2024北京西城区高三（上）期末数学试题及答案

2024北京西城高三（上）期末数学2024.1本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A{x|1x3}，B={x|x2≥4}，则=−A（A）(−1,+)B(1,2]（）（C）(,)（D）(−,2]i−2（2）在复平面内，复数对应的点位于i（A）第一象限（C）第三象限（B）第二象限（D）第四象限（3）设a,bR，且ab，则11（A）（B）tanatanbab（C）3−a2−b（D）a|a|b|b|（4）已知双曲线C的一个焦点是1(0,2)，渐近线为y=3x，则C的方程是y2x2（A）x（C）y2−−=1=1（B）−y2=133x2y22（D）−x2=133（5）已知点O(0,0)，点P满足|PO|=1．若点t,4)|PA|的最小值为，其中tR，则（A）5（C）3（B）4（D）2（6）在△ABC中，B=60,b=c7,a−=2，则△ABC的面积为3333（A）（C）（B）243234（D）1+x1−x（7）已知函数f(x)=，则（A）f(x)在(1)上是减函数，且曲线−y=f(x)存在对称轴第1页/共4页（B）f(x)在(−1)上是减函数，且曲线y=f(x)存在对称中心y=f(x)（C）f(x)在(1)上是增函数，且曲线−存在对称轴（D）f(x)在(−1)上是增函数，且曲线y=f(x)存在对称中心|a||b||ab||b|2（8）设a,b是非零向量，则“（A）充分不必要条件（C）充要条件”是“”的（B）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件（9）设{a}是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为S．若存在无穷nn多个正整数k，使Sk≤0，则q的取值范围是（A）(−,0)（C）[（B）(−,−（D）（10）如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板ABCDEF．若其中三根柱子,,的高度依次为11111111112m,9m,10m，则另外三根柱子的高度之和为（A）47m（C）49m（B）48m（D）50m第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（）在(x−2)4的展开式中，x2的系数为_______π（12）设0f(x)=sinx_______．y=f(x)x=6（13f(x)2log2xlog2(x4)=−−f(x)；_______f(x)_______．（14）已知抛物线C:y2=8x．①则C的准线方程为_______；②设C的顶点为O，焦点为F．点P在C上，点Q与点P关于y轴对称．若QF平分点P的横坐标为_______．−3a,x,x（15）设aR，函数f(x)=给出下列四个结论：−x2+a,x≤.2第2页/共4页f(x)(0,+)①在区间上单调递减；f(x)存在最大值；②当a≥0时，③当a0时，直线y=axy=f(x)恰有3个交点；与曲线1④存在正数a及点M(x,f(x(xa)和N(x,f(x(x≤a)|MN|，使≤．111222其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1613分）π已知函数f(x)2asinxx2cos=−2x的一个零点为．6（Ⅰ）求a的值及f(x)的最小正周期；π（Ⅱ）若m≤f(x)≤M对x[0,]恒成立，求m的最大值和M的最小值．2（1713分）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹．为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生大学生803060204020201012喜爱使用跑步软件一的概率；（Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X的分布列和数学期望；x,x,x,xs2；12341样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为y,y,y,y，其方差为s2；12342x,x,x,x,y,y,y,y的方差为s2s,s2122,32123412343（1814分）如图，在四棱锥P−中，底面ABCD是菱形，PD平面⊥平面，E为中点，==2．⊥ABCD，平面（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求直线与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）求四面体PEBC第3页/共4页（1915分）x22y223已知椭圆E：+=1(ab的离心率为，且经过点C(2,．ab2（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过点N(0,的直线交E于点,B（点,B与点C的中点为M，连接CM并延长交E于点D．若M恰为CD的中点，求直线的方程．（2015分）eax已知函数f(x)=，其中a0．x（Ⅰ）当a=1时，求曲线yf(x)在点=f处的切线方程；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；11（Ⅲ）当12且xx0f(x)−f(x)与−121212（2115分）给定正整数N3，已知项数为m且无重复项的数对序列A:(x,y),(x,y)满足如下三个性≥1122质：①i,ixy(i=ii，且；②i1ii==；③(p,q