，，相加得：，因此，，当，时取“=”，显然存在矩阵，使，所以的最大值是1.(3)设矩阵，，，且，由(2)知，不妨设，且，由的定义知，，相加得：，因此，，当，，时取“=”，此时，，，即存在矩阵，其中个1，使，所以的最大值是.8．(2024·高三·河南·期末)三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点、分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于的不同两点(1)①若，，求；②证明.(2)记的面积为，证明：.(3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.【解析】(1)①因为，，则；②设，，则，将与互换，与互换，与互换，可得，故；(2)因为，故，故要证，只需证，即证，由(1)，，，故，又，，，则成立，故；(3)由(2)，，故，故的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.9．(2024·高一·贵州·期末)如图一，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，请根据以下信息，处理问题(1)和(2).信息一：为坐标原点，，若将顺时针旋转得到向量，则，且；信息二：与的夹角记为，与的夹角记为，则；信息三：；信息四：，叫二阶行列式.(1)求证：，(外层“”表示取绝对值)；(2)如图二，已知三点，，，试用(1)中的结论求的面积.【解析】(1)如图所示.∵，又因为，，∴，又∵，∴.(2)∵∴10．(2024·高二·上海浦东新·期中)对于一组向量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”；(1)设，若是向量组，，的“向量”，求的范围；(2)若，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由.【解析】(1)由题意可得，，又，即为，解得，即的范围是；(2)是“向量”.理由：，，当为奇数时，，，即有，即；当为偶数时，，，即有，即.综上可得，是向量组的“向量”.11．(2024·高一·山西大同·阶段练习)元向量()也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数