中考数学专题复习全等三角形之辅助线倍长中线法

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学专题复习全等三角形（辅助线倍长中线法）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，己知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤82．在中，，中线，则边的取值范围（

）A． B． C． D．3．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（

）．A．2 B． C． D．34．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（

）A．5 B．7 C．8 D．9评卷人得分二、填空题5．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．6．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．评卷人得分三、解答题7．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．8．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．9．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE．根据______可以判定______，得出______．这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．【问题解决】（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．【问题拓展】（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．10．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．11．如图，中，，E是的中点，求证：．12．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．13．已知中，（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．14．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．15．如图，为中边上的中线．（1）求证：；（2）若，，求的取值范围．16．（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．17．（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．18．定义：如果三角形三边的长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为．（2）如图，ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交AB的延长线于E，求证：EF是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，若，判断AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．19．课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点是边的中点，，，求的取值范围．（1）小明的想法是，过点作交的延长线于点，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰中，，，点边延长线上一点，连接，过点作于点，过点作，且，连接交于点，连接，求证．20．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝135°，BC＝6，点D为AB的中点，连接DC，若DC⊥BC，求AB的长．22．如图，中，，，为中线，求中线的取值范围．23．（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．24．在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点．（1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2，求BF的长．（2）如图2，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：EF＝ED．25．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是；（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．26．已知：在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．（1）如图1，若．①求证：；②连接，求证：．（2）如图2，若，求的值．27．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下思路：如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．完成下面问题：（1）这一思路的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）．28．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．29．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到≌的理由是______．（2）求得的取值范围是______．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．30．在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转．（1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________；（2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；（3）旋转过程中，若当时，直接写出的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【解析】【分析】如图所示，延长AD到E，使，连接CE，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围．【详解】如图所示，延长AD到E，使，连接CE，AD是△ABC中BC边上的中线，，在与中，，，，在中，由三角形三边关系得：，，，，．【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．C【解析】【分析】延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14-5=9，∴9＜CE＜19，即9＜AB＜19．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．3．C【解析】【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．【详解】解：延长BE交CD延长线于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故选：C．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．4．A【解析】【分析】延长AD到E，使AD=DE，证明△ADC≌△EDB，然后利用三边关系即可得出结论．【详解】解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE，∵D是BC的中点，∴BD=CD又∠BDE=∠CDA∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC=3由三角形三边关系得，即：故选：A【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．5．【解析】【分析】延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案．【详解】解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：∵D是BC的中点∴BD=CD在和中：∴∴∵AD=5∴AE=10在中，由得：即：故答案为：【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．6．4【解析】【分析】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．【详解】解：如图，延长AE，BC交于点G，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠D＝∠ECG，又∵∠AED＝∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG＝AD＝5，AE＝GE，又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，∴AF＝GF＝3+5＝8，又∵E是AG的中点，∴FE⊥AG，在Rt△AEF中，∠FAE＝30°，∴EF＝AF＝4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．7．(1)，(2)2<CD<8【解析】【分析】（1）把展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．(1)解：∵，根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，∵CD是AB边上的中线，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．8．（1）2；（2），理由见解析【解析】【分析】（1）由已知条件∠BOE＝∠BAO，且公共角，证明△OBE∽△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得；（2）延长OE到点F，使得，连接AF，FB，证明△AOF≌△DOC，进而可得，即【详解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，∴△OBE∽△ABO，∴，∵AB＝，E为AB的中点，∴∴，∴（舍负）.（2）线段OE和CD的数量关系是：，理由如下，证明：如图，延长OE到点F，使得，连接AF，FB.∵∴四边形AFBO是平行四边形，∴，，∴，∵∠AOB+∠COD＝，∴，∵OB＝OC，∴，在△AOF和△DOC中，，∴△AOF≌△ODC，∴∴.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键．9．（1）；；；；（2）见解析；（3）7．【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；（2）延长ED使DG=ED，连接FG，GC，根据垂直平分线的性质得到，然后利用SAS证明，得到，，进而得到,最后根据勾股定理证明即可；（3）延长AD交EC的延长线于点F，根据ASA证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案为：；；；；（2）如图所示，延长ED使DG=ED，连接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如图所示，延长AD交EC的延长线于点F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．10．[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4【解析】【分析】[探究与发现]由ASA证明△ABC≌△EDC即可；[理解与应用]（1）延长AE到F，使EF=EA，连接DF，证△DEF≌△CEA（SAS），得AC=FD，再证△ABD≌△AFD（AAS），得BD=FD，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AB=AF=2x，再由三角形的三边关系得AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．【详解】解：[探究与发现]证明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，∵点E是CD的中点，∴ED=EC，在△DEF与△CEA中，，∴△DEF≌△CEA（SAS），∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，在△ABD与△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=FD，∴AC=BD；（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x，∵BD=3，AD=5，在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4，即x的取值范围是1＜x＜4．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．见解析【解析】【分析】利用中线加倍证（），可得，，由，可得进而可证.，再证（）即可．【详解】证明：延长到F，使，连结，∵E是中点，∴，∴在和中，，∴（），∴，，∵，∴，又∵，，∴，在和中，，∴（），∴．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．12．（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析【解析】【分析】（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可；②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得即则，再由，可得；（2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【详解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，∴AD=CD，又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；②∵△CED≌△ABD，∴AB=CE，∵，∴即，又∵，∴；故答案为：；（2）MN=2BD，理由如下：如图所示，延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，∵BC=BN，∴AE=BN，∵∠ABM=∠NBC=90°，∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=∠MBN，又∵AB=BM，∴△BAE≌△MBN（SAS），∴MN=BE，∵BE=BD+ED=2BD，∴MN=2BD．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．13．（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）通过证明，即可求解；（2）过点A引交于点F，通过得到，再通过即可求解；（3）过点作交的延长线于点，，在上取一点，使得，连接，利用全等三角形的性质证明、，即可解决．【详解】证明：（1）由题意可得：在和中∴∴（2）过点A引交于点F，如下图：由题意可得：，且则又∵∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴∴（3）证明：过点作交的延长线于点，，在上取一点，使得，连接，如下图：∵∴∵，∴∴，∵∴∵∴∴∴∵∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∵∴【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．14．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；（2）如图所示，作，可证，由全等三角形的性质相等角从而得出，进而得出，故可证等量转化即可求出的值．【详解】（1）如图1所示，延长至点，使，在与中，，，，，，在与中，,，，；（2）如图所示，，，平分，，，，，，作，在与中，，，，，在与中，，，，，，设，，，．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．（1），（2）【解析】【分析】（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得；（2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可．【详解】（1）证明：如图延长至，使，连接，∵为中边上的中线，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的对应边相等），在中，由三角形的三边关系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．16．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，∵M为DE中点，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可证△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此时，延长AE，交CN于T点，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）延长至点E，使．由AD为中线可知，即易证，得出．利用三角形三边关系可知，即可证明．（2）延长至点G，使，连接CG，EG．由AD为中线可知．即易证，得出．由题意可得，即易证，得出．利用三角形三边关系可知，即可证明．【详解】（1）如图，延长至点E，使．∵AD为中线，∴．∴在和中，，∴，∴．∵在中，，∴．（2）如图，延长至点G，使，连接CG，EG．∵AD为中线，∴．∴在和中，，∴，∴．∵，∴，∴在和中，，∴，∴．∵在中，，∴．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系．作出常用的辅助线是解答本题的关键．18．（1）5或8；（2）见解析；（3）AEF是“匀称三角形”，见解析【解析】【分析】（1）设第三边长为，利用“匀称三角形”的定义，列出方程，但是由于等式中，4，6，均有可能为等式右边的“”，所以需要分三类讨论，最终确定下来的三边长必须满足“三角形两边之和大于第三边”，故最终答案为5或8；（2）要证明为切线，连接，由于是半径，只需要证明，又由于，所以只需要证明，又由于为中点，只需要证明为的中点，因为是直径，所以，又因为，所以为的中点，即可证明；（3）因为为的中点，仿照“中线倍长”模型，过作于，如图2，或者在上截取，构造，所以，将转化成，因为，所以，可以得到，设，则，利用勾股定理求出，满足定义，即可证明．【详解】解：（1）解：设第三边长为，①当时，解得，②当是，解得，③当时，解得，，当三边长为2，4，6时，不能构成三角形，所以③舍去，故答案为：5或8；（2）证明：如图1，连接，，是直径，，，为的中点，即，为中点，，，，，，，，是半径，是的切线；（3）解：是“匀称三角形”，理由如下：如图2，过作于，，在和中，，，，，，，，，设，则，，，，是“匀称三角形”．【点睛】本题是一道圆的综合题，由新定义的结论，要注意分类讨论和根据三角形三边关系对答案进行取舍，在几何证明中，要注意利用相似转化线段比的思想，比如本题中“”的转化．19．（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据已知证明，进而求得，根据三角形三边关系即可求得的取值范围；（2）过点作交的延长线于，证明，得，再证明，进而证明，即可证明【详解】（1），即（2）如图，过点作交的延长线于，,,,,即，又,【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．20．（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，证明见解析；（3）EF＝2AD，证明见解析．【解析】【分析】（1）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，根据题意证明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根据AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可求的；（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，进而可知AC∥BM；（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM≌△EAF，进而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD与EF的数量关系．【详解】（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．21．【解析】【分析】延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，证明得，再证明是等腰直角三角形得出EC=6，DE=3，运用勾股定理得AD=，从而可得结论．【详解】解：延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，如图，∵D是AB的中点，∴AD=BD在△ADE和△BDC中，∴∴∠E=∠BCD，AE=BC=6∵DC⊥BC，∴∠E=∠BCD=90°，∴∴∴是等腰直角三角形，∴AE=CE=BC=6∴在Rt△AED中，又D为AB的中点，∴【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，三角形中线的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．22．【解析】【分析】延长至点，使，连接，证明，得到，然后根据三角形三条边的关系求解即可．【详解】解：延长至点，使，连接，是中线，，在和中，，，，在中，，，，．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．23．（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．【解析】【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．24．（1）；（2）见详解；【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形DEC，求解CD，然后勾股定理求解AD，最后直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可；（2）如图，延长EF到N，使得FN=EF，连接BN，延长DE交AB于M；利用△AFN≌△DEF，可求DM∥AN；进而可得∠OMB=∠BAN，∠OMB=∠OCD；可得△BAN≌△BCD，可知NB=BD，再证明△BEN≌△BED，可得DE=EN=2EF；故；【详解】（1）由题可知：在等腰Rt△DEC中，∠CDE=90°，DE=DC，CE=；∴ED=CD=2；又AB=BC=3；∴BD=1；在Rt△ABD中，；又点F是线段AD的中点，∴；（2）如图，延长EF到N，使得FN=EF，连接BN，延长DE交AB于M；在△AFN和△DEF中，AF=DF；∠AFN=∠DFE；FN=EF；∴△AFN≌△DEF∴AN=DE=CD，∠FAN=∠FDE∴DM∥AN∴∠OMB=∠BAN；又∠MOB+∠OMB=90°；∠DOC+∠OCD=90°；∠MOB=∠DOC；∴∠BAN=∠BCD；在△BAN和△BCD中，AB=BC；∠BAN=∠BCD；AN=CD；∴△BAN≌△BCD∴∠ABN=∠CBD；BN=BD；∴∠DBN=∠CBA=90°；又∠DBE=45°∴∠EBN=∠EBD；又BE=BE；BN=BD；∴△BEN≌△BED∴DE=EN=2EF；∴．【点睛】本题考查三角形综合问题，全等三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；难点在于辅助线的添加和三角形全等的构造．25．（1）；（2）见解析；（3），证明见解析【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；（2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到；（3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到．【详解】（1）延长到点，使，连接，∵是的中线，∴，在和中，，，，∴，∴，在中，，∴，即，∴；（2）证明:延长到点使,连接，由（1）知，∴，，，，，，，，（3），延长到，使，连接，，，，，，点在一条直线上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．26．（1）①见解析；②见解析；（2）．【解析】【分析】（1）①根据已知易得，再由可得，即可得，而矩形对边相等，从而可得；②延长、，交于点．易证B是CG的中点，故中，．再由即可得出结论；（3）根据可得，再由可得，进而由勾股定理可得，继而得到，再结合即可解题．【详解】（1）证明：①如图，在矩形中，∠DAB=∠ADC=90°，∴∠1+∠EDC=90°，又∵，∴∠2+∠EDC=90°，∴，∵，∴，∴，又∵AB=CD，∴，∴．②证明：如解图2，延长、，交于点．∵在矩形中，AD//BC,∴，在和中，∴≌，∴，故中，．由（1）可知，∴，∴，（2）∵，，∴，又∵∠ADF=∠DCA，∴，∴，在Rt△ADF中，，∴，∴，又∵在矩形中，AB//CD,∴，∴．【点睛】本题综合考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、三角形全等判定和性质、直角三角形性质等；本题综合性强，熟练掌握实数的运算，利用三角函数转换线段比是解题的关键．27．（1）延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；（2）见解析【解析】【分析】（1）延长AD于点G使得DG=AD．利用AE=EF可证得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC=BG，证出∠G=∠BFG，得出BG=BF，即可得出结论．【详解】解：（1）根据题意，则作法为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图②所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．28．（1）14；（2）12．【解析】【分析】（1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，根据线段中点的定义求出AE＝4，AF＝3，并利用SAS证明△AED≌△BEG，由全等三角形的性质并再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD，可证得DE＝AB＝4，同理DF＝AC＝3，即可计算出四边形的周长；（2）利用SSS可证△AEF≌△DEF，