数学学案：课堂导学33排序不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、利用排序不等式证明不等式【例1】已知a,b，c∈R+，求证:。证明:不妨设a≥b≥c>0，①则0〈b+c≤c+a≤a+b,从而有。②对①②应用排序原理,得,③,④③+④，得2()≥（)+（)+()=3。∴（当且仅当a=b=c时等号成立）。各个击破类题演练1设a，b,c都是正数,证明。证明:不妨设a≥b≥c〉0,①则a+b≥a+c≥b+c>0,〉0，〉0,②对①②应用排序原理，得,③,④③+④,得2()≥a+b+c，∴(当且仅当a=b=c时,等号成立).二、利用排序不等式证明条件不等式【例2】设a,b，c，d是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数，求证：。证明：不妨设a≥b≥c≥d≥0，①则a+b+c≥a+b+d≥a+c+d≥b+c+d〉0,得≥0，②令S=,对于①②应用排序原理，得S≥，③S≥,④S≥，⑤③+④+⑤，可得3S≥a2+b2+c2+d2=≥ab+bc+cd+da=1.∴S≥（当且仅当a=b=c=d=时，等号成立)。类题演练2设a1，a2,…，an是1，2，…,n的一个排列，求证：++…+.证明：设b1,b2,…，bn-1是a1，a2,…，an-1的一个排列,且b1<b2<…<bn—1；c1，c2，…,cn-1是a2，a3,…，an的一个排列，且c1<c2〈…<cn—1，则且b1≥1，b2≥2，…,bn-1≥n-1；c1≤2,c2≤3，…，cn—1≤n。利用排序不等式有≥。变式提升1设实数x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn,z1，z2,…,zn是y1,y2，…,yn的一个置换,证明2≤2。证明：显然所需证明之不等式等价于,这由排序不等式可直接得到。三、利用排序不等式解决其他问题【例3】有十个人各拿一只水桶去打水，设水龙头灌满第i个人的水桶需要ti分钟,且这些ti(i=1，2,…，10）各不相等,试问:(1）只有一只水龙头供水时,应如何安排这十个人打水的次序,使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少？(2）若有两个相同的水龙头供水时，应如何安排这十个人的次序,使他们的总的花费时间最少？这个最少时间是多少？解析:(1）设按某次序打水时水龙头灌满第i个人的水桶需要si分钟，则第一人花费的时间为s1分钟,第二人花费的时间为(s1+s2）分钟,…，第十人花费的时间为(s1+s2+…+s10)分钟,总的花费时间为s1+（s1+s2)+…+（s1+s2+…+s10）=10s1+9s2+…+2s9+s10。其中，序列s1，s2，…,s10是t1,t2,…,t10的一个排列.由题设，这些ti各不相同,不妨设t1〈t2<…〈t10，则由排序原理知10s1+9s2+…+2s9+s10≥10t1+9t2+…+2t9+t10，即按任意一个次序打水花费的总时间不小于按如下顺序打水的时间:先按打水所需时间从小到大依次排队,然后逐个打水,此时花费时间最省，总的花费时间为（10t1+9t2+…+2t9+t10）分钟.(2)如果有两个水龙头,设总时间最少时有m个人在第一个水龙头打水,设依次所用时间为p1，p2，…，pm；有10-m个人在第二个水龙头打水,依次所需时间设为q1,q2，…，q10-m.显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人，不妨设为第一个水龙头,也不可能有一个水龙头没人去打水,则5≤m<10.由（1）知p1〈p2<…<pm,q1〈q2<…<q10—m。总的花费时间为T=mp1+（m—1)p2+…+pm+（10-m）q1+(9—m）q2+…+q10—m.其中｛p1,p2，…，pm，q1,q2,…，q10-m｝=｛t1,t2,…，t10},t1<t2〈…〈t10。首先我们来证明m=5。若不然，即m>5,我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去，则总的花费时间变为T′=（m—1)p2+…+pm+(11—m）p1+（10-m）q1+…+q10-m。所以T—T′=（2m-11）p1〉0，即当m〉5时，我们让第一个水龙头的第一人到第二个水龙头去后，总时间减少.故在m=5时，总时间可能取得最小值.由于m=5，故两个水龙头人一样多.总用时为T=（5p1+4p2+3p3+2p4+p5）+(5q1+4q2+3q3+2q4+q5).由于p1<p2<…〈p5,q1<q2<…〈q5。不妨设p1=t1。下证q1〈p2.否则我们交换用时为q1，p2的两人的位置后,总用时变为T″=(5p1+4q1+3p3+2p4+p5)+(5p2+4q2+3q3+2q4+q5),则T—T″=q1-p2>0,即经交换后总时间变少.因此q1<p2，也即q1=t2.类似地,我们可以证明pi〈qi〈qi+1(i=1,2,3,4)，p5〈q5.从而最省时的打水顺序为水龙头一：t1,t3，t5,t7，t9;水龙头二：t2，t4,t6，t8,t10.其中t1〈t2<…<t10.类题演练3设a1,a2,…,an是n个正数,证明,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。证法一:记G=，令bi=(i=1，2,…,n),则原不等式b1+b2+…+bn≥n，其中b1·b2·…·bn=1。取x1,x2，…，xn,使b1=，b2=，…，bn-1=，则bn=,由排序不等式易证b1+b2+…+bn=++…+≥n,当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.所以所证不等式成立，当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.证法二：令ti=a(i=1,2，…,n),则tn=1。从而正数序列t1,t2，…，tn及对应两项大小次序正好相反，由排序原理得n=t1·+t2·+…+tn·≤t1·+t2·+…+tn·,即n≤=，从而G≤,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。变式提升2设a,b，c是某三角形的三边长，T是该三角形的面积,证明a2+b2+c2≥T，并问何时取等号？证明：根据Heron公式,需证明不等式等价于(a2+b2+c2）2≥3（a+b+c）（b+c-a）（c+a—b)(a+b—c)=