2025高考数学专项复习第九章 平面解析几何第1节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程含答案

2025高考数学专项复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角、斜率与直线的方程课标解读考向预测1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).近几年高考对本节内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线的方程，以常规题型常规解法为主要方向，常结合圆锥曲线考查．预计2025年高考会继续考查直线与其他知识的交汇融合，以运算为主.必备知识——强基础1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，eq\x(\s\up1(01))x轴正向与直线leq\x(\s\up1(02))向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为eq\x(\s\up1(03))0°≤α<180°．3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的eq\x(\s\up1(04))正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝eq\x(\s\up1(05))tanα(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直线的方向向量同斜率的关系若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(y,x)．5．直线的截距若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距．截距可正、可负，也可以为零．6．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式eq\x(\s\up1(07))y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式eq\x(\s\up1(08))y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\x(\s\up1(09))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式eq\x(\s\up1(10))Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用1．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．2．两直线的夹角公式若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k2－k1,1＋k1k2))).1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.()(3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等．()答案(1)√(2)×(3)×2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题2.1T3改编)若直线经过两点A(m，1)，B(2－3m，2)，且其倾斜角为135°，则m的值为()A．0 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)答案D解析经过两点A(m，1)，B(2－3m，2)的直线的斜率为k＝eq\f(2－1,2－3m－m)＝eq\f(1,2－4m)，又直线的倾斜角为135°，所以eq\f(1,2－4m)＝－1，解得m＝eq\f(3,4).故选D.(2)(人教A选择性必修第一册习题2.2T2改编)设x，y为实数，已知直线的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＋y＝()A．4 B．3C．－1 D．1答案D解析因为A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是斜率k＝2的直线上的三个点，所以kAB＝kAC＝2，所以eq\f(7－5,x－3)＝eq\f(y－5,－1－3)＝2，解得x＝4，y＝－3，则x＋y＝1.故选D.(3)(人教A选择性必修第一册习题2.2T10改编)如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，将直线方程Ax＋By＋C＝0化为y＝－eq\f(A,B)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(C,B)))，因为AC<0，且BC>0，可得直线的斜率k＝－eq\f(A,B)>0，在y轴上的截距为－eq\f(C,B)<0，所以直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选B.(4)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.综上，直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.考点探究——提素养考点一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线y＝－eq\r(3)x＋3的倾斜角为()A．30° B．60°C．120° D．150°答案C解析设直线y＝－eq\r(3)x＋3的倾斜角为α，因为直线的斜率为k＝tanα＝－eq\r(3)，所以α＝120°.故选C.(2)已知点A(－1，2)，B(2，eq\r(3))，P(1，0)，点Q是线段AB上的动点，则直线PQ的斜率的范围为____________，直线PQ的倾斜角的范围为____________．答案(－∞，－1]∪[eq\r(3)，＋∞)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4)))解析如图，kPA＝eq\f(2－0,－1－1)＝－1，kPB＝eq\f(\r(3)－0,2－1)＝eq\r(3)，则直线PQ的斜率的范围为(－∞，－1]∪[eq\r(3)，＋∞)．因为直线PA，PB对应的倾斜角分别为eq\f(3π,4)，eq\f(π,3)，则直线PQ的倾斜角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4))).【通性通法】确定倾斜角与斜率范围的常用方法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可【巩固迁移】1．已知直线l的方程为xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))答案B解析直线l的方程为xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，则直线l的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)sinα∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，故k＝tanθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以当k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))时，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))；当k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))时，θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).综上所述，直线l的倾斜角θ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).故选B.2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．答案eq\f(1,3)－3解析如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOC＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.考点二求直线的方程例2由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－eq\f(1,2)，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)，－3；(4)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)；(5)在x轴上的截距是－7，倾斜角是45°；(6)倾斜角为60°，与y轴的交点到x轴的距离是3.解(1)由点斜式得y＋2＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)因为直线平行于x轴，所以直线的斜率等于0，由点斜式得y－2＝0×(x－4)，即y－2＝0.(3)因为在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)，－3，所以直线方程的截距式为eq\f(x,\f(3,2))＋eq\f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0.(4)由两点式得eq\f(y＋2,－4＋2)＝eq\f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0.(5)直线的斜率k＝tan45°＝1，由点斜式得y－0＝x＋7，即x－y＋7＝0.(6)直线的斜率为tan60°＝eq\r(3)，因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在y轴上的截距为±3，所以所求直线方程为y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3，即eq\r(3)x－y＋3＝0或eq\r(3)x－y－3＝0.【通性通法】求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．提醒：(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，注意讨论B是否为0.【巩固迁移】3．(2024·山东日照一中质检)过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A．x－y＋3＝0B．x＋y－5＝0C．4x－y＝0或x＋y－5＝0D．4x－y＝0或x－y＋3＝0答案D解析解法一：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为y＝4x，即4x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1(a≠0)，因为直线过点A(1，4)，所以eq\f(1,a)－eq\f(4,a)＝1，解得a＝－3，此时直线方程为x－y＋3＝0.综上，直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0.故选D.解法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为0时，不符合题意．设直线方程为y－4＝k(x－1)(k≠0)，当x＝0时，y＝4－k，当y＝0时，x＝1－eq\f(4,k)，由题意知1－eq\f(4,k)＋4－k＝0，解得k＝4或k＝1，即直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0.故选D.4．求适合下列条件的直线方程．(1)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；(3)已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，且l过点A(－4，3)．解(1)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tanα＝3，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)由题意，可知所求直线的斜率为±1.又过点B(3，4)，由点斜式，得所求直线方程为y－4＝±(x－3)，即x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.(3)解法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，所以直线l的斜率k＝eq\f(3,2)，故直线l的方程为y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)，即3x－2y＋18＝0.解法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋4，y－3)，因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，所以直线l的方程为y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)，即3x－2y＋18＝0.考点三直线方程的应用(多考向探究)考向1直线方程与不等式的结合例3(2024·四川成都七中诊断考试)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，当|MA|·|MB|最小时，直线l的方程为________．答案x＋y－3＝0解析设A(a，0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.|eq\o(MA,\s\up6(→))|·|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝－eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.【通性通法】求解与直线方程有关的最值问题，一般是先根据题意建立目标函数，然后利用基本不等式(或函数)解决问题．【巩固迁移】5．若直线mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)经过点(－2，－1)，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为()A．16 B．8C．4 D．2答案B解析因为直线mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)经过点(－2，－1)，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1(m>0，n>0)．所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))·(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)且2m＋n＝1，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(1,2)))时取等号，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为8.故选B.考向2直线方程与函数的结合例4(2023·江苏泰州模拟)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，则公寓的最大面积为________m2(精确到1m2)．答案6017解析在线段AB上任取一点P，分别向CD，DE作垂线，划出一块长方形地面，以BC，EA的交点为原点，BC，EA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则AB的方程为eq\f(x,30)＋eq\f(y,20)＝1.设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，20－\f(2x,3)))，则长方形的面积S＝(100－x)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(80－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(2x,3)))))(0≤x≤30)．化简得S＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(20,3)x＋6000(0≤x≤30)．当x＝5，y＝eq\f(50,3)时，S最大，其最大值为eq\f(18050,3)≈6017m2.【通性通法】求解与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)或某一变量的函数，借助函数的性质解题．【巩固迁移】6．过坐标原点O作直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－6＝0的垂线，垂足为H(s，t)，则s2＋t2的取值范围是()A．[0，2eq\r(2)] B．(0，2eq\r(2)]C．[0，8] D．(0，8]答案D解析依题意，得eq\o(OH,\s\up6(→))＝(s，t)，直线l的方向向量n＝(a－1，a＋2)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－1）s＋（a＋2）t＝0，,（a＋2）s－（a－1）t＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(s＝\f(6（a＋2）,（a＋2）2＋（a－1）2)，,t＝－\f(6（a－1）,（a＋2）2＋（a－1）2).))因此s2＋t2＝eq\f(36,（a＋2）2＋（a－1）2)＝eq\f(36,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(9,2))，因为当a＝－eq\f(1,2)时，2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,2)取得最小值eq\f(9,2)，所以0<eq\f(36,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(9,2))≤8，即s2＋t2的取值范围是(0，8]．故选D.课时作业一、单项选择题1．(2024·广西柳州模拟)过点(1，2)且方向向量为(－1，2)的直线的方程为()A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0答案A解析由题意可知，直线的斜率k＝eq\f(2,－1)＝－2，由点斜式方程，得所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.2．已知直线x＋my－3＝0的倾斜角为30°，则实数m的值为()A．－eq\r(3) B．－eq\f(\r(3),3)C．1 D．eq\f(\r(3),2)答案A解析由题意可知，直线x＋my－3＝0的斜率为－eq\f(1,m)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝－eq\r(3).故选A.3.(2023·河北石家庄期末)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2C．k1<k2<k3 D．k3<k2<k1答案A解析设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tanα1<0，tanα2>tanα3>0，即k1<0，k2>k3>0，所以k1<k3<k2.故选A.4．已知△ABC的三个顶点为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0答案C解析由题意知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为eq\f(y－4,2－4)＝eq\f(x－2,3－2)，整理得2x＋y－8＝0.故选C.5．(2023·广东潮州模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是()A．k≥eq\f(1,2) B．k≤－2C．k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq\f(1,2)答案D解析直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，∵kPA＝eq\f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq\f(－1－1,－2－2)＝eq\f(1,2)，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤eq\f(1,2).故选D.6．(2023·江西南昌模拟)已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则下列说法中错误的是()A．当B＝0时，直线l总与x轴相交B．当C＝0时，直线l经过坐标原点OC．当A＝C＝0时，直线l是x轴所在直线D．当AB≠0时，直线l不可能与两坐标轴同时相交答案D解析依题意，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．对于A，当B＝0时，A≠0，直线方程可化为x＝－eq\f(C,A)，此时直线l总与x轴有交点，A正确；对于B，当C＝0时，直线方程为Ax＋By＝0，此时直线l经过坐标原点O，B正确；对于C，当A＝C＝0时，B≠0，直线方程可化为y＝0，此时直线l是x轴所在直线，C正确；对于D，当AB≠0时，如x－y＋1＝0，直线l过点(－1，0)，(0，1)，即直线l与两坐标轴同时相交，D错误．故选D.7．(2024·重庆八中校考阶段练习)过点P(1，3)作直线l，若l经过点A(a，0)和B(0，b)，且a，b均为正整数，则这样的直线l有()A．1条 B．2条C．3条 D．无数条答案B解析∵a，b均为正整数，∴可设直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，将P(1，3)代入直线方程，得eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，当b＝3时，eq\f(1,a)＝0，方程无解，∴a＝eq\f(b,b－3)＝eq\f(b－3＋3,b－3)＝1＋eq\f(3,b－3)，∵a∈N*，eq\f(3,b－3)≠0，∴eq\f(3,b－3)∈N*，∴b－3＝1或b－3＝3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,a＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝6，,a＝2，))即满足题意的直线l有2条．故选B.8．(2023·福建漳州模拟)直线xcosθ＋ysinθ＝0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))的斜率的取值范围为()A．(－∞，eq\r(3)) B．(2，＋∞)C．(－eq\r(3)，eq\r(3)) D．(－∞，2)答案A解析当cosθ＝0时，直线xcosθ＋ysinθ＝0的斜率为k＝0；当cosθ≠0，即θ≠eq\f(π,2)时，由xcosθ＋ysinθ＝0，得y＝－eq\f(cosθ,sinθ)x＝－eq\f(1,tanθ)x，直线xcosθ＋ysinθ＝0的斜率为k＝－eq\f(1,tanθ).易知tanθ<－eq\f(\r(3),3)或tanθ>0，所以－eq\f(1,tanθ)<0或0<－eq\f(1,tanθ)<eq\r(3).所以直线xcosθ＋ysinθ＝0的斜率的取值范围为(－∞，0)∪(0，eq\r(3))．综上所述，直线xcosθ＋ysinθ＝0的斜率的取值范围为(－∞，eq\r(3))．故选A.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A．截距相等的直线都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示B．方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)能表示平行于x轴的直线C．经过点P(1，1)，且倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ·(x－1)D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0答案BD解析对于A，当截距相等且为0时，不可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示，A错误；对于B，方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)中，当m＝0时，变为y＋1＝0，此时与x轴平行，B正确；对于C，当倾斜角θ＝90°时，tanθ无意义，不能用y－1＝tanθ·(x－1)表示，C错误；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上任意一点，则eq\o(P1P2,\s\up6(→))∥eq\o(P1P,\s\up6(→))，其中eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，eq\o(P1P,\s\up6(→))＝(x－x1，y－y1)，所以(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，故经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，D正确．故选BD.10．(2023·河北衡水调研)已知直线l：eq\r(3)x＋y－2＝0，则下列说法中正确的是()A．直线l的倾斜角为eq\f(5π,6)B．直线l的斜率为eq\r(3)C．直线l不经过第三象限D．直线l的一个方向向量为v＝(－eq\r(3)，3)答案CD解析因为直线l：eq\r(3)x＋y－2＝0可以表示为y＝－eq\r(3)x＋2，所以直线l的斜率k＝－eq\r(3)，倾斜角为eq\f(2π,3)，故A，B错误；因为直线y＝－eq\r(3)x＋2，故斜率k<0，纵截距b>0，所以直线l不经过第三象限，故C正确；取直线上两点A(0，2)，B(eq\r(3)，－1)，所以得到方向向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，3)，得到直线l的一个方向向量为v＝(－eq\r(3)，3)，故D正确．故选CD.三、填空题11．(2024·河北唐山模拟)直线l的斜率为k，且k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),3)))，则直线l的倾斜角的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))解析如图，当直线l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),3)))时，直线l的倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).12．(2023·山东兖州模拟)已知直线kx－y＋2＋k＝0在两坐标轴上的截距相等，则k＝________．答案－2或－1解析因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以k≠0，在kx－y＋2＋k＝0中，令x＝0，得y＝2＋k，令y＝0，得x＝－1－eq\f(2,k)，依题意，得2＋k＝－1－eq\f(2,k)，解得k＝－2或－1.13.(2024·广东深圳中学阶段考试)如图，某公园内有一个边长为20m的正方形ABCD区域，点M处有一个路灯，点M到AB的距离是6m，到BC的距离是8m，现过点M建一条直路交正方形区域两边于点P和点Q，若对△PBQ区域进行绿化，则此绿化区域面积的最小值为________m2.答案96解析如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则M(6，8)，根据题意可得直线PQ的斜率存在，设Q(a，0)(0<a≤20)，P(0，b)(0<b≤20)，则直线PQ的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，所以eq\f(6,a)＋eq\f(8,b)＝1，且1＝eq\f(6,a)＋eq\f(8,b)≥2eq\r(\f(6,a)·\f(8,b))，所以ab≥192，当且仅当eq\f(6,a)＝eq\f(8,b)＝eq\f(1,2)，即a＝12，b＝16时，等号成立，所以S△PBQ＝eq\f(1,2)ab≥eq\f(1,2)×192＝96，则此绿化区域面积的最小值为96m2.14．(2023·安徽合肥模拟)经过点(4，3)引l1，l2，l3三条直线，使它们的倾斜角的比依次为1∶2∶4，已知l2的方程为3x－4y＝0，则l1的方程为________，l3的方程为________．答案x－3y＋5＝024x－7y－75＝0解析设l1的倾斜角为α，则l2，l3的倾斜角分别为2α，4α，由l2的方程为3x－4y＝0，可知kl2＝eq\f(3,4)，所以tan2α＝eq\f(3,4)>0，tan4α＝eq\f(2tan2α,1－tan22α)＝eq\f(24,7)，所以l3的方程为y－3＝eq\f(24,7)(x－4)，即24x－7y－75＝0.由于4α∈(0，π)，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，由二倍角公式可得eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4)，解得tanα＝eq\f(1,3)或tanα＝－3(舍去)，故l1的方程为y－3＝eq\f(1,3)(x－4)，即x－3y＋5＝0.四、解答题15．已知▱ABCD的三个顶点为A(0，0)，B(3，0)，C(5，3)，求对角线AC，BD所在直线的方程．解因为▱ABCD的三个顶点为A(0，0)，B(3，0)，C(5，3)，设D(x，y)，因为AC和BD的中点重合，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0＋5,2)＝\f(3＋x,2)，,\f(0＋3,2)＝\f(0＋y,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以D(2，3)，所以对角线AC所在直线的斜率为eq\f(3－0,5－0)＝eq\f(3,5)，对角线BD所在直线的斜率为eq\f(3－0,2－3)＝－3，所以对角线AC所在直线的方程为y－0＝eq\f(3,5)(x－0)，即3x－5y＝0，对角线BD所在直线的方程为y－0＝－3(x－3)，即3x＋y－9＝0.16．(2024·福建宁德第一中学校考阶段练习)已知直线l的横截距为m，且在x轴、y轴上的截距之和为4.(1)若直线l的斜率为2，求实数m的值；(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．解(1)依题意，直线在x，y轴上的截距都存在且不为0，设直线l的方程为eq\f(x,m)＋eq\f(y,4－m)＝1(m≠0且m≠4)，令y＝0，可得x＝m；令x＝0，可得y＝4－m，即直线l经过点(m，0)，(0，4－m)，所以直线l的斜率为k＝eq\f(4－m,－m)＝2，解得m＝－4.(2)设直线l的方程为eq\f(x,m)＋eq\f(y,4－m)＝1(m≠0且m≠4)，由直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点A，B，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,4－m>0，))解得0<m<4，又由A(m，0)，B(0，4－m)，可得S△AOB＝eq\f(1,2)|m||4－m|＝eq\f(1,2)m(4－m)＝eq\f(1,2)(－m2＋4m)＝－eq\f(1,2)(m－2)2＋2，当m＝2时，S△AOB取得最大值2，此时直线l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1，即y＝－x＋2.17．(多选)(2024·湖南湘潭一中质检)已知直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是()A．|a|>|b| B．eq\r(－a)>eq\r(b)C．(b－a)(b＋a)>0 D．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)答案AB解析因为直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1经过第一、二、三象限，可得a<0，b>0，由直线的斜率小于1，可得0<－eq\f(b,a)<1，结合a<0，可得a<0<b<－a，由绝对值的性质，可得|a|>|b|，所以A正确；由幂函数y＝eq\r(x)的单调性，得eq\r(－a)>eq\r(b)，所以B正确；由b－a>0，b＋a<0，得(b－a)·(b＋a)<0，所以C错误；由eq\f(1,a)<0，eq\f(1,b)>0，得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以D错误．故选AB.18．(多选)(2023·广东湛江模拟)在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，则正方形ABCD四边所在直线中过点(0，0)的直线的斜率可以是()A．2 B．eq\f(3,2) C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,4)答案ABD解析因为选项斜率均为正值，不妨假设AB所在的直线过点(0，0)，设直线AB的倾斜角为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，斜率为k.①若CD所在的直线过点(1，0)，如图1，可得|BC|＝sinα，|CD|＝2cosα，因为|BC|＝|CD|，即sinα＝2cosα，则k＝tanα＝2；②若CD所在的直线过点(2，0)，如图2，可得|BC|＝2sinα，|CD|＝3cosα，因为|BC|＝|CD|，即2sinα＝3cosα，则k＝tanα＝eq\f(3,2)；③若CD所在的直线过点(4，0)，如图3，可得|BC|＝4sinα，|CD|＝cosα，因为|BC|＝|CD|，即4sinα＝cosα，则k＝tanα＝eq\f(1,4).综上所述，k的可能取值为2，eq\f(3,2)，eq\f(1,4).故选ABD.19.(2023·辽宁葫芦岛模拟)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，直线AB过点P(1，0)，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq\f(1,2)x上时，直线AB的方程是________．答案(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0解析由题意，可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f(\r(3),3)x，设A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2))).由点C在直线y＝eq\f(1,2)x上，且A，P，B三点共线，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,（m－0）（－\r(3)n－1）＝（n－0）（m－1），))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))，又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直线AB的方程为(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.第二节两条直线的位置关系与距离公式课标解读考向预测1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.近三年高考考查了点到直线的距离公式，以与圆锥曲线交汇融合的形式出现在多选题和填空题中，两条直线的位置关系也是常考内容之一，难度不大．预计2025年高考会继续以多选题或填空题的形式与其他知识交汇考查.必备知识——强基础1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系如下表：位置关系l1，l2方程系数满足的条件平行eq\x(\s\up1(01))k1＝k2且b1≠b2垂直eq\x(\s\up1(02))k1k2＝－1相交eq\x(\s\up1(03))k1≠k2直线l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝eq\x(\s\up1(04))(A1，B1)，l4的法向量v2＝eq\x(\s\up1(05))(A2，B2))的位置关系如下表：位置关系法向量满足的条件l3，l4方程系数满足的条件平行v1∥v2eq\x(\s\up1(06))A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)垂直v1⊥v2eq\x(\s\up1(07))A1A2＋B1B2＝0相交v1与v2不共线eq\x(\s\up1(08))A1B2－A2B1≠02.两条直线的交点直线l1和l2的交点坐标即为两条直线的方程组成的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．相交⇔方程组有eq\x(\s\up1(09))唯一解；平行⇔方程组eq\x(\s\up1(10))无解；重合⇔方程组有eq\x(\s\up1(11))无数个解．注意：虽然利用方程组解的情况可以判断两条直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．3．三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②结论：|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．()答案(1)×(2)×(3)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题2.3T6改编)点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为________．答案eq\r(5)解析点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|2－10＋3|,\r(1＋4))＝eq\r(5).(2)(人教A选择性必修第一册习题2.3T7改编)两条平行线l1：3x＋4y－6＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离为________．答案eq\f(8,15)解析依题意，将直线l1：3x＋4y－6＝0化为l1：9x＋12y－18＝0，又l2：9x＋12y－10＝0，所以两平行线间的距离为d＝eq\f(|－18＋10|,\r(92＋122))＝eq\f(8,15).(3)(人教A选择性必修第一册习题2.3T1改编)两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是________．答案(2，3)解析联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,3x＋2y－12＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以两条直线的交点坐标为(2，3)．(4)直线l1：px＋3y＋1＝0与直线l2：6x－2y－5＝0垂直，则p的值为________．答案1解析由题意，得6p＋3×(－2)＝0，解得p＝1.考点探究——提素养考点一两条直线的位置关系(多考向探究)考向1判断两条直线的位置关系例1(1)直线2x＋y＋1＝0和直线x＋2y＋1＝0的位置关系是()A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．重合答案B解析方程2x＋y＋1＝0可化为y＝－2x－1，因此该直线的斜率k1＝－2.方程x＋2y＋1＝0可化为y＝－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)，因此该直线的斜率k2＝－eq\f(1,2)，因为k1≠k2，k1·k2＝1≠－1，所以这两条直线相交但不垂直．故选B.(2)(2024·四川宜宾叙州区第一中学期中)直线l1：2x－my＋8＝0和直线l2：mx＋2y－4＝0(m∈R)的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．重合答案B解析因为2·m＋(－m)·2＝0，所以直线l1与直线l2相互垂直．故选B.【通性通法】判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．【巩固迁移】1．(多选)(2024·湖南郴州模拟)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是()A．若斜率k1＝k2，则l1∥l2B．若k1k2＝－1，则l1⊥l2C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2D．若α1＋α2＝π，则l1⊥l2答案ABC解析对于A，若两直线的斜率k1＝k2，则它们的倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，A正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若k1k2＝－1，则l1⊥l2，B正确；对于C，由两直线平行的条件可知，若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，C正确；对于D，若α1＋α2＝π，不妨取α1＝eq\f(π,3)，α2＝eq\f(2π,3)，则k1＝tanα1＝eq\r(3)，k2＝tanα2＝－eq\r(3)，k1k2≠－1，l1，l2不垂直，D错误．故选ABC.考向2由两条直线的位置关系求参数例2(1)(2023·辽宁丹东二模)直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝()A．－2 B．1C．－2或1 D．－1或2答案A解析由题意，直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1.当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2；当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．故选A.(2)(2024·江苏徐州模拟)若直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝________．答案±1解析因为直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，得a2＝1，解得a＝±1.【通性通法】解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”【巩固迁移】2．(2023·陕西安康统考二模)已知直线l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直线l2：(a－2)x＋y＋2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当a＝1时，l1：－x＋y＋1＝0，l2：－x＋y＋2＝0，所以l1∥l2，充分性成立；当l1∥l2时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a－2）＝a－2，,2a≠1，))解得a＝1或a＝2，必要性不成立．故选A.3．(2023·吉林统考二模)已知a>0，b>0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为________．答案9解析由两直线垂直，得2a＋b(1－a)＝0，即2a＋b＝ab，整理可得eq\f(2,b)＋eq\f(1,a)＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,b)＋\f(1,a)))＝eq\f(2a,b)＋1＋4＋eq\f(2b,a)≥5＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(2b,a))＝9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，因此a＋2b的最小值为9.考点二两条直线的交点、距离公式(多考向探究)考向1两条直线的交点例3过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为()A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0答案D解析解法一：解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))可得直线l1和l2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7)))，又所求直线过原点，所以所求直线的方程为y＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.故选D.解法二：根据题意，可设所求的直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－eq\f(4,5)，所以所求直线的方程为x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.故选D.【通性通法】求过两条直线交点的直线方程的方法(1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)共点直线系法：分离参数，假设直线方程中含有的参数为λ，则将直线方程化为f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x，y）＝0，,g（x，y）＝0))即可得定点坐标，从而得到所求的直线方程．【巩固迁移】4．(2024·山西吕梁模拟)过直线x＋y＋1＝0和x－2y＋4＝0的交点，且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程是________．答案2x－y＋5＝0解析解法一：联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,x－2y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))所以交点坐标为(－2，1)．直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq\f(1,2)，所以所求直线方程的斜率为－eq\f(1,－\f(1,2))＝2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.解法二：设所求直线方程为x＋y＋1＋λ(x－2y＋4)＝0，即(1＋λ)x＋(1－2λ)y＋1＋4λ＝0.因为所求直线与直线x＋2y－3＝0垂直，所以所求直线方程的斜率为2，易知λ≠eq\f(1,2)，则eq\f(1＋λ,2λ－1)＝2，得λ＝1，则所求直线方程为2x－y＋5＝0.考向2与距离有关的问题例4(1)(2023·陕西咸阳模拟)已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，则点P(1，2)到直线l2的距离d＝()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5) D．eq\f(4\r(5),5)答案D解析由l1⊥l2，可得2×1－1×a＝0，解得a＝2，故d＝eq\f(|1＋2×2－1|,\r(12＋22))＝eq\f(4\r(5),5).故选D.(2)(2024·福建厦门阶段考试)若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为eq\f(3\r(5),5)，则实数a＝________．答案－1解析∵l1∥l2，∴a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))),\r(2))＝eq\f(3\r(2),4)，不满足题意；当a＝－1时，d＝eq\f(|2＋1|,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，满足题意．故a＝－1.【通性通法】求解距离问题的思路(1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两条平行直线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式．注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行直线间的距离公式要求两条直线方程中x，y的系数分别相等．【巩固迁移】5．(多选)已知直线l过点P(－1，2)，且点A(2，3)，B(－4，5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为()A．3x＋y＋5＝0 B．x＋3y－5＝0C．x＝－1 D．y＝2答案BC解析解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意，知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－eq\f(1,3)，所以直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，符合题意．故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.解法二：当AB∥l时，直线l的斜率k＝kAB＝－eq\f(1,3)，则直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0；当直线l过AB的中点(－1，4)时，直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.6．(多选)(2023·山东济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为()A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0答案BD解析设直线l的方程为4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题意，知d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36)).因为eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.考点三对称问题(多考向探究)考向1点关于点、直线关于点对称例5(1)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段恰好被点P平分，则直线l的方程为()A．x－4y＋4＝0 B．4x－y－4＝0C．4x＋y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0答案D解析设l1与l的交点为A(a，8－2a)．由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4.因为点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.故选D.(2)(2023·江苏镇江期中)直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0答案A解析因为l和l′关于点P对称，则两直线平行，可设l′的方程为2x－y＋b＝0(b≠3)，点P到两直线的距离相等，则eq\f(|2×2－3＋3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(|2×2－3＋b|,\r(22＋（－1）2))，解得b＝－5或b＝3(舍去)，所以直线l′的方程是2x－y－5＝0.故选A.【通性通法】两类中心对称问题(1)点关于点对称：点P(x，y)关于M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))(2)直线关于点对称的两种方法【巩固迁移】7．直线3x－2y＝0关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的直线方程为()A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0答案B解析设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))，因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))在直线3x－2y＝0上，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x))－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.故选B.8．(2024·河北张家口质检)光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程为()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)答案C解析点A(－3，5)关于x轴的对称点为C(－3，－5)，则光线从A到B经过的路程为CB的长度，即|CB|＝eq\r(（－3－2）2＋（－5－10）2)＝5eq\r(10).故选C.考向2点关于直线的对称例6(2024·河北张家口阶段考试)点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为()A．(－3，5) B．(－1，－4)C．(4，1) D．(2，3)答案A解析设点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,a－2)×1＝－1，,\f(a＋2,2)－\f(b,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5，))所以点Q的坐标为(－3，5)．故选A.【通性通法】若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，则由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,B（x2－x1）－A（y2－y1）＝0，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标．【巩固迁移】9．(2023·广东深圳模拟)已知点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a，b的值为()A．a＝－1，b＝2 B．a＝4，b＝－2C．a＝2，b＝4 D．a＝4，b＝2答案D解析点A，B关于直线4x＋3y＝11对称，则kAB＝eq\f(3,4)，即eq\f(b＋2－（－b）,a＋2－（b－a）)＝eq\f(3,4)①，且AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,2)，1))在已知直线上，代入得2(b＋2)＋3＝11②，联立①②组成方程组，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2.))故选D.考向3直线关于直线的对称例7(2024·河南南阳模拟)直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0答案A解析在直线x－2y－1＝0上任取一点P(a，b)，设点P关于直线y－x＝0的对称点为Q(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－b,x－a)＝－1，,\f(y＋b,2)＝\f(x＋a,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝y，,b＝x，))即P(y，x)，因为点P(y，x)在直线x－2y－1＝0上，所以y－2x－1＝0，即2x－y＋1＝0，所以所求直线方程是2x－y＋1＝0.故选A.【通性通法】求直线l1关于直线l对称的直线l2的两种方法(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．特别地，若直线l1与直线l平行，则在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点，由点斜式可得直线l2的方程．【巩固迁移】10．已知直线l1：x－y＋3＝0与直线l：x－y－1＝0，若直线l1关于直线l的对称直线为l2，则直线l2的方程为________．答案x－y－5＝0解析解法一：由题意，知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)，在直线l1上取点M(0，3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－3,a)×1＝－1，,\f(a＋0,2)－\f(b＋3,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－1，))即M′(4，－1)，将M′(4，－1)代入l2的方程，得4＋1＋m＝0，解得m＝－5.所以直线l2的方程为x－y－5＝0.解法二：易知l1∥l，所以l2∥l，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等．由两平行直线间的距离公式得eq\f(|3－（－1）|,\r(2))＝eq\f(|m－（－1）|,\r(2))，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直线l2的方程为x－y－5＝0.课时作业一、单项选择题1．(2024·甘肃天水模拟)直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋ay－1＝0平行，则实数a＝()A．1 B．－1C．1或－1 D．0答案A解析因为直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋ay－1＝0平行，所以a2－1＝0且－a－1≠0，解得a＝1.故选A.2．过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0答案A解析由题意，可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2，3)代入上式，得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A.3．已知直线l1：x＋2y－5＝0和直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离|AO|为()A．1 B．2C．eq\r(5) D．eq\r(3)答案C解析解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，,3x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即直线l1与直线l2的交点A(1，2)，又O为坐标原点，则|AO|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以点A到原点的距离|AO|为eq\r(5).故选C.4．(2024·辽宁抚顺模拟)直线l1：2x＋y－1＝0与直线l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0(实数a为参数)的位置关系是()A．l1与l2相交B．l1与l2平行C．l1与l2重合D．l1与l2的位置关系与a的取值有关答案B解析由l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0，可得(4＋2a)x＋(2＋a)y＋3－a＝0，因为2×(2＋a)－1×(4＋2a)＝0且1×(3－a)≠－1×(2＋a)，所以l1与l2平行．故选B.5．(2023·湖北武汉模拟)已知定点P(－2，0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为()A．2eq\r(3) B．eq\r(10)C．eq\r(14) D．2eq\r(15)答案B解析将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))得交点Q(1，1)，所以直线l恒过定点Q(1，1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝eq\r(（－2－1）2＋（0－1）2)＝eq\r(10)，即点P到直线l的距离的最大值为eq\r(10).故选B.6．(2023·山西阳泉模拟)设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是()A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0答案A解析联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y－2＝0，,2x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))取直线l1：x－2y－2＝0上一点(0，－1)，设点(0，－1)关于直线l：2x－y－4＝0的对称点为(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,a)＝－\f(1,2)，,2×\f(a,2)－\f(b－1,2)－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11,5)，))直线l2的斜率k＝－eq\f(11,2)，所以直线l2的方程为y＝－eq\f(11,2)(x－2)，整理得11x＋2y－22＝0.故选A.7．(2024·山东济南质检)已知a>0，b>0，直线(a－1)x＋2y＋3＝0与直线x＋by－1＝0垂直，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．2＋eq\r(2) B．4C．3＋2eq\r(2) D．6答案C解析因为直线(a－1)x＋2y＋3＝0与直线x＋by－1＝0垂直，所以(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋2b)＝3＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,b)≥3＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq\r(2)(当且仅当a＝eq\r(2)－1，b＝eq\f(2－\r(2),2)时，等号成立)．故选C.8．(2023·海南三亚二模)△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为()A．2x－3y＋1＝0 B．x－8y＋20＝0C．3x－5y＋3＝0 D．x－y＋1＝0答案B解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，,4x＋13y－10＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－2，))所以点B的坐标为(9，－2)，设点A(4，3)关于直线x＋2y－5＝0的