第12讲椭圆（十大题型）

第12讲椭圆【题型归纳目录】题型一：椭圆的定义题型二：求椭圆的标准方程题型三：椭圆的综合问题题型四：轨迹方程题型五：椭圆的简单几何性质题型六：求椭圆的离心率题型七：求椭圆离心率的取值范围题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围题型九：椭圆中的范围与最值问题题型十：焦点三角形【知识点梳理】知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点诠释：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；知识点诠释：（1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；（4）在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.知识点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.知识点四：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.椭圆的对称性对于椭圆标准方程，把x换成x，或把y换成y，或把x、y同时换成x、y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。【典例例题】题型一：椭圆的定义【例1】（2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段【答案】A【解析】因为，，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A.【对点训练1】（2023·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（

）A．12 B．24 C． D．【答案】D【解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，又过的直线交椭圆于A、B两点，故的周长，故选：D【对点训练2】（2023·高二课时练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（）A．椭圆 B．直线C．线段 D．点【答案】C【解析】因为，所以，知点C的轨迹是线段AB．故选：C.【对点训练3】（2023·上海静安·高二校考期中）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（

）A． B． C．4 D．【答案】D【解析】椭圆，则，所以，因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.故选：D题型二：求椭圆的标准方程【例2】（2023·甘肃武威·高二校考开学考试）（1）已知椭圆的焦点为，，点是椭圆上的一个点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程．【解析】（1）显然椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为，则，解得：，椭圆方程为：（2）因为，，解得：，又因为，所以，椭圆的标准方程为或.【对点训练4】（2023·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)，，焦点在x轴上；(2)，，焦点在y轴上；(3)，．【解析】（1）∵，，椭圆焦点在x轴上，∴其标准方程为：；（2）∵，，∴，∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程为：；（3）∵，，∴，因为椭圆焦点位置不确定，其标准方程为：或.【对点训练5】（2023·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)一个焦点坐标为（2，0），短轴长为2；(2)经过点和点．【解析】（1）因为椭圆的一个焦点坐标为（2，0），短轴长为2；所以椭圆的焦点在轴上，设其方程为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为，（2）设椭圆的方程为，因为椭圆经过点和点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.【对点训练6】（2023·广东梅州·高二校考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；(2)经过两点.(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点；【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的方程为（），∵长轴长为4，焦距为2，∴，，∴，，∴，∴椭圆的方程为；（2）设所求椭圆的方程，将代入上式得，解得，所以所求椭圆的标准方程为；（3）椭圆，即，故，焦点为，，设所求椭圆的标准方程，所以，解得，所以所求椭圆的标准方程为.题型三：椭圆的综合问题【例3】（多选题）（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（

）A．椭圆的离心率是B．若是左，右端点，则的最大值为C．若点坐标是，则过的的切线方程是D．若过原点的直线交于两点，则【答案】BD【解析】的面积最大值是，则，椭圆方程.，椭圆离心率，A选项错误；若是椭圆的左，右端点，则，以为焦点作新椭圆，P为两个椭圆的交点，当新椭圆短轴最长时最大，所以当P为椭圆的上顶点或下顶点时，有最大值为，B选项正确；点在椭圆上，过点的的切线斜率显然存在，设切线方程为，代入椭圆方程消去y得，由，解得，则切线方程为，即，故C选项错误；设，都在椭圆上，有和，两式相减得，，，，D选项正确.故选:BD.【对点训练7】（多选题）（2023·云南楚雄·高二统考期末）已知椭圆：的焦点分别为，，为上的动点，则（

）A．的周长为 B．的最大值为C．的长轴长为 D．的离心率为【答案】CD【解析】对A，因为，，所以，，.因为焦点在轴上，所以的周长为，故A选项错误；对B，根据结论知的最大值为，故B选项错误；对C，长轴长为，故C选项正确；对D，离心率为，故D正确.故选：CD【对点训练8】（多选题）（2023·吉林长春·高二校考期末）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（

）．A．B．P到最小的距离是2C．面积的最大值为6D．点P到直线的最小距离是【答案】AD【解析】由椭圆方程可得：，则，对A：根据椭圆的定义可得，A正确；对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，最小值为，B错误；对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，最大值为，C错误；对D：设，则P到直线的距离，其中，当且仅当时等号成立，D正确.故选：AD.【对点训练9】（多选题）（2023·福建·高二福建师大附中校考期中）已知点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于，则该椭圆的离心率可能为（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由椭圆性质可得：的面积满足，又存在以c为半径的圆内切于，∴，∴a+c≤b，∴（a+c）2≤2b2＝2（a2－c2），∴3c2+2ac－a2≤0，∴3e2+2e－1≤0，又，解得，故选：CD.【对点训练10】（2023·广西·高二校联考期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．【解析】（1）因为长轴长是短轴长的倍，则，所以椭圆C的方程为，把点的坐标代入上式，得，可得，所以，故椭圆C的方程为．（2）易知右焦点F的坐标为，若直线l的斜率为0，则O，A，B三点不能构成三角形，

所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，联立方程组，消去x，得，判别式，设，则，，

．令，则，当且仅当时，等号成立，即，解得，所以此时直线l的方程为或．【对点训练11】（2023·高二课时练习）在椭圆内有一点，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．【解析】设过A点的直线l与椭圆交于，，如图所示．所以,

两式相减得,∴.∵A为的中点,∴,，即.由题意:,所以,即.∴所求椭圆方程为.【对点训练12】（2023·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求的取值范围.【解析】（1）由题意可得，，所以，，所以椭圆的方程为：；；（2）由，可得，因为直线与这个椭圆交于两不同的点，所以，解得，所以的取值范围为.【对点训练13】（2023·浙江宁波·高二校考期中）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意可知，，解得，故椭圆标准方程为.（2）由，消去，得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.【对点训练14】（2023·全国·高二专题练习）已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．【解析】由题可知，，因为，∴时，有最大值，或时，有最小值，即的取值范围为.题型四：轨迹方程【例4】（2023·高二课时练习）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为__________．【答案】【解析】因为的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为，所以，即，所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆，故椭圆方程为，因为，所以，所以，又因为B、A、C三点构成，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以，所以顶点B的轨迹方程为.故答案为：【对点训练15】（2023·高二课时练习）的两个顶点坐标分别是和，边，所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程是________．【答案】【解析】设顶点A的坐标为，由题意得，化简整理，得，又是的三个顶点，所以三点不共线，因此y≠±6，所以顶点A的轨迹方程为．故答案为：【对点训练16】（2023·上海静安·高二校考期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______．【答案】【解析】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，所以，整理得，所以点的轨迹方程是.故答案为：【对点训练17】（2023·福建泉州·高二统考期末）已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________.【答案】【解析】圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图，有，则，因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，所以点Q的轨迹方程为.故答案为：【对点训练18】（2023·青海西宁·高二期末）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为__________．【答案】【解析】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，，所以，所以圆心的轨迹为椭圆.其中，，故，因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：.故答案为：.【对点训练19】（2023·高二课时练习）到直线x＋3y＝0和x－3y＝0的距离的平方和为18的动点P的轨迹方程为______.【答案】【解析】设动点的坐标为，因为点到直线x＋3y＝0和x－3y＝0的距离的平方和为18，所以，所以，即.故答案为：.【对点训练20】（2023·上海·高二专题练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为______．【答案】【解析】圆，即，圆心为，，圆，即，圆心为，，设动圆的圆心为，半径为，由题意得，，则，所以动圆的圆心为的轨迹是以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，所以，，所以动圆圆心的轨迹方程为.故答案为：.【对点训练21】（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）在平面直角坐标系中，若动点始终满足关系式，则动点的轨迹方程为__________.【答案】.【解析】由平面上两点间的距离公式可知，到与的距离之和为8，又与两点间的距离为4，且，所以轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，所以.故点的轨迹方程为.故答案为：.题型五：椭圆的简单几何性质【例5】（2023·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中）椭圆的焦距为______.【答案】【解析】因为椭圆，即，所以，即，所以焦距为.故答案为：【对点训练22】（2023·广东梅州·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则______.【答案】8【解析】椭圆，故，为等腰直角三角形，故，故，即，.故答案为：【对点训练23】（2023·天津宁河·高二校考阶段练习）椭圆的一个焦点是，则实数的值为________.【答案】2【解析】变形得到，因为椭圆的一个焦点是，在轴上，故，解得：.故答案为：2【对点训练24】（2023·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.【答案】或【解析】因为椭圆的离心率为，易知，当时，椭圆焦点在轴上，，，所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.当时，椭圆焦点在轴上，，，所以，得，满足题意，此时，所以椭圆的长轴长为.故答案为：或.【对点训练25】（2023·高二课时练习）椭圆的内接正方形的周长为__________．【答案】/19.2【解析】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为，则，所以周长为，故答案为：

【对点训练26】（2023·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．【答案】【解析】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆上，所以点(m,n)满足椭圆的范围，因此，即．故答案为：.题型六：求椭圆的离心率【例6】（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，若点，是线段的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.【答案】【解析】由已知可知，点，是线段的三等分点，则为的中点，右焦点为，所以,所以x轴，由椭圆方程得A点的坐标为,,关于对称，易知B点坐标将其代入椭圆方程得得，所以离心率为.故答案为：.【对点训练27】（2023·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）设，是椭圆E：的左、右焦点，过点且倾斜角为的直线l与直线相交于点P，若为等腰三角形，则椭圆E的离心率e的值是______.【答案】/【解析】由题可得直线l的方程为，由，解得，则，由于为等腰三角形，所以，所以，可得，，.故答案为：.【对点训练28】（2023·上海浦东新·高二统考期中）如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为_________.（用R、r表示）【答案】【解析】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故，所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为.故答案为：【对点训练29】（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为_________.【答案】/【解析】设，，，则，两式相减得，即，所以，因为是垂直平分线，有，所以，即，化简得，∵，∴.故答案为：【对点训练30】（2023·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）已知椭圆的左右顶点为，，点为直线上一点，若的外接圆的面积的最小值为，则该椭圆的离心率为______.【答案】/【解析】若为外接圆的圆心，半径为，则，故，由外接圆圆心为各边中垂线的交点知：必在轴上（不妨令其在轴上方），所以，故，则.故答案为：【对点训练31】（2023·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知椭圆，是它的右焦点，是它的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为________．【答案】/0.5【解析】由题意可知：，，∴，∴，∴，∴，.故答案为：.题型七：求椭圆离心率的取值范围【例7】（2023·广东深圳·高二统考期末）已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为_____________．【答案】．【解析】设，，则，所以，得.将A、B两点坐标代入椭圆方程，得，两式相减，得，有，所以，由，得，即，由，得，即，解得，所以椭圆的离心率的取值范围为.故答案为：.【对点训练32】（2023·福建龙岩·高二校联考期中）椭圆上有且仅有4个不同的点满足，其中，则椭圆C的离心率的取值范围为________．【答案】【解析】设点,由得,化简得,依题意得圆与椭圆有四个交点，所以，即，即，所以，所以.故答案为:.【对点训练33】（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是______【答案】【解析】由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，所以椭圆上存在点使，只需最大的情况下，有，又椭圆离心率，故.故答案为：【对点训练34】（2023·高二课时练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】由题可知，，设，由点P在椭圆上，得，所以，可得，所以．故答案为：.【对点训练35】（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则椭圆离心率的取值范围为____．【答案】【解析】设，由椭圆的定义得:,由余弦定理，得:．又，当且仅当时，取最大值，于是，所以且，．故答案为:.【对点训练36】（2023·江苏淮安·高二统考期末）已知椭圆的两个焦点是,满足的点总在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是_______________.【答案】【解析】因为，所以以为直径的圆始终在椭圆内部，即椭圆的短轴两个端点在圆外部，可得，即，即，可得.故答案为：.【对点训练37】（2023·河南·高二校联考期末）已知椭圆的半焦距为，且满足，则该椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】由，得，，两边除以得，又，解得.故答案为：【对点训练38】（2023·北京海淀·高二统考期末）椭圆的左、右顶点分别为、，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】如图，当在椭圆上顶点时，最大，此时，即可，则，得，即，所以，即，得，所以，即椭圆的离心率．故答案为：题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围【例8】（2023·广东阳江·高二校考期末）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______.【答案】【解析】由已知可得，，可得，，所以，，解得.故答案为：.【对点训练39】（2023·四川乐山·高二校考期中）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是___________.【答案】/0.25【解析】因为焦点在y轴上的椭圆，故，又，所以.故答案为：【对点训练40】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．【答案】/【解析】由题设，解得，所以长轴长与短轴长的比值为.故答案为：【对点训练41】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______.【答案】【解析】由题意，椭圆的右顶点为，可得，又由椭圆的离心率为，即，可得，所以，所以，即椭圆的短轴长为.故答案为：.题型九：椭圆中的范围与最值问题【例9】（2023·上海宝山·高二上海市行知中学校考期中）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为锐角时，点横坐标的取值范围为_______.【答案】【解析】当为锐角时，则向量数量积大于零，由椭圆方程可得，，设，则①，又②，①②联立化简得，解得或，所以，故答案为：【对点训练42】（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____．【答案】【解析】由椭圆标准方程可知，又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以所以易知，当且仅当三点共线时等号成立；又，所以；即的范围为.故答案为：【对点训练43】（2023·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________.【答案】[3，5]【解析】椭圆方程椭圆的焦点由在圆上，设，•的取值范围[3，5].故答案为：[3,5].【对点训练44】（2023·全国·高二专题练习）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．【答案】[1,3]【解析】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是.故答案为：.【对点训练45】（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为______．【答案】【解析】的最小值为，即，解得，长轴长为.故答案为：【对点训练46】（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为______．【答案】【解析】由椭圆，可得，故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，代入椭圆方程整理，得，则，解得，当时，与之间的距离为；当时，与间的距离为，故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，故答案为：【对点训练47】（2023·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为__________.【答案】8【解析】如图,由，得，则，则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得，所以，又，所以，，故答案为：8【对点训练48】（2023·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为______【答案】6【解析】圆的方程为，圆心，半径，设，则，，到圆心的距离，又当时，取得最大值，的最大值为：，故答案为：．【对点训练49】（2023·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是，则的最大值是______．【答案】21【解析】由椭圆得，则椭圆右焦点为，点M在椭圆内部，如图所示，则故答案为：21．题型十：焦点三角形【例10】（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为______．【答案】【解析】由题知，，，因为点在椭圆上，所以，所以，又因为，所以，所以，从而．故答案为：【对点训练50】（2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.【答案】/【解析】椭圆，即，所以，，，因为，所以点为短轴顶点，所以.故答案为：【对点训练51】（2023·广西南宁·高二统考开学考试）已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为______.【答案】【解析】椭圆的焦点，，设点，依题意，，又，于是，所以点的坐标为.故答案为：【对点训练52】（2023·河南开封·高二校考阶段练习）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为________.【答案】24【解析】由椭圆的方程可得：，，，，，且根据椭圆的定义可得：，，，则在中，，，故答案为：24.【对点训练53】（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为_______.【答案】4【解析】∵，；∴，因为，所以，设，，则①，②，由①2﹣②得，∴．故答案为：4．【对点训练54】（2023·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.【答案】7【解析】由题意得，，，，∴在以线段为直径的圆上，∴，∴①，由椭圆的定义知，②，由①②，解得，.故答案为：7.【对点训练55】（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的值为__．【答案】2【解析】，；，，设，，为椭圆上一点，①，，②，由①②得，．故答案为：2．【对点训练56】（2023·高二单元测试）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．【答案】【解析】，．在中，，．故答案为：.【对点训练57】（2023·高二单元测试）椭圆的两个焦点为､，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.【答案】【解析】∵，，，∴，又，∴，，∴，∴，∴椭圆C的方程为.故答案为：.【对点训练58】（2023·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________．【答案】【解析】由，可知，，所以，∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，所以，所以轴，，由椭圆的定义知，则∴.故答案为：7【过关测试】一、单选题1．（2023·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.2．（2023·重庆长寿·高二统考期末）下列椭圆中最接近于圆的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为，对于椭圆而言，若椭圆的离心率越接近于零，则该椭圆越接近于圆.对于A选项，椭圆的离心率为，对于B选项，椭圆的离心率为，对于C选项，椭圆的离心率为，对于D选项，椭圆的离心率为，因为，故D选项中的椭圆越接近于圆.故选：D.3．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因为所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，所以，即，A．，则，故错误；B．，则，故错误；C．，则，故正确；D．，则，故错误；故选：C4．（2023·高二课时练习）椭圆与椭圆的关系为（

）A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率【答案】B【解析】对于椭圆，则，且焦点在x轴上，所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为，对于椭圆，因为，则，可得，且焦点在y轴上，所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为，所以A、C、D错误，B正确.故选：B.5．（2023·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（

）A． B．或C． D．以上都不对【答案】B【解析】

由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：，由题意，，所以，，，，所以椭圆方程为：，当椭圆焦点在轴上时，同理可得：，故选：B6．（2023·贵州遵义·高二统考期中）已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限，联立，可解得，，，又，，，又，，，，，，，又，该椭圆的离心率．故选：C．7．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，广安市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，广安的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，设椭圆的长半轴长为，半焦距为，

由，得，，在中，，则，，由正弦定理得，，解得，则，所以该椭圆的离心率.故选：C.8．（2023·高二课时练习）若点在椭圆上，则的最小值为（）A．1 B．C． D．以上都不对【答案】C【解析】的几何意义是椭圆上的点与定点连线的斜率，椭圆化为标准方程为，由图可知，直线与椭圆相切时取得最值，设直线，代入椭圆方程消去得，令，解得，所以，即的最小值为.

故选：C.二、多选题9．（2023·高二课时练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的可能取值为（）A．1 B． C．2 D．3【答案】ABC【解析】方程可化为，依题意，解得.故选：ABC．10．（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（

）A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆经过点【答案】BC【解析】A：因为方程表示椭圆，所以，解得，且，故A错误；B：因为椭圆的焦点在y轴上，所以，解得，故B正确；C：若，则椭圆方程为，所以，从而，故C正确；D：若，则椭圆方程为，点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误.故选：BC.11．（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（

）A．以线段为直径的圆与直线相切B．△面积的最大值为C．D．离心率【答案】ACD【解析】由椭圆可得，，所以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为1，所以线段为直径的圆到直线的距离为，故A正确；由题可得△面积的最大值为，故B错误；所以，故C正确；椭圆的离心率为，故D正确.故选：ACD.12．（2023·浙江衢州·高二统考期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（

）A．当椭圆的离心率的取值范围是B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是C．对任意点都有D．的最小值为2【答案】AB【解析】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确；当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；设椭圆的上顶点为，，，由于，所以存在点使得，故C错误；，当且仅当时，等号成立，又，所以，故D错误．故选：