广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期中考试 数学（含答案）

2024-2025学年度第一学期期中考试高二数学（考试时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.如图，直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.经过点和的直线的倾斜角为，则（）A.3.5 B.8 C.-2 D.23.已知向量，，，则（）A.12 B.-12 C.9 D.-94.已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（）A. B. C. D.35.袋子中有个大小质地完全相同球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（）A B. C. D.6.在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（）A. B. C. D.7.在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（）A. B. C. D.18.将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.，，不可能共面B若，，则C.对空间任一向量，总存在有序实数组，使D.，，一定能构成空间的一个基底10.设样本空间含有等可能的样本点，且，，．则下列结论正确的有（）A. B.C. D.11.（多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（）A.与是共线向量B.与同向的单位向量是C.在方向上的投影向量是D.平面ABC的一个法向量是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线经过点和，且方向向量，则的值为_________．13.设事件与相互独立，，，则______，______．14.如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，且．已知，，，则公垂线段的长为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知：，，，，，求：（1），，；（2）16.如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．（1）证明：；（2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值．17.2023年11月，首届全国学生（青年）运动会广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；（2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．18.正方体的棱长为2，为棱上一点．（1）求证：；（2）若为中点，求点到平面的距离；（3）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由．19.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分；②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束；③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：（1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率；（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率；（3）选手甲闯关成功的概率．2024-2025学年度第一学期期中考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.【答案】ACD10.【答案】ABD11.【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.【答案】213.【答案】①.0.36②.0.9414.【答案】或##或2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【详解】因为，所以设，即，故，解得，，，∴，解得，；【小问2详解】，.16.【小问1详解】证明：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，又不在同一条直线上，.【小问2详解】由已知得，则，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，令，得，，，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17.【小问1详解】将2位男教师记为，3位女教师记为，则样本空间，共有10个样本点．【小问2详解】设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”，则，中包含9个样本点，故．18.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，即可证明；（2）在空间直角坐标系中，求出面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式计算即可；（3）在空间直角坐标系中，设，求出面的法向量，若平面，则，求出的值，即可判断棱上是否存在点.【小问1详解】以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：因为正方体的棱长为2，所以，，，又为棱上一点，设，则，所以，，所以，所以，即.【小问2详解】由（1）建系可知，，，，因为为中点，所以，所以，，，设面的法向量为，则即，化简为，令，则.所以，所以点到平面的距离.【小问3详解】棱上不存在点，使得平面，理由如下：由（1）建系可知，，，，，因为为棱上一点，设，则所以，，，设面的法向量为，则即，令，则.所以，若平面，则，所以，解得，故在棱上不存在点，使得平面.19.【解析】【分析】（1）根据“选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错”，结合相互独立事件概率计算公式、概率的加法公式，计算出所求概率.（2）根据“选手甲恰好作答了道题即选手甲第题答错或第一题答对且第题答错”，结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（3）根据““选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件”，结合（2）以及对立事件的性质，计算出所求概率.【详解】设为选手答对题，其中.（1）设挑战结束后，选手甲共答对道题为事件，选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错，所以，所以，由事件独立性的定义得.（2）设挑战