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第六讲无穷小与无穷小的比较三、无穷大一、无穷小二、无穷小的比较

1一、无穷小定义1若则称为时的无穷小量.若则称为时的无穷小量.例如:(1).所以为时的无穷小量.所以为时的无穷小量.（1）无穷小量是一个变量.不要与很小的数混淆.注意极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。（2）无穷小量必须要指明相应的极限过程。2无穷小的性质:有限个无穷小的代数和仍为无穷小.无穷小量与有界变量的乘积是无穷小.例如,常数与无穷小的乘积仍是无穷小.有限个无穷小的乘积仍为无穷小.性质1.性质2.推论.性质3.3定理1无穷小与极限的关系4引例观察各极限不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.二、无穷小的比较5定义2若则称

是比

高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

是

的同阶无穷小;则称

是关于

的k阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作6解:所以时,所以时,与是同阶无穷小例如.判断下列无穷小的阶:7例如

,

当～时～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且8例1.解例2.解9～～定理2证:即即例如,～～故10定理3.

设且存在,则证:例如,11设对同一变化过程,

,

为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:

由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若

=o(

),(2)和差代替规则:

例如,例如,12(3)因式代替规则:界,则例如,

例3.求解:13例4解注意不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.等价关系具有：自反性，对称性，传递性14例5解错解15例6解16二、无穷大定义3记作:（1）无穷大量是一个变量,不要与很大的数混淆.注意在变量的变化过程中，如果为无穷小量.则称变量在该变化过程中为无穷大量，简称无穷大。例1.（2）无穷大量必须指明极限过程。（3）无穷大量与无穷小量的关系。17无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理4.

在自变量的同一变化过程中,说明:18例7．求解分母极限分子极限根据无穷小与无穷大的关系知：对有理分式函数的极限，若分母极限为零，而分子极限不为零，则可直接断定该极限为无穷大．说明19例8．求型解型对，分解因式，分子、分母约去无穷小因子，再求极限．20例9．求型解例6．求型解21一般，例10．结论22内容小结1.无穷小的比较设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且

是

的高阶无穷小

是

的低阶无穷小

是

的同阶无穷小

是

的等价无穷小

是

的k阶无穷小232.等价无穷小替换定理～～～～常用等价无穷小:24思考与练习1.分析:25分析:263.任何两个无

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