85空间直线平面的平行（学案）

8.5空间直线、平面的平行（学案）知识自测知识自测一．基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性二．空间等角定理1.定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.三．直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊄α，,b⊂α，,a∥b))⇒a∥α图形语言四．直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言五．平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))⇒α∥β图形语言六．两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言知识简用知识简用题型一直线与直线平行【例11】（2022广东）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（

）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直【答案】C【解析】如图，连接AD1，CD1，AC，因为E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选：C【例12】（2022湖北）必修第二册实战演练第八章课时练习26直线与直线平行）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，故选：D.题型二等角定理【例21】（2022北京）不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（

）A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似【答案】C【解析】根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等.故选：C【例22】（2022上海）给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．故选：B题型三直线与平面平行【例31】（2022陕西）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点，又因为E为的中点，所以是的中位线，所以，又平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD.（2）因为，又平面，所以三棱锥的高为，∴.【例32】（2022河南）正方体的边长为1，为正方形的中心．(1)求证：直线平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：连接交于点，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以直线平面．（2）解：在棱长为的正方体中，可得平面，且，其中的面积为，又由，即三棱锥的体积．【例33】（2022山西）如图，在五面体PABCD中，，底面ABCD是菱形，且，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足．求证：平面EMC．【答案】证明见解析【解析】证明：连接BD，交MC于F，连接EF，在菱形ABCD中，三角形BMF与三角形FCD相似，且相似比为1:2，所以，故，而BP是平面EMC外的直线，平面EMC，所以平面EMC．题型四平面与平面平行【例41】（2022云南）如图，在长方体中，，E，F，Q分别为的中点，求证：平面平面．【答案】证明见解析【解析】因为E是的中点，Q是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．又因为F是的中点，所以，因为平面平面，所以平面．因为平面平面，所以平面平面．【例42】（2022西藏）如图，在棱长为的正方体中，点在上，点在上，点在上，且，是的中点．求证：平面平面．【答案】证明见解析【解析】因为是的中点，所以．因为，所以，又因为，且，所以，从而，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，平面，，平面，所以平面平面．题型五平行的判断定理与性质的辨析【例51】（2022甘肃省）下列能保证直线与平面平行的条件是（

）A．，B．，，C．､，，，，且D．，，，【答案】B【解析】A中，直线可能在平面内，A错误；B中，，，，根据线面平行的判定，可知，B正确；C中，，若点在内，则直线在平面内，C错误.D中，直线可能在平面内，D错误.故选：B【例52】（2022吉林）对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（

）A．如果，，m、n是异面直线，那么B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相交C．如果，，m、n共面，那么D．如果，，m、n共面，那么【答案】C【解析】对于A，如果，，m、n是异面直线，则或与相交，故A错；对于B，如果，，m、n是异面直线，那么n与相交或平行，故B错；对于C，如果，，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得，故C对；对于D，如果，，m、n共面，则或相交，故D错故选：C【例53】（2022安徽）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（

）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直线l，那么④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么A．0 B．1 C．2