23直线的交点与距离公式（精讲）

2.3直线的交点与距离公式（精讲）考点一直线的交点【例11】（2022·贵州·高二学业考试）直线与直线的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由解得，则直线与直线的交点坐标为.故选：A.【例12】（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，由，得，即和的交点为，因为直线过点，所以，得，所以所求直线方程为，故选：D【例13】（2022·江苏·高二）直线x+ky=0和2x+3y+8=0的交点为A，且A在直线xy1=0上，则k的值是（

）A． B． C．2 D．2【答案】A【解析】由，解得，即两直线2x+3y+8=0和xy1=0的交点坐标为A(1，2)．∵直线x+ky=0，2x+3y+8=0和xy1=0交于一点A，∴12k=0，∴k=，故选；A．【例14】（2022·全国·高二专题练习）已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．【答案】【解析】当，直线和平行，不满足题意，故，此时联立方程，解得，因为交点在第二象限，所以，解得，故实数的取值范围为．故答案为：【一隅三反】1．（2022·江苏·高二专题练习）直线与直线的交点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，则两直线交点坐标为故选：A2．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．【答案】【解析】由解得，故交点坐标为，由平行于直线可得斜率为1，故方程为，化为一般方程为.故答案为：.3．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_______．【答案】【解析】由，解得，即直线和的交点坐标为，设与直线垂直的直线方程为，则，解得，所以直线方程为；故答案为：考点二直线的三种距离【例21】（1）（2021·福建三明·高二期中）已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（

） B． C． D．（2）（2022·江苏宿迁·高二期末）直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】（1）D（2）B【解析】（1）联立方程，解得，所以，所以故选：D（2）因为与的交点坐标为所以，当时，，所以的最大值是，故选：B.【例22】（1）（2022·海南·海口市琼山华侨中学高二阶段练习）直线与直线交于点，则点到直线的距离为（

） B． C． D．（2）（2022·湖南·周南中学高二期末）已知点在直线上的运动，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）A【解析】（1）联立，解得，故,所以点到直线的距离为，故选：B.（2）表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A【例23】（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.故选：D.【一隅三反】1．（2021·全国·高二课时练习）已知A（﹣2，﹣1），B（2，5），则|AB|等于（）A．4 B． C．6 D．【答案】D【解析】因为A（﹣2，﹣1），B（2，5），所以|AB|.故选：D.2．（2022·四川巴中）点（1，1）到直线的距离为（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】点到直线的距离为，故选：A.3．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）若点到直线：的距离为3，则（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】B【解析】由题设可得，结合可得，故选：B.4．（2022·西藏昌都）两条平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线与直线平行,所以,解得,将化为,所以两平行直线与之间的距离为.故选：C5．（2022·江苏·高二专题练习）已知x，y∈R，，则S的最小值是（

）A．0 B．2 C．4 D．【答案】B【解析】表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和，如图所示：由图象知：，当点P在线段AB上时，等号成立，所以S取得最小值为2．故选：B6．（2022·四川巴中）当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______.【答案】【解析】由可得过定点，由可得过定点.又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离.故答案为：.考点三对称问题【例31】（2021·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为__．【答案】【解析】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点，所以，解得．所以C的坐标为．故答案为：【例32】（2022·安徽宿州）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设点，因为点与点关于直线对称，所以，解得，所以故选：B【例33】（2022·江苏·高二）直线关于点对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.故选：D.【例34】5（2021·全国·高二课时练习）直线，则直线l关于直线对称的直线方程是______.【答案】【解析】设关于直线对称的直线上的点为，它的对称点为：，因此有，则在直线上，所以，即．故答案为：【一隅三反】1．（2022·江西）已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是______.【答案】【解析】根据中点坐标公式，得，且．解得，，所以点P的坐标为，则点到原点的距离．故答案为：2．（2022·全国·高二专题练习）原点关于的对称点的坐标为_____．【答案】【解析】设原点关于的对称点的坐标为，则，解得．要求的点()．故答案为：．3．（2022·江苏无锡·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，点（0,4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（）A．(－1,2) B．(2,－1) C．(1,3) D．(3,1)【答案】D【解析】设点(0,4)关于直线x－y+1＝0的对称点是(a,b),则，解得：，故选：D．4．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．【答案】【解析】设对称直线为，则有，解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中故答案为：考点四综合运用【例41】（2022·全国·高二）过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为（

）A． B．10 C． D．20【答案】B【解析】直线过定点，直线可化为，由可得，所以定点，当时，直线方程为，，此时两直线垂直，当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，所以，所以，故选：B.【例42】（2021·全国·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【答案】C【解析】，，，，所以三角形是直角三角形.故选：C【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知点､，点P在x轴上，则的最小值为___________.【答案】【解析】因为关于x轴的对称点，则,所以的最小值为.故答案为：2．（2022·全国·高二课时练习）已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】，，所以，且的中点为，若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为，即，则到直线的距离，即，解得或；所以直线为或；若直线与平行，设直线为