数学学案：课堂导学绝对值三角不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、利用绝对值三角不等式证明不等式【例1】已知|x-a｜〈，0〈|y-b｜〈，y∈（0，M)，求证:|xy-ab|<ε。思路分析:由于题设和结论相差很远，为了能整体运用上条件,应先对结论式的左端进行配凑.证明：｜xy-ab｜=|xy—ya+ya-ab|=｜y(x—a)+a(y-b）｜≤｜y||x—a｜+｜a|｜y—b|〈M·+｜a｜·=ε。温馨提示先“配凑”再利用绝对值三角不等式进行转化,从而整体运用条件,这是证题的关键。【例2】求证:(ab≠0）.证明：右边>,左边=,∵｜a+b｜≤｜a｜+|b|，∴.∴+1。从而有≤∴左边〈右边.温馨提示先把右边放缩,再转化用绝对值三角不等式与左边“挂钩”。也可构造函数f（x)=在x∈［0，+∞)上f（x)单调递增，从而证明之。各个击破类题演练1求证:〈c的充要条件是|a|<c且|b｜〈c.证明:先证必要性。∵|a|=||≤<c，∴｜a|〈c.∵|b｜=||≤〈c，∴|b|〈c。再证充分性。（1)当｜a|≥|b｜时,a2≥b2,即(a+b)(a—b)≥0,此时与同号或其中之一为0，则=|｜=|a|〈c.(2)当|a|<|b｜时,a2〈b2，即(a+b)（a—b）〈0，即与异号，∴||+｜｜=｜—|=|b|<c。∴当｜a|〈c,｜b｜<c时,||+｜|<c。故||+||〈c|a|<c且|b｜〈c。变式提升1已知a、b、c∈R,求证:.证明:设f（x)=(x≥0)，可知当x≥0时，f(x）为增函数。∵0≤|a+b+c|≤｜a｜+｜b｜+|c|,∴f(|a|+|b｜+｜c｜）≥f(｜a+b+c｜)，得二、应用绝对值三角不等式等号成立的条件解题【例3】(1）设a、b∈R且|a+b+1｜≤1，|a+2b+4｜≤4，求|a|+｜b｜的最大值。解析：｜a+b｜=|（a+b+1）—1|≤｜a+b+1｜+｜—1｜≤1+1=2，|a-b｜=|3（a+b+1)-2(a+2b+4）+5|≤3｜a+b+1|+2|a+2b+4｜+5≤3×1+2×4+5=16.（1)当ab≥0时，|a|+｜b｜=|a+b｜≤2;(2)当ab<0时，则a(—b)>0，｜a|+|b｜=｜a｜+|-b|=|a+(-b）|≤16.总之，恒有|a｜+｜b|≤16.而a=8，b=-8时,满足|a+b+1｜=1，｜a+2b+4|=4，且|a|+｜b|=16.因此|a|+｜b|的最大值为16.（2）若f（x)=x2—2x+c，｜x1-x2｜<2，｜x2｜〈1，求证：|f(x1）—f（x2）｜<12。证明:｜f（x1）—f（x2)|=｜x12-2x1+c—x22+2x2—c｜=｜（x1-x2)(x1+x2—2）｜=|x1—x2｜·｜x1+x2-2|<2｜x1+x2-2|=2|(x1-x2）+(2x2-2）|≤2（｜x1—x2｜+|2x2-2|)<4+2｜2x2—2｜≤4+2（|2x2｜+|-2|）〈4+4+4=12。∴｜f(x1)—f(x2）｜<12。类题演练2已知|a|〈1，｜b｜<1,求证:｜|〈1。证明:由|a｜〈1，｜b｜<1，得1±a>0，1±b〉0,则｜|==1,从而｜｜〈1.变式提升2证明对于任意实数t,复数z=+i的模r，适合不等式r≤。证明：r=,为证对于任意实数t有r≤，只要证｜cost｜+｜sint｜≤即可。（1）当kπ≤t≤kπ+(k∈Z)时，则sint·cost≥0,依推论1，｜cost｜+|sint|=|sint+cost|=｜sin(t+）|≤(2)当kπ+<t<（k+1）π（k∈Z）时，sint·cost〈0，sint·（-cost)>0，依推论1，｜cost｜+｜sint|=|-cost｜+｜sint｜=｜sint-cost｜=｜sin（t-）｜≤。总之，对于任意实数t，有|cost｜+｜sint｜≤成立,即有r≤成立.三、绝对值三角不等式的其他应用【例4】（1）若不等式|x-4|+｜x—3｜〉a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围。解析：由|x-4｜+|x—3｜≥|(x—4)-(x—3）|=1,得[|x-4|+｜x—3｜］min=1,故a的取值范围是{a|a〈1｝.（2）已知|cosx—cosy｜=|cosx|+｜cosy|,且y∈（,2π),则等于(）A。cosx—cosyB.cosy-cosxC.cosx+cosyD.以上均不对解析：由｜a-b｜≤|a｜+|b｜知等号成立的条件是ab≤0.因为|cosx—cosy｜=｜cosx|+|cosy｜,所以cosx·cosy≤0。又因y∈（,2π），所以cosy>0且cosx≤0,则上式=|cosx—cosy｜=cosy-cosx,故应选B。答案:B(3)解方程｜x｜+｜logax｜=|x+logax|(a〉1).解析：由当且仅当ab≥0，|a+b|=｜a｜+｜b|知原方程等价于x·logax≥0,又x〉0，即logax≥0,解得x≥1.所以原方程的解集是{x｜x〉1｝.类题演练3（1）方程|2x—1|+｜x—2|=｜x+1｜的实数解为_______________解析：原方程可化为｜2x-1|+｜2—x｜=｜（2x-1)+（2-x）|,依推论1,它等价于(2x—1）（2—x)≥0,∴≤x≤2。答案:≤x≤2（2)解不等式｜x2—2x—3｜+|x2-2x—8|〉5。解析：原不等式可化为|x2—2x-3|+｜8+2x—x2|〉｜（x2-2x—3)+(8+2x—x2）｜,依推论2，它等价于(x2-2x-3）(8+2x-x2）<0,∴(x+2)(x+1）(x-3)(x—4）>0.∴x〈—2或-1〈x<3或x〉4。变式提升3已知f(x）=x2+ax+b(a、b∈R)的定义域为［-1,1],且｜f（x)|≤M成立,求M的最小值.解：由题意知M是｜