甘肃省兰州市城关区树人中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年甘肃省兰州市城关区树人中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.中国信息通信研究院测算，年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为(

)A. B. C. D.3.在下列计算中，正确的是(

)A. B.

C. D.4.如图，已知，，则等于(

)A.

B.

C.

D.5.如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间.晷针在晷面上形成的投影是(

)A.平行投影

B.既是平行投影又是中心投影

C.中心投影

D.无法确定6.嘉淇在判断一元二次方程根的情况时，把m看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根

C.有两个相等的实数根 D.有一个根是37.一次函数的大致图象可能如图(

)A. B.

C. D.8.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余尺：将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺，问木条长多少尺？”现设木条长尺，绳子长y尺，则可列方程组为(

)A. B. C. D.9.“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由5块等腰直角三角形，1块正方形和1块平行四边形薄板组成.如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板，图②是用该七巧板拼出的狐狸图案的飞镖盘，若小明每次扔飞镖时，飞镖都能掷在狐狸上，则随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是(

)A. B. C. D.10.如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，，若BF：：7，则的值为(

)A.

B.

C.

D.11.如图，在矩形ABCD中，，，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是(

)A.2

B.4

C.

D.12.如图1，在菱形ABCD中，，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为(

)A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.分解因式：______.14.某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为______.15.如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB，AC于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于MN一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点若∽，则______.16.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图.则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为______填“<”或“>”

三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题4分

解不等式组：18.本小题4分

解方程：19.本小题4分

先化简代数式，再从2，，1，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．20.本小题6分

如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点C，与直线AB交于点D，过点D作轴于点点P是x轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与直线AB，CD交于点M，

设MN的长为d，P点的横坐标为t，求d与t的函数表达式；

若以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值.21.本小题6分

为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下.

信息一：体育成绩的人数频数分布图如下.

信息二：美育成绩的人数频数分布表如下.分组人数m727信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下共20个点

根据以上信息，回答下列问题：

填空：______；

下列结论正确的是______；填序号

①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的；

②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；

请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数.22.本小题6分

阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应学习任务.作的平分线；

活动内容：

已知，作出的平分线

方法展示：

方案一：如图①，分别在的边OA，OB上截取，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C，则射线OC就是的平分线.

方案二：如图②，分别在的边OA，OB上用圆规截取，再利用三角尺分别过点M，N作出OA，OB的垂线，两条垂线交于点C，作射线OC，则OC就是的平分线.

方案三：如图③，在OA上取一点P，过点P作；然后在PQ上截取，作射线OC，OC就是的平分线.

活动总结：

全等三角形、等腰三角形的性质是证明两角相等的重要依据，根据全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作的平分线.

活动反思：

利用等腰三角形“三线合一”的性质可以作出的平分线吗？学习任务：

方案一依据的一个基本事实是______；方案二“判定直角三角形全等”的依据是______；

同学们提出的方案三是否正确？请你利用图③说明理由；

请依据等腰三角形“三线合一”的性质，在图④中作出的平分线，并简要叙述作图过程.23.本小题6分

如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，

求证：∽；

若，求AC：BC的值.24.本小题6分

赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度PO这一任务.如图，赵玲在点B处竖立一根高3m的标杆AB，张羽测出地面上的点D、标杆上的点C和点P在一条直线上，利用皮尺测出，张羽向后退，又测出地面上的点E、标杆顶点A和点P在一条直线上，利用皮尺测出已知，，点E、D、B、O在同一水平线上，点C在AB上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度25.本小题6分

新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形.

验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH的长为4、宽为

探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由.26.本小题7分

已知，如图，在中，，BD是的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使，连接BE、

求证：四边形AEBD是菱形；

若，，求菱形AEBD的面积.27.本小题8分

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图．

若A点坐标为，

①当B点坐标为时，点A，B的“合成矩形”的面积是______；

②若点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形，则直线AC的表达式为______；

③若点P在直线上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标；

点O的坐标为，点D为直线上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围．

28.本小题9分

【问题背景】

如图1，已知正方形ABCD的边长为3，点E是边AB上的一点，把沿直线DE对折后，点A落在点F处.

【问题探究】

如图2，当时，正方形的对角线AC与DE相交于点M，与正方形另一条对角线BD相交于点O，连接OF并延长，交线段AB于点

①证明点M是OA的中点；

②试探究OG与DE有怎样的关系，并说明理由.

【拓展延伸】

如图3，点H是线段DF上的一点，且，连接BF、在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B

【解析】解：万亿

故选：

科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是非负数；当原数的绝对值时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B

【解析】解：，

选项不正确，

，

选项正确，

，

选项不正确，

，

选项不正确，

故选：

根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案．

本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式性质是关键．4.【答案】D

【解析】解：如图，

，，

，

，

，

，

故选：

由已知和邻补角互补易得，则，所以，再根据对顶角相等可得的度数，即可求出的度数．

此题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．要灵活应用，同时考查了邻补角与对顶角的性质．5.【答案】A

【解析】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影．

故选：

根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可．

本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．6.【答案】A

【解析】解：，，，

，

，

原方程，

，

方程有两个不相等的实数根．

故选：

根据方程的系数结合根的判别式，可得出m的值，进而可得出方程有两个不相等的实数根．

本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7.【答案】B

【解析】解：当时，，图象经过一三四象限，

A、，，故A不符合题意；

B、，，故B符合题意；

C、，，故C不符合题意；

D、，，故D不符合题意；

故选：

根据一次函数图象：，图象经过一二三象限，，图象经过一三四象限，，，图象经过二三四象限，，图象经过一二四象限，可得答案．

本题考查了一次函数图象，熟记函数图象与k、b的关系是解题关键．8.【答案】D

【解析】解：现设木条长尺，绳子长y尺，则可列方程组为：

故选：

直接利用“绳长-木条；木条绳子”分别得出等式求出答案．

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．9.【答案】A

【解析】解：七巧板的面积是8个空白正方形的面积，而狐狸头部是2个空白正方形的面积，

随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是

故选：

根据几何概率的求法：飞镖掷在狐狸头部的概率是就是狐狸头部的面积与总面积的比值．

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．10.【答案】B

【解析】解：，BF：：：ED，

，

：：：7，

则∽，

则：，

故选：

证明∽，则：，即可求解．

本题考查了三角形相似，主要涉及到的是平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．11.【答案】C

【解析】解：如图：

当点F与点C重合时，点P在处，，

当点F与点E重合时，点P在处，，

且

当点F在EC上除点C、E的位置处时，有

由中位线定理可知：且

点P的运动轨迹是线段，

当时，PB取得最小值．

矩形ABCD中，，，E为AB的中点，

、、为等腰直角三角形，

，

，即，

的最小值为的长．

在等腰直角中，

的最小值是

故选：

根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故BP的最小值为的长，由勾股定理求解即可．

本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．12.【答案】C

【解析】解：图象右端点F的坐标为，M是AB的中点，

，，

，，

如图，连接AC，连接CM交BD于点，连接，

当点N在点时，取得最小值，最小值为，

四边形ABCD为菱形，，

三角形ABC为等边三角形，，

，，

在中，，

，

，

，

，

在中，，

点E的坐标为

故选：

根据点F的坐标可得，，，连接AC，连接CM交BD于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为CM，根据菱形的性质易得三角形ABC为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出CM，由平行线和菱形的性质易得，，进而求出，以此即可求解．

本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是理解函数图象中最低点坐标所表示的实际意义，并利用数形结合思想解决问题．13.【答案】

【解析】解：，

，

先提取公因式x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．14.【答案】

【解析】解：设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，

依题意得：，

解得：，不合题意，舍去，

即从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，

故答案为：

设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，根据该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】

【解析】解：由作法得AD平分，

，

∽，

，

，

，

，

在中，

，

，

，

在中，

，

，

故答案为：

羡慕利用基本作图得到AD平分，则，再利用相似三角形的性质，由∽得到，所以，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系先求出，，然后求出，最后计算即可．

本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等．也考查了基本作图和含30度角的直角三角形三边的关系．16.【答案】>

【解析】解：从图中看到，甲种甜玉米产量的波动比乙的波动大，故甲的方差比乙大，即

故答案为：

据从图中数据的波动情况分析．

本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．17.【答案】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

原不等式组的解集为：

【解析】先解不等式，得，再解不等式，得，由此可得原不等式组的解集．

此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的一般解法是解决问题的关键．18.【答案】解：方程两边都乘，

得，

解得，

检验：当时，，

所以分式方程的解是

【解析】方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可．

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．19.【答案】解：原式

，

，，，

只能取，

当时，原式

【解析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．

本题考查了分式的混合运算和求值和分式有意义的条件，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．20.【答案】解：点的横坐标为t，过P作x轴的垂线，分别与直线AB，CD交于M，N，

把代入中可得，即，

把代入中可得，即，

当时，；

当时，；

由题意可知，

若以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形，

则，

，解得或，

即当t的值为0或4时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】用t分别表示出M、N的坐标，则可表示出d与t之间的关系式；

由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由的关系式可得到关于t的方程，可求得t的值．

本题考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质．解题时，要注意到21.【答案】4①

【解析】解：，

故答案为：4；

①根据20位学生的体育成绩得分统计图可知：体育成绩低于80分的人数有8人，因此体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的，故①正确；

②根据20位学生的美育成绩得分统计图可知一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，因此中位数位于之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误；

故答案为：①；

根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人，故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有人

用样本总体减去良好、合格、待提高成绩的人数即可得出答案；

①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断；②用中位数的定义判断即可；

用样本估计总体即可．

本题主要考查了频数分布图和分布表，个体占比，中位数的意义，用样本估计总体等知识，能从图表中获取有用信息进行分析是解题的关键．22.【答案】SSSHL

【解析】解：方案一，如图①，连接CM、CN，

由题意可知，，，

又，

≌，

，

是的平分线；

方案二，由题意可知，，，

又，

，

，

是的平分线；

故答案为：SSS，HL；

同学们提出的方案三正确，理由如下：

，

，

，

，

，

，

是的平分线；

如图④，

分别在OA、OB上截取，连接MN，再利用三角尺过点O作MN的垂线，垂足为点C，作射线OC，

则OC就是的平分线．

方案一，连接CM、CN，证≌，得，则OC是的平分线；

方案二，证，得，则OC是的平分线；

证，得，再由等腰三角形的性质得，则，即可得出结论；

依据等腰三角形“三线合一”的性质作出图形即可．

本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定以及尺规作图等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．23.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，

，

，

，

，

∽；

四边形ABCD是平行四边形，

，即：

，

，

，

四边形ABCD是平行四边形，

，

，

，

∽

，

即：

【解析】由四边形ABCD是平行四边形、可得，为公共角可得∽；

由、可得，进而有，根据∽，得到对应边成比例，即可得出AC：BC的值．

本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似形的对应边成比例和平行四边形的性质是关键．24.【答案】解：由题意可得，

，，

∽，∽，

，，

，，

解得

答：凤凰雕塑顶端到地面的高度PO为28米．

【解析】由题意可得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．25.【答案】证明：矩形EFGH的周长为：，

矩形ABCD的周长为：，

矩形EFGH的周长矩形ABCD的周长；

矩形EFGH的面积为：，

矩形ABCD的面积为：，

矩形EFGH的面积矩形ABCD的面积；

矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形．

解：该矩形不存在“减半”矩形，理由如下：

若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m，，

原矩形的长和宽分别为2，1，

①，②，

由①得：，

将代入②得：，

即，

，

无实数根，

该矩形不存在“减半”矩形．

【解析】分别求出矩形EFGH的周长与面积，矩形ABCD的周长与面积，即可得出结论；

若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m，，根据矩形的周长和面积得出，再由根的判别式即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．26.【答案】证明：是BD的中点，

，

，，

≌，

，，

，

，BD是的中线，

，

，

四边形AEBD是平行四边形，

，

平行四边形AEBD是菱形；

解：如图，连接ED，

，，

四边形BCDE是平行四边形，

，

，BD是中线，

，

，，

，

菱形AEBD的面积

【解析】证明≌，等，，则，再证明四边形AEBD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；

连接ED，证明四边形BCDE是平行四边形，得，再求出，进而由勾股定理得，然后由菱形面积公式列式计算即可．

本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟悉掌握菱形的判定与性质是解题的关键．27.【答案】或

【解析】解：①点A，B的“合成矩形”如图1，

的坐标为，B的坐标为，

，

点A，B的“合成矩形”AMBN的面积

故答案为：

②如图2，

A的坐标为，点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形时，

当C在x轴上方时，

点A，C的“合成矩形”为正方形AMCO，

，

，

设直线AC解析式为，

将，代入表达式得：

，

解得

直线AC解析式为

同理可得当C在x轴下方时，

，

此时解析式为

综上所述，点A，C的“合成矩形”为正方形，直线AC的表达式为或；

故答案为：或；

③如图3，当点