2025高考数学专项复习上册含答案

2025高考数学专项复习第一节集合课标解读考向预测1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合.2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义.3.理解集合之间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集.4.能使用Venn图表达集合之间的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.集合是高考必考内容，重点考查集合的基本运算，以小题形式出现，常联系不等式的解集，试题难度较低.2025年备考仍以小题为主训练，在注重集合概念的基础上，牢固掌握集合的基本关系与运算，适当加强与函数、不等式等知识的联系，借助数轴和Venn图等工具解决相关问题.必备知识——强基础1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：eq\x(\s\up1(01))确定性、eq\x(\s\up1(02))互异性、eq\x(\s\up1(03))无序性．(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作aeq\x(\s\up1(04))∈A；若b不属于集合A，记作beq\x(\s\up1(05))∉A.(3)集合的三种表示方法：eq\x(\s\up1(06))列举法、eq\x(\s\up1(07))描述法、图示法．(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法eq\x(\s\up1(08))Neq\x(\s\up1(09))N*或N＋eq\x(\s\up1(10))Zeq\x(\s\up1(11))Qeq\x(\s\up1(12))R(5)集合的分类：有限集和无限集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中eq\x(\s\up1(13))任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作Aeq\x(\s\up1(14))⊆B(或Beq\x(\s\up1(15))⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但eq\x(\s\up1(16))存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作Aeq\x(\s\up1(17))B(或Beq\x(\s\up1(18))A)．(3)相等：若A⊆B，且Beq\x(\s\up1(19))⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝eq\x(\s\up1(20)){x|x∈A，或x∈B}交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合A∩B＝eq\x(\s\up1(21)){x|x∈A，且x∈B}补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝eq\x(\s\up1(22)){x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.1．空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．5．集合元素个数公式：若用card表示有限集中元素的个数，则card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)eq\f(1,3)∈Q.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.()答案(1)√(2)×(3)√2．小题热身(1)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子正确的是()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅答案C(2)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．3 B．4C．8 D．7答案D(3)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{－2，1，2} B．{－1，4，6}C．{3，5} D．{－2，－1，1，2，3，4，6}答案A解析由图可知阴影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，2}，故阴影部分表示的集合是{－2，1，2}．故选A.(4)(人教A必修第一册习题1.3T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________．答案{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或7≤x＜10}考点探究——提素养考点一集合的基本概念例1(1)(2024·河南漯河高三摸底)下列四个命题正确的是()A．10以内的素数集合是{1，3，5，7}B．0与{0}表示同一个集合C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}D．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}答案D解析10以内的素数有2，3，5，7，A错误；0是集合{0}中的一个元素，B错误；由集合中元素的互异性可知，C错误；由集合中元素的无序性可知，D正确．故选D.(2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________．答案0或1解析①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}；②当2a－1＝－3时，a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，舍去；③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2，1，－3}．综上，a＝0或1.【通性通法】与集合中元素有关问题的三个关键点【巩固迁移】1．已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2∉A，则实数a的取值范围是()A．{a|a≤4} B．{a|a≥4}C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4}答案C解析由题意可得22＋a≤0，解得a≤－4.故选C.2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4答案A解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素．故选A.3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则a2024＋b2024＝________．答案2解析由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，所以a＋b＝0，则eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b2024＝1＋1＝2.考点二集合间的基本关系例2(1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝()A．2 B．1C．eq\f(2,3) D．－1答案B解析因为A⊆B，所以a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝2或a＝1.若a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B.(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案(－∞，3]解析∵B⊆A，∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠∅，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.综上，实数m的取值范围为(－∞，3]．【通性通法】1．判断集合间关系的三种方法列举法根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况，否则易造成漏解．【巩固迁移】4．设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是()A．M＝P B．P∈MC．MP D．PM答案D解析因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以PM.5．(2024·湖南湘潭模拟)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案[－2，2)解析若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此时B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．考点三集合的基本运算(多考向探究)考向1集合间的交、并、补运算例3(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2答案C解析因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C.(2)(2024·山东潍坊高三上学期月考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|ex<1}，则A∪B＝()A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．(－2，0) D．(－1，2)答案B解析由题意，A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|ex<1}＝{x|x<0}，所以A∪B＝(－∞，2)．故选B.(3)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝()A．∁U(M∪N) B．N∪∁UMC．∁U(M∩N) D．M∪∁UN答案A解析由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪∁UM＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，C错误；∁UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪∁UN＝{x|x<1或x≥2}，D错误．故选A.【通性通法】解决集合运算问题的三个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解【巩固迁移】6．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝()A．{1，3} B．{0，3}C．{－2，1} D．{－2，0}答案D解析由题意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以∁U(A∪B)＝{－2，0}．故选D.7．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝()A．{x|0≤x<2} B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16} D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案D解析因为M＝{x|eq\r(x)＜4}＝{x|0≤x＜16}，N＝{x|3x≥1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3)))))，所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x＜16)))).故选D.8.用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰·韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“Venn图”．则图中的阴影部分表示的集合为()A．A∩B∩C B．(∁UA)∩B∩CC．A∩(∁UB)∩C D．A∩B∩(∁UC)答案D解析由图可知，阴影部分在集合A，B的公共部分，且不在集合C中，故图中的阴影部分表示的集合为A∩B∩(∁UC)．故选D.考向2利用集合的运算求参数例4(2024·江苏无锡天一中学高三模拟)已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1，2}，则实数a的取值范围是()A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)答案C解析由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得∁RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因为A∩(∁RB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0，3]．故选C.【通性通法】利用集合的运算求参数的方法注意：确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“＝”，另外千万不要忘记考虑空集．【巩固迁移】9．(2023·河北衡水中学高三一模)已知集合M＝{x|x≤m}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(x2－3x－4)))))).若M∪N＝R，则实数m的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．[4，＋∞)C．(－∞，－1] D．(－∞，4]答案B解析由x2－3x－4>0，得x<－1或x>4，即N＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，因为M∪N＝R，M＝(－∞，m]，所以m≥4，即实数m的取值范围为[4，＋∞)．故选B.10．已知集合A＝{x|x2＋x－6>0}，B＝{x|2a－1<x<a＋2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，－1)∪(0，3)解析由题意可得集合A＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，因为A∩B≠∅，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1<－3，,2a－1<a＋2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2>2，,2a－1<a＋2，))解得a<－1或0<a<3，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，3)．考向3集合语言与思想的运用例5某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．答案8解析设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图，由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．【通性通法】(1)运用集合语言及思想解决实际问题时，注意Venn图的应用，它是解决集合交、并、补运算的有力工具，先利用Venn图表示交、并、补的区域，如果在集合外，那么与集合的补集运算有关，如果在公共部分，那么与集合的交集运算有关．(2)注意公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的合理运用．【巩固迁移】11．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例是()A．62% B．56%C．46% D．42%答案C解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.课时作业一、单项选择题1．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅答案A解析因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以eq\a\vs4\al(∁)U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝()A．{－1，2} B．{1，2}C．{1，4} D．{－1，4}答案B解析B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1，2}．故选B.3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案A解析∵M＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝eq\r(x)}，则A∩B的真子集个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝\r(x)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴A∩B＝{(0，0)，(1，1)}，即A∩B有2个元素，∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.故选C.5．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)答案A解析因为A＝{x|x2－2x>0}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝R，所以a<0.故选A.6．(2024·湖南益阳高三上学期月考)已知A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，M＝A∩B.则M中元素的个数是()A．0 B．1C．2 D．4答案C解析因为A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，所以集合A是直线x＋y＝0上的点的集合，集合B是椭圆x2＋2y2＝1上的点的集合．因为M＝A∩B，所以若要求M中元素的个数，只需联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x2＋2y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)，,y＝－\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),3)，,y＝\f(\r(3),3)，))即椭圆和直线有两个交点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以M中元素的个数是2.故选C.7．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”2个等级，结果如下表：等级项目优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为()A．5 B．10C．15 D．20答案C解析用集合A表示除草“优秀”的学生，B表示植树“优秀”的学生，全班学生用全集U表示，则∁UA表示除草“合格”的学生，∁UB表示植树“合格”的学生，作出Venn图，如图．设两个项目都“优秀”的人数为x，两个项目都“合格”的人数为y，由图可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，x＝y＋5，因为ymax＝10，所以xmax＝10＋5＝15.故选C.8．已知集合P∪(∁RQ)＝(－2，＋∞)，P∩Q＝(－2，1)，则Q＝()A．(－2，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，－2] D．[1，＋∞)答案B解析根据右面的Venn图，Ⅰ区表示P∩(∁RQ)，Ⅱ区表示P∩Q，Ⅲ区表示Q∩(∁RP)，Ⅳ区表示∁R(P∪Q)，则集合P∪(∁RQ)对应于Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅳ区的并集，所以Ⅲ区对应(－∞，－2]，从而Q对应Ⅱ区、Ⅲ区的并集，故Q＝(－∞，1)．故选B.二、多项选择题9．已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝∅，则()A．A⊆∁RB B．∁RA⊆BC．A∪B＝R D．(∁RA)∪(∁RB)＝R答案AD解析如图，根据Venn图可得A⊆∁RB，故A正确；由于B⊆∁RA，故B错误；A∪B⊆R，故C错误；(∁RA)∪(∁RB)＝∁R(A∩B)＝R，故D正确．故选AD.10．(2024·河北保定部分高中高三上学期月考)已知Z(A)表示集合A的整数元素的个数，若集合M＝{x|x2－9x<10}，N＝{x|lg(x－1)<1}，则()A．Z(M)＝9B．M∪N＝{x|－1<x<11}C．Z(N)＝9D．(∁RM)∩N＝{x|10<x<11}答案BC解析因为M＝{x|－1<x<10}，N＝{x|1<x<11}，所以Z(M)＝10，Z(N)＝9，M∪N＝{x|－1<x<11}，(∁RM)∩N＝{x|10≤x<11}．故选BC.11．若集合A＝{x|sin2x＝1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))，则下列结论正确的是()A．A∪B＝B B．∁RB⊆∁RAC．A∩B＝∅ D．∁RA⊆∁RB答案AB解析因为A＝{x|sin2x＝1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，显然集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，所以A⊆B，则A∪B＝B，所以A正确；∁RB⊆∁RA，所以B正确，D错误；A∩B＝A，所以C错误．故选AB.三、填空题12．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,x－1)∈N，x∈A))))，则集合B的子集的个数是__________．答案8解析由eq\f(6,x－1)∈N，得x－1＝6，x－1＝3，x－1＝2，x－1＝1，且x∈A，故B＝{2，3，4}，则集合B的子集的个数为23＝8.13．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝________．答案{－5，－2，4}解析∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2，4}；若m－3＝－2，则m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)．综上，A∪B＝{－5，－2，4}．14．(2024·九省联考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．答案5解析由A∩B＝A，得A⊆B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4≤m＋3，,－2≥－m＋3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥1，,m≥5，))即m≥5，故m的最小值为5.15．(2024·河南郑州四中第二次调研考试)某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记A＝{x|x是听了数学讲座的学生}，B＝{x|x是听了历史讲座的学生}，C＝{x|x是听了音乐讲座的学生}．用card(M)来表示有限集合M中元素的个数，若card(A∩B)＝17，card(A∩C)＝12，card(B∩C)＝9，A∩B∩C＝∅，则()A．card(A∪B)＝143B．card(A∪B∪C)＝166C．card(B∪C)＝129D．card(A∩B∩C)＝38答案B解析将已知条件用Venn图表示出来如图，对于A，card(A∪B)＝46＋42＋17＋12＋9＝126，故A错误；对于B，card(A∪B∪C)＝46＋42＋40＋17＋12＋9＝166，故B正确；对于C，card(B∪C)＝42＋40＋17＋12＋9＝120，故C错误；对于D，card(A∩B∩C)＝0，故D错误．故选B.16．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝{(x，y)||x|＋|y|≤a}，A⊆B，则实数a的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．[1，＋∞)C．[eq\r(2)，＋∞) D．[2，＋∞)答案C解析集合A为圆x2＋y2＝1内部和圆周上的点集，集合B为直线x＋y＝a，x－y＝a，－x＋y＝a，x＋y＝－a围成的正方形内部和边上的点集，画出图象，如图所示．当直线EF与圆O相切时，设切点为C，连接OC.∵△EOF为等腰直角三角形，OE＝OF，∠EOF＝90°，OC⊥EF，∴OC为Rt△EOF斜边上的中线，∴OC＝eq\f(1,2)EF，即EF＝2OC＝2，∴OE＝OF＝eq\f(\r(2),2)EF＝eq\r(2)，此时a＝eq\r(2).∵A⊆B，即圆O在正方形内，∴a≥eq\r(2).17．(多选)(2024·华南师范大学附属中学高三月考)已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M；③若x∈M且x≠0，则eq\f(1,x)∈M.下列结论中正确的是()A．eq\f(1,3)∈MB．－1∉MC．若x，y∈M，则x＋y∈MD．若x，y∈M，则xy∈M答案ACD解析对于A，B，由①②，得0－1＝－1∈M，1－(－1)＝2∈M，2－(－1)＝3∈M，由③，得eq\f(1,3)∈M，故A正确，B错误；对于C，由①，知0∈M，∵y∈M，∴0－y＝－y∈M，∵x∈M，∴x－(－y)∈M，即x＋y∈M，故C正确；对于D，∵x，1∈M，则x－1∈M，由③，得eq\f(1,x)∈M，eq\f(1,x－1)∈M，∴eq\f(1,x)－eq\f(1,x－1)∈M，即eq\f(1,x(1－x))∈M，∴x(1－x)∈M，即x－x2∈M，∴x2∈M，同理y2∈M.由选项C可知，当x，y∈M时，x＋y∈M，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,x)＝eq\f(2,x)∈M，∴eq\f(x,2)∈M，∴eq\f(x2,2)∈M，同理eq\f(y2,2)∈M，∴当x，y∈M时，eq\f((x＋y)2,2)，eq\f(x2＋y2,2)∈M，∴eq\f((x＋y)2,2)－eq\f(x2＋y2,2)＝xy∈M，故D正确．故选ACD.18．(多选)(2024·浙江杭州第二中学高三月考)已知集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且仅有两个子集，则下列四个结论中正确的是()A．a2－b2≤4B．a2＋eq\f(1,b)≥4C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4答案ABD解析因为集合{x|x2＋ax＋b＝0，a>0}有且仅有两个子集，所以Δ＝a2－4b＝0，a2＝4b，又a>0，所以b>0.对于A，因为a2－b2＝4b－b2＝－(b－2)2＋4≤4，当b＝2，a＝2eq\r(2)时等号成立，故A正确；对于B，a2＋eq\f(1,b)＝4b＋eq\f(1,b)≥2eq\r(4b·\f(1,b))＝4，当且仅当4b＝eq\f(1,b)，b＝eq\f(1,2)，a＝eq\r(2)时等号成立，故B正确；对于C，不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2＝－b<0，故C错误；对于D，不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，即不等式x2＋ax＋b－c<0的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c，则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝4c＝16，则c＝4，故D正确．故选ABD.19．(2024·湖北高中名校联合体高三诊断性考试)已知集合U＝{1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B＝∅，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)，那么f(n)＝________．答案eq\f(1,2)(3n－2n＋1＋1)解析根据题意，任意一个元素只能在集合A，B，C＝∁U(A∪B)之一中，则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种．其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n，故可得A，B均为非空子集的种数为3n－2n＋1＋1，又因为(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”，故f(n)＝eq\f(1,2)(3n－2n＋1＋1)．

第二节常用逻辑用语课标解读考向预测1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词与存在量词的意义；能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定.新高考对常用逻辑用语直接考查的频率比较低，一般与其他知识交汇考查，难度为中等偏易.2025年备考仍以选择题为主训练，主要涉及与函数、数列、三角的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系的判定等相关知识结合考查.必备知识——强基础1．充分条件、必要条件与充要条件的概念p与q的关系结论p⇒qp是q的eq\x(\s\up1(01))充分条件，q是p的eq\x(\s\up1(02))必要条件p⇒q且qpp是q的eq\x(\s\up1(03))充分不必要条件pq且q⇒pp是q的eq\x(\s\up1(04))必要不充分条件p⇔qp是q的eq\x(\s\up1(05))充要条件pq且qpp是q的eq\x(\s\up1(06))既不充分也不必要条件2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的eq\x(\s\up1(07))充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的eq\x(\s\up1(08))必要条件；(3)若A＝B，则p是q的eq\x(\s\up1(09))充要条件；(4)若AB，则p是q的eq\x(\s\up1(10))充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的eq\x(\s\up1(11))必要不充分条件．3．全称量词命题与存在量词命题及其否定名称形式全称量词命题存在量词命题结构对M中eq\x(\s\up1(12))任意一个x，p(x)成立eq\x(\s\up1(13))存在M中的元素x，p(x)成立简记eq\x(\s\up1(14))∀x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(15))∃x∈M，p(x)否定eq\x(\s\up1(16))∃x∈M，¬p(x)eq\x(\s\up1(17))∀x∈M，¬p(x)1．在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围．2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.()(3)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，¬p(x)”的真假性相反．()答案(1)√(2)√(3)√2．小题热身(1)(2024·四川绵阳南山中学模拟)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)答案必要不充分解析若α＝eq\f(π,6)，β＝eq\f(5π,6)，则满足sinα＝sinβ，而不满足α＝β；当α＝β时，sinα＝sinβ一定成立，所以“sinα＝sinβ”是“α＝β”的必要不充分条件．(2)已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由已知可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.(3)(人教A必修第一册习题1.5T6改编)已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则实数λ的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析因为“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，所以“∃x＞1，使2x＋1≤λ”是真命题．因为当x＞1时，2x＋1＞3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞)．(4)设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均为真命题，则实数m的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，4))解析若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，＋∞)).又p，q均为真命题，所以实数m的取值范围为{m|m≤4}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m>\f(3,5)))))＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，4)).考点探究——提素养考点一充分条件、必要条件的判断例1(1)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案B解析当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B.(2)(2023·河北石家庄模拟)已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若a＝b＝c，则a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋bc＋ac＝3a2，即a＝b＝c⇒a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，满足充分性；若a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，则2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac，所以a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，则a＝b＝c，满足必要性．故选C.(3)(多选)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是()A．xc2>yc2 B．eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0C．|x|>|y| D．lnx>lny答案ABD解析对于A，若xc2>yc2，则c2≠0，则x>y，反之x>y，当c＝0时得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件，故A符合题意．对于B，由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0可得y<x<0，即能推出x>y，但x>y不能推出eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0(因为x，y的正负不确定)，所以“eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0”是“x>y”的充分不必要条件，故B符合题意．对于C，由|x|>|y|可得x2>y2，则(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C不符合题意．对于D，若lnx>lny，则x>y>0，反之x>y得不出lnx>lny，所以“lnx>lny”是“x>y”的充分不必要条件，故D符合题意．【通性通法】充分、必要条件的两种常用判断方法【巩固迁移】1．(2023·北京高考)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C.2．(多选)(2023·广东广州华南师大附中模拟)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ＋\f(π,6)))为偶函数的一个充分条件是()A．φ＝－eq\f(5π,6) B．φ＝－eq\f(2π,3)C．φ＝eq\f(π,6) D．φ＝eq\f(π,3)答案BD解析由题意得φ＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得φ＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，令k＝－1，则φ＝－eq\f(2π,3)；令k＝0，则φ＝eq\f(π,3).故选BD.考点二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．(1)若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________；(2)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．答案(1)(0，3](2)[9，＋∞)解析(1)因为p是q的必要不充分条件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3，又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3]．(2)因为p是q的充分不必要条件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，即实数m的取值范围为[9，＋∞)．【通性通法】由充分、必要条件求参数范围的策略巧用转化求参数把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形端点值慎取舍在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍注意：考虑空集的情况．【巩固迁移】3．(2023·福建福州四校联考)已知p：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,1－x)≤0))))，q：B＝{x|x－a<0}，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]答案D解析由题意得A＝{x|(x－2)(x－1)≥0且x≠1}＝{x|x≥2或x<1}，B＝{x|x<a}，∵p是q的必要不充分条件，∴BA，∴a≤1.故选D.考点三含有量词的命题的否定及真假判断例3(1)设命题p：平行四边形对角线相等，则¬p为()A．平行四边形对角线不相等B．有的平行四边形对角线相等C．有的平行四边形对角线不相等D．不是平行四边形对角线就不相等答案C解析因为命题p为省略了全称量词“所有”的全称量词命题，所以¬p：有的平行四边形对角线不相等．故选C.(2)(2024·湖北百校高三联考)设命题p：∃x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)＝18；命题q：每个三角形都有内切圆，则()A．命题p的否定：∀x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)＝18B．命题p是真命题C．命题q的否定：存在一个三角形没有内切圆D．命题q是假命题答案C解析命题p的否定应为“∀x∈(0，4)，2x＋eq\r(x)≠18”，所以A错误；因为f(x)＝2x＋eq\r(x)在x∈(0，4)上单调递增，所以f(x)<f(4)＝18，所以当x∈(0，4)时，2x＋eq\r(x)<18，所以命题p为假命题，所以B错误；命题q的否定为“存在一个三角形没有内切圆”，所以C正确；任何三角形都有内切圆，所以命题q为真命题，所以D错误．故选C.【通性通法】1．含有量词命题的否定与不含量词命题的否定含有量词命题的否定与不含量词命题的否定有一定的区别，含有量词命题的否定是将全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而不含量词命题的否定需先将量词加上再按照含有量词命题的否定解答即可．2．含有量词命题真假判断的策略判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．【巩固迁移】4．(多选)(2024·河北沧州部分学校高三联考)命题p：∃x∈(0，2)，x3>x6；命题q：每个大于2的素数都是奇数．关于这两个命题，下列判断正确的是()A．p是真命题B．¬p：∀x∈(0，2)，x3<x6C．q是真命题D．¬q：存在一个大于2的素数不是奇数答案ACD解析若x＝eq\f(1,2)，则x3>x6，所以p是真命题，A正确；¬p：∀x∈(0，2)，x3≤x6，B错误；每个大于2的素数都是奇数，q是真命题，C正确；¬q：存在一个大于2的素数不是奇数，D正确．故选ACD.5．(2024·湖北部分学校高三联考)已知p：∃m∈{m|－2<m<3}，使关于x的方程2x2－m＝0有解，则¬p：________．答案∀m∈{m|－2<m<3}，使关于x的方程2x2－m＝0无解解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题，可得¬p：∀m∈{m|－2<m<3}，使关于x的方程2x2－m＝0无解．考点四根据命题的真假求参数的取值范围例4(1)已知p：∀x∈[3，4)，x2－a≥0，则p成立的一个充分不必要条件可以是()A．a<9 B．a>9C．a<16 D．a>16答案A解析若p为真命题，则a≤x2在区间[3，4)上恒成立，所以a≤9，所以p成立的一个充分不必要条件可以是a<9.故选A.(2)(2024·山东聊城一中高三期中)若命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________．答案(－2，1)解析因为命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，所以命题“∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”是真命题，所以Δ＝4a2－4(2－a)<0，即a2＋a－2<0，所以－2<a<1.【通性通法】由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成¬p的真假求参数的范围．【巩固迁移】6．若命题“∀x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是()A．[－4，－3] B．(－∞，－4)C．[－4，＋∞) D．[－4，0]答案D解析若“∀x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则“∃x∈[1，4]，x2－4x－m＝0”是真命题，即m＝x2－4x，设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因为y＝x2－4x在[1，2)上单调递减，在(2，4]上单调递增，所以当x＝2时，ymin＝－4；当x＝4时，ymax＝0，故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤0.7．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析因为p为假命题，所以命题p的否定：∀x>0，x＋a－1≠0是真命题，所以x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1.课时作业一、单项选择题1．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析解法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.解法二：因为a2＝b2⇔a＝－b或a＝b，a2＋b2＝2ab⇔a＝b，所以本题可以转化为判断a＝－b或a＝b与a＝b的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.2．(2024·浙江名校协作体高三上学期开学考试)设命题p：∀n∈N，n2<3n＋4，则p的否定为()A．∀n∈N，n2>3n＋4B．∀n∈N，n2≤3n＋4C．∃n∈N，n2≥3n＋4D．∃n∈N，n2>3n＋4答案C解析因为命题p：∀n∈N，n2<3n＋4，所以p的否定为∃n∈N，n2≥3n＋4.故选C.3．下列各项中是“四边形是矩形”的充分条件的是()A．四边形的对角线相等B．四边形的两组对边分别相等C．四边形有两个内角都为直角D．四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补答案D解析对于A，四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A不符合题意；对于B，四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B不符合题意；对于C，四边形有三个内角为直角才是矩形，故C不符合题意；对于D，四边形的两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180°，故相邻两角均为直角，故该平行四边形是矩形，故D符合题意．故选D.4．(2024·福建百校高三上学期第一次联考)命题“∃x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”的否定是()A．∀x∈Q，eq\r(x2＋1)∉QB．∀x∉Q，eq\r(x2＋1)∈QC．∃x∈Q，eq\r(x2＋1)∉QD．∀x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q答案A解析因为命题“∃x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”为存在量词命题，所以命题“∃x∈Q，eq\r(x2＋1)∈Q”的否定是“∀x∈Q，eq\r(x2＋1)∉Q”．故选A.5．(2023·湖南邵阳高三二模)已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是()A．(－∞，3] B．(2，3]C．∅ D．[2，3]答案B解析因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以BA，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1<5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1>－2，,2m－1≤5，))则2<m≤3，即m的取值范围是(2，3]．故选B.6．(2024·湖南长郡中学高三月考)若命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，则a的取值范围是()A．(－4，0] B．[－4，0)C．[－3，0] D．[－4，0]答案A解析命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，即命题¬p：“∀x∈R，ax2＋2ax－4<0”为真命题．当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.综上可知，－4<a≤0.故选A.7．命题“∀1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是()A．a≥1 B．a≥3C．a≥2 D．a≤4答案A解析因为命题“∀1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命题，所以a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))eq\s\do7(max)＝2，则一个必要不充分条件是a≥1.故选A.8．(2023·山东济南模拟)若“∃x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则k的取值范围为()A．(－∞，－2] B．(－∞，2]C．(－∞，－2) D．(－∞，2)答案A解析由题意，知“∃x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则“∀x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”为真命题，所以2sinxcosx≥ksinx，则k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范围为(－∞，－2]．故选A.二、多项选择题9．(2024·安徽六安实验中学高三上学期质量检测)下列命题正确的是()A．命题“∃x∈R，y＞1”的否定是“∀x∈R，y≤1”B．“至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题C．“∃x∈R，x－2>eq\r(x)”是真命题D．“∀x∈R，x2>0”的否定是真命题答案ACD解析对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x∈R，y＞1”的否定是“∀x∈R，y≤1”，故A正确；对于B，“至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故B错误；对于C，当x＝9时，9－2＝7>eq\r(9)＝3，所以“∃x∈R，x－2>eq\r(x)”是真命题，故C正确；对于D，因为当x＝0时，x2＝0，所以“∀x∈R，x2>0”是假命题，其否定是真命题，故D正确．故选ACD.10．(2024·广东东莞东华高级中学高三模拟)若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是()A．{x|x<－5} B．{x|－3<x<－1}C．{x|x>3} D．{x|0≤x≤3}答案AB解析因为“∃x∈M，x>3”为假命题，所以“∀x∈M，x≤3”为真命题，可得M⊆{x|x≤3}，又“∀x∈M，|x|>x”为真命题，可得M⊆{x|x<0}，所以M⊆{x|x<0}．故选AB.11．(2024·江苏南京师范大学附属中学高三模拟)设a，b，c都是实数，则下列说法正确的是()A．“ac2>bc2”是“a>b”的充要条件B．“lna>lnb”是“a2>b2”的充分不必要条件C．△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，则“sinA>sinB”是“a>b”的充要条件D．“tanθ＝eq\f(\r(3),3)”是“sin2θ＝eq\f(\r(3),2)”的必要不充分条件答案BC解析对于A，由ac2>bc2可得a>b，当c＝0时，由a>b，得ac2＝bc2，所以“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件，故A错误；对于B，因为lna>lnb，所以a>b>0，则a2>b2，由a2>b2，得|a|>|b|，若a>0>b，则lnb无意义，即推不出lna>lnb，所以“lna>lnb”是“a2>b2”的充分不必要条件，故B正确；对于C，根据正弦定理，得sinA>sinB⇔eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)⇔a>b，所以“sinA>sinB”是“a>b”的充要条件，故C正确；对于D，由tanθ＝eq\f(\r(3),3)，得θ＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)，故sin2θ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ))＝eq\f(\r(3),2)，由sin2θ＝eq\f(\r(3),2)，得2θ＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)或2θ＝eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，即θ＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)或θ＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，故tanθ＝eq\f(\r(3),3)或eq\r(3)，所以“tanθ＝eq\f(\r(3),3)”是“sin2θ＝eq\f(\r(3),2)”的充分不必要条件，故D错误．故选BC.三、填空题12．(2023·山东潍坊高三二模)若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一个充分条件，则α的一个可能值是________．答案eq\f(π,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(只需满足α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)即可))解析由sinx＋cosx>1，得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>eq\f(\r(2),2)，所以2kπ＋eq\f(π,4)<x＋eq\f(π,4)<2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，解得2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，因为“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一个充分条件，所以α的一个可能值为eq\f(π,4).13．(2024·福建厦门第六中学高三检测)已知命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，则实数m的取值范围为________．答案(－∞，1]解析因为命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1.故实数m的取值范围为(－∞，1]．14．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．因为f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]，所以f(x)∈[－1，3]，即函数f(x)的值域是[－1，3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，则2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq\f(1,2).故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).15．(2024·江苏扬州中学高三上学期开学考试)若“∃x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，2eq\r(2)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(9,2)))C．(－∞，3] D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞))答案C解析若“∃x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则“∀x∈[1，2]，使2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，即∀x∈[1，2]，λ≤2x＋eq\f(1,x)，令f(x)＝2x＋eq\f(1,x)，x∈[1，2]，由对勾函数的性质可知，f(x)在[1，2]上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝3，则λ≤3.故选C.16．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1＝－1，q＝2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当{Sn}是递增数列时，有an＋1＝Sn＋1－Sn＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，这样的q不存在，所以甲是乙的必要条件．故选B.17．(2024·华中师范大学第一附属中学高三期中)在△ABC中，“tanBtanC>1”是“△ABC为锐角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若△ABC为锐角三角形，则B＋C>eq\f(π,2)，即B>eq\f(π,2)－C，又0<B<eq\f(π,2)，0<C<eq\f(π,2)，则0<eq\f(π,2)－C<eq\f(π,2)，所以tanB>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C))，则tanB>eq\f(cosC,sinC)>0，所以tanBtanC>1；在△ABC中，若tanBtanC>1，则tanB>0，tanC>0，即B，C均为锐角，所以tanB>eq\f(1,tanC)，即tanB>eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C))，所以B>eq\f(π,2)－C，则B＋C>eq\f(π,2)，即A<eq\f(π,2)，所以△ABC为锐角三角形，故“tanBtanC>1”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件．故选C.18．(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案C解析解法一：甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－(n＋1)Sn,n(n＋1))＝eq\f(nan＋1－Sn,n(n＋1))为常数，设为t，即eq\f(nan＋1－Sn,n(n＋1))＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减，得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件．所以甲是乙的充要条件．故选C.解法二：甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d，则eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝d′，eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)d′，即Sn＝nS1＋n(n－1)d′，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)d′，当n≥2时，以上两式相减，得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)d′，于是an＝a1＋2(n－1)d′，当n＝1时，上式也成立，又an＋1－an＝a1＋2nd′－[a1＋2(n－1)d′]＝2d′，为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件．所以甲是乙的充要条件．故选C.19．(多选)(2023·黑龙江齐齐哈尔三模)已知0<b<a<1，下列命题中是真命题的是()A．∀x∈(0，＋∞)，ax>bxB．∀x∈(0，1)，logax>logbxC．∃x∈(0，1)，xa>xbD．∃x∈(0，b)，ax>logax答案AB解析由0<b<a<1得eq\f(a,b)>1，∀x∈(0，＋∞)，eq\f(ax,bx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(x)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(0)＝1，则ax>bx，A正确；∀x∈(0，1)，logxa－logxb＝logxeq\f(a,b)<logx1＝0，即0<logxa<logxb，则logax>logbx，B正确；函数y＝mx(0<m<1)在(0，1)上为减函数，而0<b<a<1，则ma<mb，即∀x∈(0，1)，xa<xb，C错误；当x∈(0，b)时，ax<1，logax>logab>logaa＝1，即ax<logax，D错误．故选AB.20．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若∃x1∈[