2021年常州市中考数学压轴题总复习

2021年江苏省常州市中考数学压轴题总复习解析版

1.在平面直角坐标系中，抛物线y=-/f+bx+c交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点，

交y轴于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，直线尸5与抛物线交于4,。两点，与直线交于点E.若M(m,

0)是线段48上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点八交直线4。于点G,

交直线BC干点、H.

①当点尸在直线AO上方的抛物线上，且SAER;=3"OEG时，求川的值；

②在平面内是否在点P,使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点尸的坐标；

若不存在,请说明理由.

解：(1)•・•抛物线产一卡+b+c交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,

；・),=一4(x+3)(%-4)=~^x24-^x+4；

(2)①如图1,,:B(4,0),C(0,4),

・••设8c的解析式为：y=H+b,

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则4b=0,解得忆J

・・・BC的解析式为：y=-x+4,

39

:.-X+4=-rX+7»

44

解得：K=l,

：.E(1,3),

,：MCm,0),且MH_Lx轴，

391rl

.*.G(m,-m+-),F(7n»--^m2+-^m+

4433

,S4EFG=qSdOEG，

151

•・QFGX(%E—k)=gX2OP(*E—%G),

1cl395Q

[(一可/+可血+4)-(-m+-)](1-m)=gx^(1—m)>

3

得

解=2=■2

4*

②存在，由①知：E(1,3),

•・•四边形EH/P是正方形，

:・FH=EF,4EFH=/FHP=/HPE=9S,

VMCm,0),且MH_Lx轴，

:・H(/n»-〃?+4),F(tn,—ni2+-^m4-4),

分两种情况：

/)当・3WmVl时，如图2,点尸在EP的左侧,

124

-m--m

33

第2页共142次

4

1m2——m=1—m,

33

解得：m\-——（舍），/〃2=―2—，

1-V137+V13

••H（.,）,

22

7+V13

:,P（1,-----）,

2

ii）当1＜加＜4时，点尸在PE的右边，如图3,

同理得P（1,-^―）；

综上，点P的坐标为：（1,左兴3）或（1,2^^,

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a?+bx+c的图象与x轴交于A（4,0）,8两点,

（I）求抛物线的函数表达式;

（2）直线y=^+l（ZW0）与y釉交于点E,与抛物线交于点P,Q（点P在y轴左侧,

点。在y轴右侧），连接CP,CQ,若△CPQ的面积为遥，求点P,。的坐标；

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(3)在(2)的条件下，连接AC交尸。于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,

将线段GK绕点G顺时针旋转90°,使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写山点

K的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)对称轴x=L则点8(-2,0),

则抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x-4)=。(？-2x-8),即-8a=2,解得：a=

故抛物线的表达式为：)=-1/++2；

(2)设直线P。交)，轴于点E(0,1),点P、。横坐标分别为加，〃，

△CP。的面积=±xCEX(〃-〃?)=遥，即〃-〃?=2百，

联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得：-今％2+$-+1=o…①，

m+n=2-4k,mn=-4,

n-m=2\fS=y/(m+n)2—4mn=J(2-4k)2+16,

解得：左=U(舍去)或1；

将攵=1代入①式并解得：x=—l士通，

故点尸、。的坐标分别为：(一1一遥，-V5).(-1+V5,V5).

(3)设点K(1,m),

o25

联立PQ和AC的表达式并解得：x=1,故点G[,-)

过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M,交过点R与y轴的平行线于点N,

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IK

贝必长欣洛人也(AAS),

215

GM=\一mo=go=NRo,MK=

44

故点R的纵坐标为：则点A(m-1,-)

33

将该坐标代入抛物线表达式解得：x=l土缪,

uQIJ33

故rm=2±

故点K(1>2±g^).

3.在平面直角坐标系xOy中，过点N(6,-1)的两条直线/”份，与x轴正半轴分别交于

M、8两点，与)，轴分别交于点。、A两点，已知。点坐标为(0,1),A在y轴负半轴，

以AN为直径画OP,与y轴的另一个交点为巴

(I)求M点坐标；

(2)如图1,若。尸经过点M.

①判断0b与x轴的位置关系，并说明理由；②求弦AP的长；

(3)如图2,若。尸与直线人的另一个交点E在线段0M上，求gNE+A产的值.

图1图2

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解：(1)设直线人的表达式为y=h+b,将点D、N的坐标代入上式得6"+匕，解

得卜=4

故直线1\的表达式为y=-1x+l,

令丁=一#+1=0,解得x=3,

故点M(3,0)；

(2)①相切，理由：

连接PM、AM,过点P作PN_OA于点N,

由点。、M、N的坐标知，点”是ON的中点，

而AN是圆的直径，故则△ANO为等腰三角形，

故4M平分ND4B,即ND4M=NN4M,

*：PM=PAt故NM4B=NAMP=ND4M,

・・・PM〃y轴，即尸M_Lx轴，

故。尸与x轴的位置关系是相切；

②由由直线人的表达式知，lanNDMO二寺，则tan/。4M=3,

故设直线4M的表达式为y=3"b,将点M的坐标代入上式得：0=3X3+。，解得b=-

9,

故点A(0,-9),

由点4、N的坐标得，AN=762+(-9+I)2=10,则圆的半径为5,

在RtZXAPN中，4尸=5,PN=OM=3,则4N=4,

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则4户=24N=8；

（3）连接AE,则4E_LMM过点尸作FG_LAE于点G,作尸H_LMN于点儿

连接W,则月V_Ly轴，则点尸（0,-1）,

图2

由直线人的表达式知，该直线颈斜角的正切值为点即tan/£）MO=*

*：ZDHO=ZDOM=90°,则NO77/=NOEO,设/。产“=NOEO=a,贝ijtana=

则sina=治

•・・4E_L£>N,FHLDN,则FH//AE,故NZME=a,

在RtZ\AFG中，FG=AFs\na=7=^^

W!1V1O^+AF=VlO(NE+^=AF)=V10(NE+EH)=V1QHN,

vio

12

在Rt△尸£>〃中，DH=DFsina=(111)-==

VlOV10

由点ON的坐标得，ND=y/62+(1+l)2=2V10,

则HN=DN-HD=2国-扁

故VTUNE+AF=屈HN=T8.

4.如图①，在△ABC中，NABC=90°,AB=4,BC=3.点P从点4出发，沿折线A8

-BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2

个单位长度的速度向点4运动，点P到达点C时，点P、及同时停止运动.当点P不与

点A、。重合时，作点?关于直线AC的对称点Q,连结PQ交AC于点E,连结OP、

DQ.设点尸的运动时间为f秒.

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(1)当点尸与点8重合时，求f的值.

(2)用含，的代数式表示线段CE的长.

(3)当△PQQ为锐角三角形时，求r的取值范围.

(4)如图②，取PO的中点M,连结QM.当直线QM与△ABC的一条直角边平行时,

直接写出，的值.

解：(1)当点尸与8重合时，51=4,解得

(2)在RtA48C中，VZB=90°,AB=4,BC=3,

：,AC=7AB2+8c2=V42+32=5,

・•A3.4

..SIFL4=F，cosA=5，

如图①中，当点P在线段A8上时，在RtZXAPE中，AE=AP*cosA=4t,

：.EC=5-4t.

图①

a

如图③中，当点P在线段BC上时,在RtZ\PEC中，PC=7-5r,cosC=

3

-251

5

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A

图③

(3)当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE=OE,

如图④中，当点P在线段43上时，

图④

在RtZXAPE中，PE=PA*sinA=3t,

*：DE=AC-AE-CD=5-4r-2t=5-6/,

•:PE=DE,

.*.3/=5-6/,

/=H-

如图⑤中，当点尸在线段BC上时，

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图⑤

AOR

在RtZXPCE中，PE=PC*s\nC=^(7-5/)=m一4/,

321

\*DE=CD-CE=2t-^(7-5f)=5/一全，

2821

・•・一-4/=57一生

55

解得t=暮

♦：4PDQ是锐角三角形，

q497

・・・观察图象可知满足条件的I的值为</<4,

V45$

(4)如图⑥中，当点P在线段AB上，QM//ABM，

延长QM交8C于M过点D作DHLBC于H.

■:PB//MN//DH,PM=DM,

:・BN=NH,

在RtZXPQG中，PQ=2PE=&,

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・・・QG=凯。=等，

在RtZXOC“中，HC=|DC=

24246

,:BC=BH+CH==^t+半什自=3,

解得t=微.

如图⑦中，当点P在线段BC上，QM〃8c时,

图⑦

过点。作OH_L8C于H,过点P作PK_LQM于K.

•:QM"BC,DM=PM,

:,DH=2PK,

o

在RlZXPQK中，尸Q=2PE=5(7-5f),

324

：.PK=^rQ=^(75力，

4o

在RtZXOC”中，DH=1DC=

,：DH=2PK,

8?4

A-r=2xg(7-5r),

解得Z=之

综上所述，满足条件的，的值为言或"

185

5.［初步尝试］

(1)如图①，在三角形纸片ABC中，NAC8=90°,将△ABCiF叠，使点B与点C重

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合，折痕为MM则AM与8M的数量关系为；

［思考说理］

(2)如图②，在三角形纸片中，AC=BC=6,AB=\O,将AABC折叠，使点8与

点C重合，折痕为MN,求二;;的值；

［拓展延伸］

(3)如图③，在三角形纸片刀?。中，AB=9,BC=6,N4CB=2/A,将5c沿过顶

点C的直线折叠，使点8落在边AC上的点"处，折痕为CM.

①求线段AC的长；

②若点。是边AC的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将AAPM沿PM折叠得到

△A'PM,点A的对应点为点A',A'M与CP交于点F,求名的取值范围.

MF

C

图①图②图③

图①

•••△ABC折叠，使点8与点。重合，折痕为MN,

・,・MN垂直平分线段3C,

:,CN=BN,

VZMNB=ZACB=90",

：.MN//AC,

,:CN=BN,

：.AM=BM.

故答案为AM=BM.

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(2)如图②中,

图②

•・・04=8=6,

・•・/A=N8,

由题意MN垂直平分线段BC,

：.ZB=ZMCB,

N8CM=N4,

°：NB=NB,

：.ABCMs4BAC,

.BCBM

"BA~-BC"

6BM

••=9

106

.AM=AB-BM=\0-=^

32

AMy16

•丽=亘=T

5

(3)①如图③中,

图③

由折叠的性质可知，CB=CB'=6,NBCM=N4CM,

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NAC8=2NA,

—BCM=NA,

：ZB=ZB,

'ABCMSABAC,

•B_C_B_M_C_M

*AB~BC~AC

•6_B_M

•­=,

96

•・BM=4,

\AM=CM=5,

.6_5_

'9-AC"

・A厂”

•AC=-2~.

②如图③-I中,

图③4

•N4=NA'=ZA/CF,ZPFA1=NMFC,PA=PA'，

・△*'s»MFC,

PFPAf

FM~CM"

•CM=5,

PFPAf

FM~S

•点P在线段08上运动，Q4=0C=竽，AB'=^-6=|

*/

3PF3

.—<---

10一FM

6.阅读材料:

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若m人都是非负实数，则肝效2病.当且仅当a=b时，"=”成立.

证明：*.*（Va—VS）2>o,.\a—2yfab+b^0.

：.a+b>2VHS.当且仅当。=b时，"=”成立.

举例应用：

已知x>0,求函数y=2x+1的最小值.

解：^=2x+|>2^2x•|=4.当且仅当2x=a,即x=l时，"=”成立.

当x=l时，函数取得最小值，小=4.

问题解决：

汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度.某种汽车在每小时70-110公里之间行驶

时（含70公里和110公里），每公里耗油（工+算）升.若该汽车以每小时x公里的

速度匀速行驶，1小时的耗油最为y升.

（I）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）.

解：（1）•・•汽车在每小时70〜110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗

,,1450.

油（:7十一7）升・

18X2

1450r460

.,.y=xX（一+——）=YQH------（70WxW110）；

>18X218x

x450

（2）根据材料得：当不=—时有最小值，

18X

解得：x=90

・,・该汽车的经济时速为90千米/小时；

1450

当x=90时百公里耗油量为10DX（一+----）%11.1升.

188100

7.如图，二次函数的图象过点A（4,-4）,B（-2,m）,交y轴于点C（0,

-4）.直线80与抛物线相交于另一点。，连接AB,A。，点七是线段AB上的一动点,

过点E作EF//BD交AD于点F.

（1）求二次函数产#+公+。的表达式；

（2）判断△ABO的形状，并说明理由；

（3）在点E的运动过程中，直线8。上存在一点G,使得四边形AFGE为矩形，请判断

此时4G与3。的数量关系，并求出点E的坐标；

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(4)点，是抛物线的顶点，在(3)的条件下，点尸是平面内使得N"F=90°的点,

在抛物线的对称轴上，是否存在点。，使得是以NPQ以为直角的等腰直角三角形,

若存在，直接写出符合条件的所有点。的坐标：若不存在，请说明理由.

.(c=-4

**(4+4d+c=-4*

解得｛屋二;，

，二次函数的解析式为产p-x-4.

(2)△人台。是直角三角形，理由:

(-2,〃?)在y—*-x-4,

：.B(-2,-1),

；・直线OB的解析式为y=3，

r1

ly=-X

2

由jx=-2（即点B）或3I4'

l1,解得

y-X2X

k=4-4y=-2

<z47\

.Dx8,

Az44\

\fzl

：.AB=V62+32=3A/5,AD=X/424-82=475,BD=V102+52=575,

：.BD1=AB2+AD2,

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・・・NB4D=90°,

是直角三角形.

(3)结论AG=；BD.

图1

•・•四边形AEGr是矩形，

:・AH=HG,EH=FH,

*：EF//BD,

.AEAH

••~~~=~=I,

EBGH

：.AE=BE,

•»E(1,-2),

EHAHFH

,:—=—=—，EH=

BGAGDG

:・BG=GD,

VZBAD=90°,

：.AG=%。.

(4)如图2中，设E/的中点为K,P(x,y),连接PK.

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VZFPF=90°,

:,点P在以所为直径的0K上运动，

是等腰直角三角形，NPQH=90°,

：・NQHP=45°,

•・•抛物线的顶点“(2,-5),

.,.直线PH的解析式为y=x-7,

'：PK=^EF,

,/7、2/,5、2/5遮2

..(x~2)-+(>'+彳)=,

()，+7一夕2+(y+|)2=(乎)2,

Q

解得y=-4或-彳

：.Q(2,-4)或(2,一/

8.已知：菱形A8CO和菱形A'B'CO',/BAD=NB'A'Df,起始位置点A在边

A'B1上，点B在A'Br所在直线上，点B在点A的右侧，点8,在点A'的右侧，连

接4c和A'C,将菱形43CZ)以A为旋转中心逆时针旋转a角(0°<a<180°).

(1)如图I,若点A与A'重合，且N84O=N8'A'D'=90°,求证：8夕=DD'.

(2)若点A与“不重合，M是4'C'上一点，当MA'=M4时，连接和A'C,

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8M和A'。所在直线相交于点P.

①如图2,当N3A£>=NB'N»=90°时，造猜想线段8M和饯段4'。的数量关系

及N8PC的度数.

②如图3,当NR4Q=N8'A'D1=60°时，请求出线段3M和线段4'。的数量关系

及N8PC的度数.

③在②的条件下，若点4与"B'的中点重合，A'B1=4,43=2,在整个旋转过程

中，当点尸与点M重合时，请直接写出线段8M的长.

D'C'D1C

A~B

(1)证明：如图1中

在菱形A6C"和菱形A'B'CD'中，•:乙BAD=^B'A'D'=9。°，

・•・四边形ABCD,四边形A'B'CD'都是正方形，

•：ZDAB=ZDrAB'=90°,

AZDAD1=NBAB',

*：AD=AB,AD'=ABf,

•••△ADD'(SAS),

：.DD'=BB'.

(2)①解：如图2中，结论：CA'=y/2BM,NBPC=45：

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Dr

图2

理由：设4c交8尸于O.

•・•四边形ABCO,四边形A'B'CD,都是正方形,

・・・NM4'A=ND4C=45°，

・・・NA'AC=ZMAB,

*：MA'=MA,

：.ZMA'A=ZMAAf=45°

AZAMA'=90°,

：.AAr=y/2AM,

•••△ABC是等腰直角三角形,

*：AC=V2AB,

AArACr

・•・一=—=y/2,

AMAB

VZA'AC=ZMAB,

：.AAA'Cs^MAB,

•_A_rCAA>r-

••=—=<2,NA'CA=NABM,

DMAM

：.CAr=0BM,

■:NAOB=NCOP,

；・NCPO=NO4B=45°,即/BPC=45°.

②解：如图3中，设AC交BP于O.

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在菱形A5co和菱形A'B'CD'中，•:/BAD=/B'A'D'=60°,

：.Z.CA'B'=NCAB=30°,

，NA'AC=NMAB,

VMA/=MA,

・・・NM4'A=NM/L4'=30°

：.AAf=V3AM,

在△48C中，・：BA=BC,ZCAB=30°,

.AC=痘AB,

AArACr-

.——=—=73,

AMAB

NA'AC=NMAB,

.△A'AC^>^MAB,

AfCAAtr—

----=73,/ACA=ZABM,

BMAM

.A'C=6BM,

*NAOB=NCOP,

./CFO=NOA8=30°,即/6PC=30°.

③如图4中，过点4作AH_LA'。于H.

图4

由题意AB=8C=CZ)=AO=2,可得AC=V54B=2V1

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在RtZVTA"中，A'〃=如'=1，A!H=6AH=瓜,

在RtZ\AHC中，CH=>/AC2-AH2=J(2V3)2-I2=VT1,

"C=A'H+C〃=V5+VTT或A'C=VT1-V3

由②可知，A'C=WBM,

・・・BM=1+挈或手-1.

9.【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

(1)如图①，对余四边形ABCO中，A8=5,BC=6,CD=4,连接AC.若AC=48,

求sin/CA。的值；

(2)如图②，凸四边形4BCZ)中，AD=BD,ADVBD,当时，判断四

边形A8CO是否为对余四边形.证明你的结论；

【拓展提升】

(3)在平面直角坐标系中，点4(-1,0),B(3,0),C(1,2),四边形ABCO是对

余四边形，点£在对余线8。上，且位于△4BC内部，ZAEC=90°+ZABC.设77=〃，

点。的纵坐标为f,请直接写出〃关于，的函数解析式.

解：(1)过点A作A£_L8C于E,过点C作于尸.

图①

\'AC=AB,

:.BE=CE=3,

在RtAAEB中，AE=>JAB2-BE2=V52-32=4,

VCF1/4D,

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/.ZZXZFCD=90°,

VZB+ZD=90°，

：.ZB=ZDCF,

VZAEB=ZCFD=9Q°，

：.AAEBsADFC,

EB__AB_

CF-CD'

_3__5

CF-4’

12

:・CF=于'

CF_X_12

sinZCAD=AC=~5=25'

(2)如图②中，结论：四边形48co是对余四边形.

t

理由：过点。作OMJ_OC,使得0M=OC,连接CM.

•・•四边形4BC。中，AD=BD,ADYBD,

：.ZDAB=ZDBA=45°，

•・・/OCM=NQMC=45°,

・・・NCOM=N4OB=90°，

ZADC=NBDM,

，：AD=DB,CD=DM,

(SAS),

：.AC=BM,

,.^CZ^+CB^CA2,CM1=DNfi+CD1=2CZ)2,

：・6fi+CB?=BM2,

・・・N8CM=90°,

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/.ZDCB=45°,

/.ZDAB+ZDCB=90°,

:.四边形ABCD是对余四边形.

(3)如图③中，过点。作。〃_Lx轴于从

・・・OA=1,08=3,48=4,AC=BC=2五,

22

：.AC+BC=A^f

：.ZACfi=90°,

・・・NCB4=NC48=45°，

'：四边形ABCD是对余四边形，

・・・NAOC+NABC=90°,

AZ4DC=45°,

VZAEC=90°+NABC=135°,

AZADC+ZAEC=\SOa,

・"，D,C,E四点共圆，

・•・ZACE=NAOE,

ZCAE+ZACE=ZCAE+ZEAB=45°,

：.ZEAB=ZACE,

・•・ZEAB=ZADB,

VZABE=ZDBA,

：,△ABEs^DBA,

第24页共142页

BE_AE

AB~AD

AEAD

BE-AB

设D(x,/),

222

由(2)可知，BD=2CD+ADf

・•・(x-3)2+?=2[(x-1)2+(z-2)2]+(x+1)2+?,

整理得(x+1)2=4t-

在RtAADH中，AD=y/AH2+DH2=V(x4-1)2+t2=2y[t,

♦•〃=4=2(0V/V4),

即W=y(0<r<4).

10.小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

在△ABC中，AB=AC,M是平面内任意一点，将线段AM绕点月按顺时针方向旋转与

NBAC相等的角度，得到线段AM连接N&

(1)如图1,若M是线段BC上的任意一点，请直接写出NM48与NM4C的数量关系

是一NN4B=NMAC,NB与MC的数最关系是NB=CM；

(2)如图2,点七是延长线上点，若M是/CB石内部射线8。上任意一点，连接

MC,(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由.

(二)拓展应用

如图3,在△AiBi在中,A向=8,ZAiBiCi=60°,ZBiAiCi=75°,尸是3G上的

任意点，连接4P,将AiP绕点4按顺时针方向旋转75°,得到线段4Q,连接小。.求

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线段小。长度的最小值.

解：(一)(1)结论：ZNAB=ZMAC,BN=MC.

理由：如图1中，

图1

VNMAN=/CAB,

：.NNAB+NBAM=ZBAM+ZMAC,

：.NNAB=NMAC,

*：AB=AC,AN=AMt

•••△MABgZXMAC(SAS),

:・BN=CM.

故答案为NN4B=NMAC,BN=CM.

(2)如图2中，①中结论仍然成立.

图2

理由：'：NMAN=/CAB,

：.NNAB+NBAM=ZBAM+ZMAC,

:./NAB=NMAC,

'：AB=AC,AN=AM,

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:.XNABWlXMAC(SAS),

:.BN=CM.

(二)如图3中，在4G上截取AiN=4Bi,连接PN,作M7JJ51cl于”，作4M_L

BQ于M.

图3

VZCiAiBi=ZB4iQ.

・・・NQ48i=NB4iM

,：A\Q=A\P,AiBi=AM

•••△QAiBi丝△用1'(SAS),

:・B\Q=PN,

・•.当PN的值最小时，QBi的值最小，

在RlZXAiBiM中，・・・N4BiM=60°,AiBi=St

.".AiM=AiBi-sin600=48，

VZAMICI=ZBIAICI-ZBiAiM=75°-30°=45°,

/•AiC|=4>/6,

.•・NCi=AG-AiN=4VS-8,

在RtZXNHCi，VZCi=45°,

：.NH=4V3-4V2,

根据垂线段最短可知，当点P与"重合时，PN的值最小，

・•・QB\的最小值为4V3-4V2.

11.已知：在△ABC外分别以48,AC为边作△AE8与△APC.

(1)如图1,△4E8与分别是以48,4C为斜边的等腰直角三角形，连接石尸.以

石户为直角边构造Rl^EFG,且七尸=FG,连接BG,CG,EC.

求证：①△AMgZXCGE

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②四边形8GCE是平行四边形.

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2,在△ABC外分别以AB,AC为斜边作RtZXAEB与RtZLAFC,并使/秒IC=NE4B

=30°,取3c的中点。，连接OE,EF后发现,两者间存在一定的数量关系且夹角度

ED

数一定，请你帮助小明求出大的值及NOE尸的度数.

EF

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3,在△A8C外分别以AB,4c为底边作等腰三角形AE8和等腰三角形AFG并使

NC4P+NE4B=90°,取8c的中点。，连接OE,即后发现，当给定NE48=a时，

两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE=m,AB=n,请你帮助小颖用含

图1图2图3

图1

•・•△/八：与AAFC都是等腰直角三角形，

：.FA=FC,FE=FG,NAFC=NEFG=90°,

:.NAFE=NCFG,

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:•△AFE//XCFG(SAS).

@VAAFE^ACFG,

：.AE=CG,ZAEF=ZCGF,

•••△AE8是等腰直角三角形，

：.AE=BE,NBE4=90°,

:・CG=BE,

•••△EFG是等腰直角三角形，

,NFEG=NFGE=45°,

/.ZAEF+ZBEG=45a,VZCG£+ZCGF=45°,

NBEG=NCGE,

:・BE〃CG,

，四边形BECG是平行四边形.

(2)解：如图2中，延长。到G,使得OG=ED,连接CG,FG.

：.BD=CD,

•：4EDB=NGDC,

:・EB=GC,NEBD=NGCD,

在RIAAE5与RtAAFC中，

VZEAB=ZMC=30°,

.EByf3FCV3

••—,=，

AE3AF3

CG_FC

AE~AF

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VZEB£)=Z2+60o,

/.ZDCG=Z2+600,

，NGC尸=360°-60°-(Z2+600)-Z3

=360°-120°-(Z2+Z3)

=360°-120°-(1800-Zl)

=600+Z1,

VZE4F=3O°+Z1+300=60°+Z1,

：・4GCF=4EAF,

.,.△CGF^AAfF,

V3

—,NCFG=NAFE,

FEFA3

/EFG=7CFG+/EFC=/AFE+/EFC=90°.

tanZDEF=器二综

EF3

NOEr=30°,

1

FG=尹G,

ED=转G,

ED=FG,

EDV3

EF3

(3)如图3中，延长ED到G,使得。G=EZ),连接CG,尸G.作于”，连接

图3

♦：BD=DC,NBDE=NCDG,DE=DG,

•・.△COG0△BOE(SAS),

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：.CG=BE=AE,NDCG=NDBE=a+NABC,

VZGCF=360°-ZDCG-ZACB-ZACF=360°-(a+N4BC)-ZACB-(90°

-a)=270°・(NABC+NAC8)=270°-(180°-ZBAC)=90°+ZBAC=ZEAF,

：.AEAF^AGCF(SAS),

:・EF=GF,NAFE=NCFG,

:./AFC=ZEFG,

:・NDEF=/CAF=900-a,

•・・NAE〃=90°-a,

:.ZAEH=ZDEF,

9^AE=m,AH=

--------------I~ii~~J4m2—n2

:・EH=y/AE2-AHZ=Im2-^n2=~Q—,

•:DE=DG,EF=GF,

：.DFLEG,

EHDE^m2~~J4nl2f2

・・・cosNOM=cosNAE”=器=爵=

12.如图1,直线y=x-4与工轴交于点8,与)，轴交于点A,抛物线y=-1?+bx+c经过点

8和点C(0,4),AABO沿射线48方向以每秒或个单位长度的速度平移，平移后的三

角形记为△。即(点4,B,。的对应点分别为点。，E,F),平移时间为/(0</<4)

秒，射线。尸交X轴于点G,交抛物线于点M,连接ME.

（1）求抛物线的解析式;

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(2)当时，请直接写出］的值；

(3)如图2,点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的右连接OM,NF,

0M与NF相交于点尸，当NP=FP时，求，的值.

解：(1),・•直线y=x-4与x轴交于点B,与y轴交于点A,

：.B(4,0),A(0,-4),

把5(4,0),C(0,4)代入尸一步+版+。得到人，

/1—8+4b+c=0

解得仁:，

・•・抛物线的解析式为y=-#-x+4.

(2)如图1中，当点M在线段。尸的上方时,

图1

由题总得，D(1,/-4),则M(f,—*»+f+4),

：.DM=-1?+8,

在RlZXMEF中，311/上用尸=需=磊=*

；・MF=3,

°：DF=EF=4,

:・DM=7,

1)

］广+8=7,

・•・/二企或一鱼(舍弃)

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当点M在线段。尸上时，DM=1,

解得ug或一位(舍弃)，

综上所述，满足条件的，的值为企或旧.

(3)如图2中，过点N作NT〃y轴于T.由题意得。(r,L4),则M"-1+件4),

图2

'：NT//FM,

:.ZPNT=NPFM,

■:/NPT=/MPF,PN=PF,

:.△NPTQAFPM(ASA),

:.NT=MF,

:.-#+|r+4-(一/+1r+2)=-1/2+r+4-1,

解得u竽或一华(舍弃)，

・•・/的值为T47-5.

O

13.在平面宜角坐标系中，二次函数y=#+fer+c的图象与方轴交于A(-2,0),B(4,0)

两点，交)，轴于点C,点尸是第四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数的解析式；

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(2)如图甲，连接AC,PA,PC,若S△附(尸塔求点尸的坐标;

(3)如图乙，过A,B,P三点作OM,过点P作尸E_Lx轴，垂足为£>,交G)M于点E.点

P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求

乙

解：(1).・•二次函数尸袋+灰+。的图象与x轴交于4(-2,0),B(4,0)两点,

・•・二次函数的解析式为产/(x+2)(x-4),

即>,=g2-x-4.

12

—in-in-4).

2

由题意，A(-2,0),C(0,-4),

***S^R\C=SAAOC+SAOPC-S"QP，

151111

一=-x2X4+；jx4Xm—5X2X(―-x/9n+/n+4)»

22222

整理得，n?+2m-15=0,

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解得m=3或-5(舍弃),

：.P(3,

(3)结论：点P在运动过程中线段。E的长是定值，DE=2.

理由：如图乙中，连接AM,PM,EM,设M(l,f),P[m,1(m+2)(zn-4)],ECm,

〃).

由题意4(-2,0),AM=PM,

/.32+?=(zn-1)2+[^(m+2'i(zn-4)-r]2,

解得/=1+：(/w+2)(m-4),

•：ME=PM,PEVAB,

.九+*(m+2)(m—4)

・1=2，

.*./?=2/—^(m+2)(m-4)=2[1+^(m+2)(m-4)]-；(m+2)(m-4)=2,

・・・OE=2,

另解：・；PD・DE=AD・DB,:.DE="+2)(4-丁)=2,为定值.

PD4+m-mz

・••点尸在运动过程中线段OE的长是定值，DE=2.

14.在平面直角坐标系中，抛物线)=一#+版+。交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,

交y轴于点C

(1)求抛物线的表达式；

⑵如图，直线产孩+慨与抛物线交于A,D两点,与直线8c交于点反若

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0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点凡交直线A力于点G,

交直线BC于点H.

①当点尸在直线A。上方的抛物线上，且SaE/GM5SaOEG时，求用的值；

②在平面内是否在点P,使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标;

若不存在，请说明理由.

解：⑴•・•抛物