数学学案：课堂导学函数第课时变量与函数的概念

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、函数定义域的求法【例1】求下列函数的定义域，并用区间表示.(1）f（x)=;（2）f(x)=;(3)f（x）=;(4）f（x)=+.思路分析：本题考查函数定义域的求法及区间表示法，当函数解析式给出时,定义域就是使其解析式有意义的自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和\，差\,积\,商的形式构成时(如（3)（4)）,定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合。解：(1)要使f(x)=1x-2有意义,必须x—2≠0，所以x≠2。故函数的定义域是｛x｜x≠2｝,区间表示为（—∞，2）∪(2,+∞）.（2)要使f(x）=有意义,必须3x+2≥0，所以x≥，故函数的定义域是{x｜x≥｝,区间表示为［，+∞).(3）由于00没有意义，所以x+1≠0。①又分式的分母不可为零，开偶次方根被开方数非负,所以-x≠0,即x<0.②由①②可得函数的定义域为{x|x〈0且x≠—1},区间表示为(-∞,—1）∪（-1，0)。(4）要使函数f(x)=+有意义，必须所以≤x〈2且x≠0，故函数的定义域为{x|≤x<2且x≠0},区间表示为［,0)∪(0,2）.二、求复合函数的定义域【例2】若函数f(x）的定义域是[1,4］，求f（x+2)、f（x2）的定义域.思路分析:本题考查函数有意义的等价转换。要使f(x+2)有意义,不妨把x+2看作一个整体变量,它应适合f(x)的定义域,转化成已知变量求解.解：∵f（x）的定义域为［1,4］，∴使f（x+2)有意义的条件为1≤x+2≤4，即-1≤x≤2,则f（x+2）的定义域是［-1，2]。同理，由1≤x2≤4，即—2≤x≤—1或1≤x≤2，则f（x2)的定义域为[—2,-1］∪[1,2］.温馨提示由f（x)的定义域求复合函数f［g（x)］的定义域类型，一般方法是，若f(x）的定义域为D,则f［g(x)］的定义域是使g（x)∈D的x的集合。本题易误解为:由1≤x≤4,∴3≤x+2≤6.∴f(x+2)的定义域为［3,6］。忽视了f(x+2)有意义的条件，习惯性地代换x是错因。三、判断两个函数是否为同一函数【例3】下列所给四组函数表示同一函数的是（)A。f（x）=x,g(x）=B.f(x）=x，g（x)=C.f（x)=1,g(x）=x0D.f(x）=x2+x+1,g（x）=思路分析:函数三要素中当定义域，对应法则确定后，值域也就被确定了.所以判断两个函数是否为同一函数,关键是看两个函数的定义域与对应法则是否相同.解：对于A,f（x)的定义域为R,g（x）的定义域为［0，+∞),不是同一函数。对于B,f(x)、g(x)的定义域为R,g(x)=3x3=x,是同一函数。对于C，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为(-∞,0)∪（0,+∞）,虽对应法则相同但定义域不同,不是同一函数.对于D,f(x）的定义域为R,g（x)的定义域为（—∞，1）∪(1，+∞)，不是同一函数.选B.答案：B温馨提示本题容易出现思维片面性，只看到解析式化简以后的形式相同，而误判为同一函数,实质上定义域要以条件所给形式有意义为原则,然后再化简看对应法则，两者要兼顾，缺一不可。各个击破类题演练1求函数f（x)=+的定义域.解析：要使函数有意义，必须∴函数f（x）=+的定义域是｛x｜x≥-1且x≠2}.变式提升2(1）已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是（）A.a>B。－12＜a<0C.—12<a≤0D。a≤解析：当a=0时，f（x）有意义；当a≠0时,由ax2+ax—3≠0,得Δ=a2+12a〈0，即—12<a<0，综合得—12〈a≤0。答案:C（2)若f（x)=的定义域为A，g（x）＝的定义域为B,当BA时，求a的取值范围。解析:由2≥0，得≥0.∴x〈-1，或x≥1,即A=（—∞，—1)∪[1，+∞).由(x—a—1)（2a-x）〉0，得(x-a-1)（x-2a)〈0.∵a<1，∴a+1>2a,∴B=(2a，a+1）.∵BA，∴2a≥1或a+1≤-1，即a≥或a≤—2.故当BA时,实数a的取值范围为（—∞,—2］∪［,1）.类题演练2已知函数f（x)的定义域为[a，b］，其中a<0<b,且｜a｜>b，求函数g（x）=f(x）+f(-x）的定义域。解析:∵f（x)的定义域为[a，b］，要使g(x）有意义,则又∵a<0〈b且｜a｜〉b，所以a〈b且-a>b。故函数g（x）的定义域为{x|a≤x≤b｝∩{x|—b≤x≤—a}=｛x|-b≤x≤b｝。变式提升2若函数y=f(x+1)的定义域为[—2,3］,求y=f（2x-1）的定义域.解析:∵y=f(x+1)的定义域为{x|-2≤x≤3},∴—1≤x+1≤4，即y=f(x）的定义域为｛x|—1≤x≤4}。∴y=f（2x—1)的定义域满足—1≤2x—1≤4。∴0≤2x≤5,即0≤x≤.∴f（2x—1)的定义域为｛x｜0≤x≤｝。类题演练3下列各组式子是否表示同一函数？说明理由。（1）f（x）=|x|,φ（t)=；(2）y=x2，y=（）2;(3）y=·,y=;（4)y=·，y=.解析：仅就定义域不同，即知（2）和（3)中的两个式子表示不同的函数，经考查定义域和对应法则，可知（1)和（4）中的两个式子都表示相同的函数,事实上,对于（1）,在公共定义域R上，f（x）=｜x｜和φ(t)＝的对应法则完全相同,只是表示形式不同;对于（4),在公共定义域[—1，1］上,y=·y=。变式提升3下列各函数中,与y=2x-1是同一函数的是…（）A。y=B。y=2x—1（x>0）C.s=2t—1D.y=解析：先认清y=2x-1,它是定义域和值域都是R的映射,其中f：y=2x—1，x