江西省萍乡市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

萍乡市2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.客观题选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.主观题用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效.3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.2.设，，是非零向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（）A.我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势B.这六年销量第60百分位数为536.5万辆C.这六年增长率最大的为2019年至2020年D.2020年销量高于这六年销量的平均值4.直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（）A. B. C. D.5.已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（）A. B. C. D.6.如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（）A B. C. D.7.在平面直角坐标系内，方程对应曲线为椭圆，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（）A. B. C. D.9.在中，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.10.已知双曲线，则（）A.的取值范围是B.时，的渐近线方程为C.的焦点坐标为D.可以是等轴双曲线11.如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（）A.是定值B.是定值C.定值D.是定值12.直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（）A.点的轨迹的长度为.B.直线与平面所成的角为定值．C.点到平面距离的最小值为.D.的最小值为-2．第II卷注意事项：第II卷共2页，需用黑色墨水签字笔在答题卡上作答，若在试题卷上作答，答题无效.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13.已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为__________.14.的展开式中的系数为______（用数字作答）.15.法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程的两个根不同幂的和时，发现了，，…，由此推算______________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.如图所示的五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后的几何体，，，D为的中点，E，F分别为，的中点.（1）判断BF和CE是否垂直，并说明理由；（2）设（），是否存在，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.17.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为，设表示不超过实数x的最大整数，的值为随机变量X.（1）求在的条件下，的概率；（2）求X的分布列及其数学期望.18.如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示.（1）求证：；（2）求异面直线与BE的距离；（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．（1）求曲线C方程；（2）设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.20.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：y=fx上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中