数学学案：课堂导学6三个正数的算术-几何平均不等式（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、在求最值时,要注意“一正”“二定”“三相等”【例1】一段长为lm的篱笆围成一个一边靠墙的菜园，问这个矩形长和宽各为多少时,菜园的面积最大,最大值是多少？错解：设矩形的宽为xm,长为(l—2x）m，则S=x(l—2x）≤，当且仅当x=l-2x时等号成立,所以令x=l-2x,解之,得x=.∴S=。此时，l-2x=，∴当长和宽都为m时矩形的面积最大，最大面积是m2.正解一：设矩形的宽为xm，长为（l-2x)m，则S=x（l-2x）=[)］2=［］2≤,当且仅当2x=l—2x，即x=时“=”成立,∴当宽为m,长为m时面积最大,最大面积为l2m2.正解二：（设法同解法一）S=x(l—2x)=·2x(l-2x),∵2x+l-2x=l，∴S=·2x·(l-2x)≤·l2=l2,当且仅当2x=l-2x时等号成立,此时x=l.∴当宽为,长为时面积最大,最大面积为m2。类题演练1（1）求函数y=cosx-的最值；(2)求函数f（x)=2x（x-1)(8-3x)的最大值，其中x∈（1,）。（1）错解：设cosx-=t,则y=t+。∴ymin=。正确解法:设cosx-=t，显然t<0，则y=—(—t+)≤，∴ymax=.(2）错解:∵x∈（1，）,则2x>0，x-1>0，8—3x>0。从而f（x)=［]3≤［]3=,∴f（x）max=.正确解法:f（x)=8［)]3≤8[]3=8，∴当x=2时,f（x）max=8。变式提升1求y=（sin2x+)+(cos2x+)的最小值.错解：∵sin2x>0,且有sin2x+≥2，同理可得cos2x+≥2。∴y=(sin2x+）+(cos2x+）≥4。∴ymin=4。正确解法:y=（sin2x+)+(cos2x+）=1+,∴当x=（k∈Z)时有ymin=5.二、利用均值不等式求最值的典型技巧和方法【例2】设a、b、x、y∈R+，a、b为常数，且=1，求x+y的最小值。错解：∵x+y=（x+y)·，∴(x+y)min=。错因分析：x+y≥中等号成立的条件是x=y,≥中等号成立的条件是，而=1,∴x=2a,y=2b.此时a不一定等于b,故上述解法有误.正解一:(消元法)∵=1,∴y=且x>a.∴x+y=x+=x+=x+b+=x—a++a+b≥+a+b=(+)2。正解二：(妙用“1")x+y=(x+y）()=a++b≥a+b+=(+）2.正解三:（三角代换)令=cos2θ,=sin2θ，则x+y=asec2θ+bcsc2θ=a（1+tan2θ）+b(1+cot2θ）=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+=（)2.上述三种解法均可得出当且仅当x=+a,y=+b时取等号，故(x+y)min=(）2.温馨提示本例中，在求最值时用到了多种技巧:把两个变量的表达式通过消元化为一元函数；利用“1”的代换;利用三角换元等。类题演练2已知m2+n2=a,x2+y2=b,求mx+ny的最大值.错解:∵mx≤，①ny≤,②∴mx+ny≤.③∴mx+ny的最大值为.正解:∵mx=·，①ny=，②∴mx+ny≤③当且仅当①②中“="同时成立时,③中“=”成立,即且时，mx+ny有最大值.变式提升2（经典回放)用总长为14.8m的钢条制造一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边比另一边长0。5m,那么高为多少时,容器容积最大？解析：设长方体底面一边长为x，另一边长为x+0。5，高为y，则4x+4（x+0.5）+4y=14。8,∴y=3.2-2x,则V=x（x+0。5)(3。2-2x）。引进正参数u1、u2,则V=(u1x)［u2（x+0。5)］+（3.2-2x)，必须满足u1x+u2(x+0.5)+3.2-2x为常数,即（u1+u2—2）x+0。5u2+3.2是常数，即u1+u2=2,①且u1x=u2(x+0.5)=3。2—2x。②由①②知u1=1。2,u2=0。8,∴V=×(1。2x)×0。8（x+0.5）×（3。2-2x)≤=1。8。等号成立时,1.2x=0.8（x+0.5）=3。2-2x,即x=1,此时高为1.2m,容器容积最大.三、利用均值不等式处理其他问题的技巧【例3】求证:sin2αcos2α+.思路分析：左式=sin22α+，若利用均值不等式得左式≥2,必须sin22α=16时“=”成立，这是不可能的.同时，由于2<，也达不到证明的目的.但如果把换成,“=”就能取到，这就找到了“凑式"的思路.证明：左式=sin22α+当且仅当sin22α=且sin22α=1，即sin2α=±1时,取“=”。∴原不等式成立.温馨提示“配项凑式"是利用均值不等式的典型技巧，在求y=x+(a〉0,x∈R+)的最小值时,如果x=R+时无法直接用均值不等式求最值,这时可用本例中的方法或者讨论y=x+的单调性.类题演练3已知0〈x<1，求证:≥(a+b）2。证明：∵0<x〈1，∴1—x>0。∴=a2+b2+=a2+b2+2ab=（a+b)2.∴原不等式成立.变式提升3已知x、y、z为正实数，且x+y+z=3，=3。求x2+y2+z2的值.解析:由题设得(x+）+（y+）+(