06三角函数与解三角形综合

06三角函数与解三角形综合一、单选题1．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弦化切可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.【详解】因为，解得，所以，.故选：A.2．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】切化弦，结合得出，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.【详解】因为，所以，即，所以，即，所以，故选：D．3．在中，“是钝角三角形”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】注意三角形内角和是，然后讨论哪个角是钝角即可.【详解】若是钝角三角形，或为钝角时，，满足条件，为钝角时，，由于则，满足条件，所以是充分条件.时，当时，或为钝角，为钝角三角形.当时，或，无解，当时，为钝角，为钝角三角形，所以是必要条件.故选：A.4．已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.【详解】由，得，即函数的单调递减区间为，令，则函数其中一个的单调递减区间为：函数在区间内单调递减，则满足，得，所以的取值范围是.故选：D.5．记函数的最小正周期为T．若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.【详解】根据最小正周期，可得，解得；又，即是函数的一条对称轴，所以，解得.又，当时，.故选：C6．已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期是B．在上单调递增C．是函数的一个对称中心D．先将图象上各点的横坐标压缩为原来的，再将所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象【答案】D【分析】化简函数解析式，结合对称性求出参数，然后结合正弦函数的性质求最小正周期判断A，验证单调性判断B，验证是否为其对称中心判断C，由图象变换得解析式，判断D．【详解】，因为的图象关于点对称，所以，故，所以所以，所以，所以．因为当时，，，故满足条件，所以函数的最小正周期是，故A错误；由时，可得，所以函数先增后减，故B错误；因为当时，，，故不是函数的对称中心，C错误；先将图象上各点的横坐标压缩为原来的，可得的图象；再将所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，，D正确．故选：D.7．已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】D【分析】根据恒成立，可得，再结合，求得，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【详解】因为恒成立，所以，即，所以或，所以或，当时，，则，与题意矛盾，当时，，符合题意，所以，所以，令，得，所以的单调递增区间为（）.故选：D.8．已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由范围可求出整体的范围，结合的图象，根据对称性即可求出的值.【详解】解：令，因为，，，所以，，，，因为，结合的图象（如图所示），得到，或，,因为，所以，，则解得，此时，，，满足题意，或解得，不符合题意舍去.故选：.9．在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用锐角三角函数的定义及两角差的正切公式，结合基本不等式即可求解【详解】过点作的垂线，垂足为，如图所示因为，所以.设，则，，所以．当时等号成立．当时，的最大值是.故选：D.10．已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数的图象与性质可得及，继而可得，计算可得结果.【详解】化简，在时，，该区间上有零点，故，又时单调，则，即，故故选：C二、多选题11．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图像关于点对称C．在上单调递减D．的值域为【答案】BD【分析】A选项，验证是否成立；B选项，验证是否成立，并结合函数定义域判断；C选项，利用倍角公式将函数变型，结合正切函数单调性判断；D选项，求出真数部分的范围，结合对数函数的性质判断.【详解】A选项，由于，故不是的最小正周期，故A选项错误；B选项，，即，对于函数，应有，求得，，，故函数的定义域为，结合定义域和可知的图像关于点对称，B选项正确；C选项，，时，，故，此时，根据正切函数的单调性在上递增，则由复合函数的单调性，在上递增，C选项错误；由于，，故函数，根据对数函数的性质，，D选项正确.故选：BD12．已知角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案.【详解】角的终边与单位圆交于点，，，，当时，；当时，．故选：AC.13．已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（

）A．的定义域为B．当时，取得最大值C．当时，的单调递增区间为D．当时，有且只有两个零点和【答案】BCD【分析】先利用待定系数法求出，再根据原点右侧的第二个零点为，即可判断A；求出的值即可判断B；求出当时的减区间，结合函数为偶函数即可判断C；求出当时的零点，结合函数为偶函数即可判断D.【详解】由图得，且位于增区间上，所以，又因为，所以，，则，得，所以，所以，由图可知，原点右侧的第二个零点为，所以的定义域为，故A错误；当时，，因为为最大值，则当时，取得最大值，故B正确；当时，令，则，又因为，所以当时，的减区间为，因为函数为偶函数，所以当时，的单调递增区间为，故C正确；当时，，令，得或，则或，因为函数为偶函数，所以当时，有且只有两个零点和，故D正确.故选：BCD.14．已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为πB．函数的图像关于点中心对称C．函数在定义域上单调递增D．若，则【答案】BD【分析】根据函数的最小正周期公式判断A选项，求的对称中心判断B选项，特殊值法判断C选项，求函数值域判断D选项.【详解】的最小正周期为,A选项错误;的对称中心，令,,对称中心为，当是对称中心,B选项正确;,函数在定义域上不是单调递增,C选项错误;当,则,可得,D选项正确;.故选：BD.15．已知，则下列说法正确的是（

）A．是周期函数 B．有对称轴C．有对称中心 D．在上单调递增【答案】ACD【分析】根据周期函数的定义判断判断A，证明，由此判断C，利用导数判断函数的单调性，判断D，结合单调性和周期的性质作出函数在上的图象，由此判断B.【详解】因为，所以，所以函数为周期函数，A正确；因为所以，所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，所以为函数的中心对称，C正确；当时，，因为，所以，所以函数在上单调递增，D正确；由可得，当时，由，可得，函数在上单调递增，当，由，可得，函数在上单调递增，又，，作出函数在的大致图象可得：结合函数是一个周期为的函数可得函数没有对称轴，B错误.故选：ACD.三、填空题16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，则的最小值为_____________.【答案】8【分析】先由正弦定理，结合，得到，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】解：因为，由正弦定理得，因为，所以，即，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为8.故答案为：817．已知为锐角，，，则______【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解即可.【详解】因为为锐角，且，所以所以联立，解得，，，故答案为:.18．函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为，．，若，则的值可以是__________．（写出符合条件的一个值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】先计算出最小正周期，从而求出，整体法求出零点，得到答案.【详解】由题意得，，∵，∴，，令，即，，对取特殊值即可，取，得；取，得（答案不唯一）．故答案为：19．已知，则的值为______________．【答案】/0.5【分析】根据和差公式的逆用得，采用换元法令，则，即，结合诱导公式与二倍角公式即可得答案.【详解】已知，则，所以，令，则，即，所以.故答案为：.20．若，，则______.【答案】【分析】运用诱导公式化简后构造函数，研究其奇偶性，运用导数研究其单调性，依据奇偶性及单调性解方程即可.【详解】由，得，，即，.设，定义域为,则所以是上的奇函数，又因为，所以是上的单调增函数.又因为，，所以，所以，即，所以.故答案为：.四、解答题21．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两角和的正切公式和诱导公式即可求解，（2）根据三角函数的性质即可求解.【详解】（1），又,所以,由于为三角形的内角，所以,（2）由于，所以,故,由于为锐角三角形，所以且，故，则，故，故的取值范围为22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)若，求的值；(2)在下列条件中选择一个，判断是否存在，如果存在，求的最小值；如果不存在，说明理由.①的面积；②；③.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）在中用正弦定理将边转化为角化简，再根据同角的平方关系，结合角的范围即可得出结果；（2）选①，根据面积公式结合题中等式可建立关于的等式，根据等式求出的最小值以及最小值时的边和角即可判断是否存在；选②，将带入题中等式可建立关于的等式，进而求得的最小值以及最小值时的边和角即可判断是否存在；选③，根据可知为直角三角形且，互余，结合正弦定理代入题中等式进行化简可得，显然不成立，可得结果.【详解】（1）解：因为，在中由正弦定理可得，代入可得：，又，所以或，又因为，所以，故；（2）选①，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以当，即时，，，此时，，，所以存在.选②，因为，，所以.所以，因为，所以，所以当，即时，，，此时，，，所以存在.选③，因为C为直角，所以A，B互余，且，由，在中由正弦定理代入可得：，化简可知，等式矛盾，故这样的不存在.23．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且.(1)若角，求角；(2)若，求的最大值【答案】(1)(2)最大值为【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解.【详解】（1）由题意知.所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，由角，所以.（2）由（1）知，所以，，因为，所以，由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以，因为为锐角三角形，且，则有，得，所以，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值，所以的最大值为.24．在△ABC中，D为边BC上一点，，，．(1)求；(2)若，求内切圆的半径．【答案】(1)(2)2【分析】（1）设，在利用余弦定理结合已知条件即可求解；（2）结合（1）的结论得到，然后在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面积相等即可求解.【详解】（1）设，∴，，在中，由正弦定理可得，在中，，又，所以，∴，∴，∴．（2）∵，∴，又易知为锐角，∴，∴，，∵，∴，∴中，，又，在中，由余弦定理可得，∴．设的内切圆半径为r，则，则.25．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．(1)求角C；(2)若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，即可求出角C；（2）由余弦定理结合均值不等式可得，可求出当的面积最大值时，再由余弦定理即可求出CD的长.【详解】（1）依题意，，由正弦定理可得，∴，所以，则，因为，化简得．∵，∴．（2）由余弦定理得，∴，∴，当且仅当时，等号成立．此时．若的面积取到最大，则，为等边三角形，∴，由余弦定理得，∴．26．已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，．(1)若BC边上的高等于，求；(2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得（用表示），然后利用余弦定理求得.（2）先求得，利用向量法求以及基本不等式求得长度的最小值.【详解】（1）过作，垂足为，则，，，在三角形中，由余弦定理得.（2），，两边平方得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.27．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求面积的最大值；(2)若，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由同角的三角函数关系可得，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式计算即可求解；（2）根据题意，由余弦定理可得，解得，即可求解.【详解】（1）因为，，所以，，当且仅当时，等号成立，则．故，即面积的最大值为．（2）由余弦定理，，，得，即．由，得，整理得，分解得，解得，故的周长为．28．中，角的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为.(1)求角A的大小；(2)求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)选择条件见解析，(2)【分析】（1）选①②时，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得答案；选③时，龙三角形面积公式结合余弦定理即可求得答案；（2）方法一：利用三角恒等变换化简为只含有一个三角函数的形式，结合正弦函数性质，即可得答案；方法二：利用余弦定理可得，再由正弦定理边化角，可得，结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）选择①由正弦定理可得，，因为，所以，即，因为，所以，所以，所以，即；选择②，则，由正弦定理得，因为，所以，即，因为，所以，所以，即；选择③由，可得，即，所以，由于，故.（2）方法一：因为，所以，所以，所以，即的取值范围为方法二：由余弦定理，，再由正弦定理，，因为，所以，即，当且仅当时“=”成立.又因为，，所以，即的取值范围为.29．已知的内角，，的对边分别为，，，若.(1)求的值；(2)若的面积为，求周长的最大值.【答案】(1)(2)12【分析】（1）法一：设，，由正弦定理得到，利用积化和差公式得到，求出答案；法二：设，，由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，求出答案；（2）由面积公式得到，由正弦定理结合三角恒等变换得到，结合的范围，求出最值.【详解】（1）法一：设，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化简得，又在中有：，即，∵，即，所以，所以.法二：设，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化简得，又在中有：，即，∵，即，所以，所以.（2）在中有，，即，由正弦定理得：，故，，，因在中，，，，所以，当时，等号成立，周长取得最大值12.30．在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化简已知条件，由此求得.（2）正弦定理求得，根据余弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.【详解】（1）依题意，，由余弦定理得，则，由正弦定理得，由于，则,所以为锐角，则.（2）由正弦定理得，，由余弦定理得①，由两边平方得，代入①得，即，解得（负根舍去），所以.31．在中，角，，的对边分别为，，．点D为BC边的中点，已知，，．(1)求b；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，边角互化后，再结合余弦定理，即可求解；（2）由条件可知，，再结合向量数量积公式，求，再根据三角形面积公式，即可求解.【详解】（1）因为,由正弦定理得，由余弦定理得，所以，又因为，所以；（2）因为，所以，即，因为，所以，化简得，解得：或（舍去），因为，所以,所以.32．平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值．【答案】(1)为定值，定值为1(2)14【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；法二：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；（2）由面积公式可得，令转化为二次函数配方求最值即可．【详解】（1）法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以当长度变化时，为定值，定值为1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化简得，即，所以当长度变化时，为定值，定值为1；（2），令，所以，所以，即时，有最大值为14．33．已知分别为三个内角