2020年浙江省宁波市中考数学复习二次函数练习（含答案）

二次函数基础过关练习

1、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A、B(点A在点

B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求直线BC的表达式；

(2)垂直于y轴的直线1与抛物线交于点P(xi,%),Q(X2,%),与直线BC

交于点N(X3,y3);若X1VX2VX3,结合函数的图象，求X1+X2+X3的取值范围.

2、关于x的一元二次方程X?-(k+3)x+2k+2=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一根小于1,求k的取值范围.

3、如图，抛物线y=ax，bx（aWO）交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线

的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.

(1)求a,b的值.

（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP,BP.设点

P的横坐标为m,△OBP的面积为S,记K=3.求K关于m的函数表达式及K的范

m

围.

2

4、已知抛物线Y1=-x+mx+n,直线y2=kx+b,%的对称轴与y?交于点A（-1,5）,

点A与％的顶点B的距离是4.

（1）求力的解析式；

（2）若y?随着x的增大而增大，且r与y?都经过x轴上的同一点，求y2的解析

式.

5、已知关于x的一元二次方程：x2-(t-1)x+t-2=0.

(1)求证：对于任意实数t,方程都有实数根；

(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.

6、如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点,

3

点B的坐标为(3,0),抛物线与直线y=--x+3交于C、D两点.连接BD、AD.

2

(1)求m的值.

(2)抛物线上有一点P,满足SAABP=4SAABD,求点P的坐标.

X

7、已知关于x的一元二次方程/+（2m+l）x+m12-4=0

（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值.

8、学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1）,顺次输入点P”B，Ps的坐

标，机器人能根据图2,绘制图形.若图形是线段，求出线段的长度；若图形是

抛物线，求出抛物线的函数关系式.请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛

物线的函数关系式.

图1图2

(1)Pi(4,0),P2(0,0),P3(6,6)；

(2)Pi(0,0),P2(4,0),P3(6,6).

9、关于x的方程无2_(2左一l)x+左2一2左+3=0有两个不相等的实数根.

(1)求实数N的取值范围；

(2)设方程的两个实数根分别为荀、莅，存不存在这样的实数A使得

闻-闯=若？若存在，求出这样的次值；若不存在，说明理由.

10、已知关于x的一元二次方程x?+(2x+l)x+k?=0①有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)设方程①的两个实数根分别为％,X2,当k=l时,求x；+x/的值.

11、已知关于x的一元二次方程X?-4x-m2=0

(1)求证：该方程有两个不等的实根；

(2)若该方程的两个实数根小、X2满足XI+2X2=9,求m的值.

12、已知关于x的一元二次方程(-(m+1)x+4(m2+l)=0有实数根.

(1)求m的值；

(2)先作y=x?-(m+1)x+1(m，l)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作

图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析

式；

(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(nNm)与变化后的图象有公共点时，

求空-4n的最大值和最小值.

13、已知二次函数y=-2x?+bx+c的图象经过A(0,3),B(-4,--)两点.

162

(1)求b,c的值.

⑵二次函数y-蕃+bx+c的图象与x轴是否有公共点,求公共点的坐标；若

没有，请说明情况.

14、已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0,其中k为常数.

(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

(2)已知函数丫=/+。-5)*+1-1<的图象不经过第三象限，求k的取值范围;

(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.

22

15、已知关于x的方程x+(2k-l)x+k-1=0有两个实数根Xi,x2.2*1»c・n»j»y

(1)求实数k的取值范围；

(2)若x”X2满足XS+X]=16+XIX2,求实数k的值.

2

16、已知关于x的一元二次方程x-6x+m+4=0有两个实数根Xi,x2.

(1)求m的取值范围；

(2)若XJX2满足3xi=|x>+2,求m的值.

17、设a、b是任意两个实数，用max{a,b}表示a、b两数中较大者，例如：max{-

1,-1]=-1,max{l,2}=2,max{4,3}=4,参照上面的材料，解答下列问题：

(1)max{5,2}=,max{0,3}=；

(2)若max{3x+l,-x+l}=-x+1,求x的取值范围；

(3)求函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标，函数y=x2-2x-4的图

象如图所示，请你在图中作出函数y=-x+2的图象，并根据图象直接写出max{-

x+2,x「2x-4}的最小值.

18、已知抛物线L：y=x?+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，

并与y轴相交于点C.

(1)求A、B、C三点的坐标，并求AABC的面积；

(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线17,且U与x轴相交于A'、B，

两点(点A，在点B，的左侧)，并与y轴相交于点5,要使AA"，L和4

ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式.

19、如图，AAOB的顶点A、B分别在x轴、y轴上，ZBAO=45,且AAQB的

面积为8.

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C.

①若AABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式;

②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N,求点N的

坐标.

20、在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标

互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（-3,5）与（5,-3）是一对“互

换点”.

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m,n）,求直线MN的表达式

（用含m、n的代数式表示）；

（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比例

函数y=-：的图象上，直线AB经过点P,求此抛物线的表达式.

21、已知抛物线Ci：y=ax2-4ax-5(a>0).

（1）当a=l时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;

（2）①试说明无论a为何值，抛物线C一定经过两个定点，并求出这两个定点

的坐标；

②将抛物线C沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2,直接写出C2的表达

式；

（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.

22、已知函数y=_（2〃?_5）X+〃?-2的图象与x轴有两个公共点.

（1）求用的取值范围，写出当机取范围内最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为G

①当〃WxW—1时，》的取值范围是3〃，求〃的值；

②函数G：y=2（x-/z）2+左的图象由函数G的图象平移得到，其顶点P落在以原

点为圆心，半径为岔的圆内或圆上.设函数G的图象顶点为求点P与点M距

离最大时函数C2的解析式.

23、已知关于x的一元二次方程X?-（m-3）x-m=0

（1）求证：方程有两个不相等的实数根;

(2)如果方程的两实根为％、x2,且xj+xz?-*因=7,求m的值.

24、【探究函数y=x+当的图象与性质】

X

(1)函数y=x+9的自变量x的取值范围是；

X

(2)下列四个函数图象中函数y=x+&的图象大致是

X

(3)对于函数y=x+&,求当x>0时，y的取值范围.

x

请将下列的求解过程补充完整.

解：Vx>0

22

/.y=x+-=(^/x)+)=(Vx~2+

v-信)220

7x

.

［拓展运用］

2

(4)若函数y=x"-5x+9,则丫的取值范围

X

25、已知二次函数y=-2x?+bx+c图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图象

的对称轴与x轴的交点为A,M是这个二次函数图象上的点，0是原点.

(1)不等式b+2c+8N0是否成立？请说明理由；

(2)设S是△AMO的面积，求满足S=9的所有点M的坐标.

26、关于x的方程2x?-5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中NA是锐角三角

形ABC的一个内角.

(1)求sinA的值；

(2)若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是AABC的两边长，求

△ABC的周长.

27、在平面直角坐标系中，设二次函数yk(x+a)(x-a-1),其中aWO.

(1)若函数弘的图象经过点(1,-2),求函数r的表达式；

(2)若一次函数y2=ax+b的图象与力的图象经过x轴上同一点，探究实数a,b

满足的关系式；

(3)已知点P(X。，m)和Q(1,n)在函数0的图象上，若m<n,求x()的取值

范围.

二次函数基础过关练习

1、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A、B(点A在点

B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求直线BC的表达式；

(2)垂直于y轴的直线1与抛物线交于点P(xi,%),Q(X2,%),与直线BC

交于点N(x3,y3),若X1VX2VX3,结合函数的图象，求X1+X2+X3的取值范围.

【解答】解：(1)由y=x?-4x+3得到：y=(x-3)(x-1),C(0,3).

所以A(1,0),B(3,0),

设直线BC的表达式为：y=kx+b(kWO),

则(b=3,解得件-1,

13k+b=0Ib=3

所以直线BC的表达式为y=-x+3；

(2)由y=x2-4x+3得到：y=(x-2)2-1,

所以抛物线尸x?-4x+3的对称轴是x=2,顶点坐标是(2,-1).

Vyi=y2,

・・Xi+X2=4.

令y=T,y=-x+3,x=4.

Vxi<x2<x3,

3<X3<4,即7VX1+X2+X3V8.

2、关于x的一元二次方程x?-(k+3)x+2k+2=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一根小于1,求k的取值范围.

【解答】(1)证明：..,在方程x2-(k+3)x+2k+2=0中，△=[-(k+3)]2-4

XIX(2k+2)=k2-2k+l=(k-1)2^0,

・••方程总有两个实数根.

(2)解：Vx2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,

Xi=2,x2=k+l.

：方程有一根小于1,

Ak+Kl,解得：k<0,

Ak的取值范围为kVO.

3、如图，抛物线y=ax，bx(aWO)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线

的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.

(1)求a,b的值.

(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP,BP.设点

P的横坐标为m,△OBP的面积为S,记K=§.求K关于m的函数表达式及K的范

m

围.

【解答】解：(1)将x=2代入y=2x,得：y=4,

...点M(2,4),

--=2

由题意，得:2a

4a+2匕=4

，"=T.

'\b=4'

(2)如图,过点P作PHJ_x轴于点H,

•.•点P的横坐标为m,抛物线的解析式为丫=-(+4x,

；.PH=-m2+4m,

VB(2,0)，

；.OB=2,

.•.S」OB・PH

2

=ix2X(-mz+4m)

2

=-m2+4m,

.*.K=-=-m+4,

m

由题意得A(4,0),

VM(2,4)，

.•.2<m<4,

VK随着m的增大而减小，

.*.0<K<2.

4、已知抛物线Yi=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y］的对称轴与y2父于点A(T，5)

AA与门的顶点B的距离是4.

(1)求s的解析式;

(2)若y2随着x的增大而增大，且％与yz都经过x轴上的同一点，求y2的解析

式.

【解答】解：(1),抛物线力=-x'+mx+n,直线y2=kx+b,yi的对称轴与丫2交于

点A(-l,5),点A与yi的顶点B的距离是4.

AB(-1,1)或(-1,9),

2

•*--mX：彳、,二-L1rl=1或9,解得m=-2,n=0或8,

ZX"U4X(-1)

的解析式为Yi=-x,-2x或y尸-x2-2x+8；

(2)当％的解析式为yi=-X?-2x时，抛物线与x轴得交点为顶点(-1,0),

不合题意；

当yi=-X2+2X+8时，解-x2+2x+8=0得x=-4或2,

••,y?随着x的增大而增大，且过点A(-1,5),

•'•yi与丫2都经过x轴上的同一点(-4,0),

.•.泊x+缘

33

5、已知关于x的一元二次方程：x2-(t-1)x+t-2=0.

(1)求证：对于任意实数t,方程都有实数根；

(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.

【解答】(1)证明：在方程X?-(t-1)x+t-2=0中，△=[-(t-1)]2-4

XIX(t-2)=t2-6t+9=(t-3)2三0,

・••对于任意实数t,方程都有实数根;

(2)解：设方程的两根分别为m、n,

.•,方程的两个根互为相反数，.*.m+n=t-1=0,解得：t=l.

・••当t=l时，方程的两个根互为相反数.

6、如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点,

3

点B的坐标为(3,0),抛物线与直线y=--x+3交于C、D两点.连接BD、AD.

2

(1)求m的值.

(2)抛物线上有一点P,满足SAABP=4SAABD,求点P的坐标.

【解答】解：(1)..•抛物线y=-x2+mx+3过(3,0),

0=-9+3m+39

・\m=2

y=-x2+2x+3

(2)由

3,Q

3=-尹+3

1,,19

A-ABXyP=4X-ABX-,

224

•**|yp|=9,yp=±9,

当y=9时,X12+2X+3=9,无实数解,

2

当y=-9时，-X+2X+3=-9,X1-1+V13,x2=l-V13,

：.P(1+^13,-9)或-9).

7、已知关于x的一元二次方程x?+(2m+l)x+m2-4=0

(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值.

【解答】解：(1).••方程必+(2m+l)x+m?-4=0有两个不相等的实数根，

...△=(2m+l)2-4(m2-4)=4m+17>0,

解得：m>-普.

当m>-不时，方程有两个不相等的实数根.

(2)设方程的两根分别为a、b,

根据题意得：a+b=-2m-1,ab=m2-4.

•••2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，

a2+b2=(a+b)2-2ab=?-2(m2-4)=2m2+4m+9=52=25,

解得：m=-4或m=2.

Va>0,b>0,

a+b=-2m-l>0,

.*.m=-4.

若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为-4.

8、学校拓展小组研制了绘图智能机器人(如图1),顺次输入点P”B，Ps的坐

标，机器人能根据图2,绘制图形.若图形是线段，求出线段的长度；若图形是

抛物线，求出抛物线的函数关系式.请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛

物线的函数关系式.

图1图2

(1)Pi(4,0),P2(0,0),P3(6,6)；

(2)Pi(0,0),P2(4,0),P3(6,6).

【解答】解：(1)VP1(4,0),P2(0,0),4-0=4>0,

•••绘制线段PR,PE=4；

(2)(0,0),0-0=0,

•••绘制抛物线，

设y=ax(x-4),把(6,6)代入得：6=12a,解得：a=|,

...y=-1x(Zx-4八)=-1x:：2-2x.

22

9、关于x的方程无2_Q左一1"+左2一2左+3=0有两个不相等的实数根.

（1）求实数N的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为无、莅，存不存在这样的实数使得

㈤-⑸=石？若存在，求出这样的/值；若不存在，说明理由.

【解答】（1）•方程无2一（2人-1"+公—2左+3=0有两个不相等的实数根.

VA>0

(2"1)2_4仅2_2k+3)>0

4左—n〉o

,11

k>——

4

⑵方程的两个实数根分别为不、泾，利用根与系数关系

再+兀2=2左一1>0

=左之一2k+3=(左一1)+2>0

及、%都是正数

•••闻-闻=百

Xj-x2=V5

2

(%j-x2)=5

2

(x；+x2)-4X[X2=5

(2^-l)2-4(F-2Zr+3)=5

4H=5

k=4

所以存在且

10、已知关于x的一元二次方程x?+(2x+l)x+kJO①有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)设方程①的两个实数根分别为X1,X2,当k=l时,求x「+x『的值.

【解答】解：(1)•••方程有两个不相等的实数根，

△=(2k+l)2-4k2=4k+l>0>解得：k>-■；

(2)当k=l时，方程为x2+3x+l=0,

*.*Xi+x2=-3,XiX2=l,

222

XI+X2=(Xi+x2)-2XIX2=9-2=7.

n、已知关于x的一元二次方程x?-4x-m2=0

(1)求证：该方程有两个不等的实根；

(2)若该方程的两个实数根Xi、X?满足XI+2X2=9,求m的值.

【解答】(1)证明：1在方程x2-4x-m2=0中,△=(-4)2-4XlX(-m2)

=16+4m2>0,

•••该方程有两个不等的实根；

(2)解：•.•该方程的两个实数根分别为刈、xz,

.*.X1+X2=4(D，X1*X2=-m?②.

•；XI+2X2=9③，

联立①③解之，得：XF-LX2=5,

2

.*.X1*X2=-5=-m,解得：m=±v5.

12、已知关于x的一元二次方程必-(m+1)x+|(m2+l)=0有实数根.

(1)求m的值；

(2)先作y=x?-(m+1)x+|(m2+l)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作

图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析

式；

(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(nNm)与变化后的图象有公共点时，

求I?-4n的最大值和最小值.

【解答】解：(1)对于一元二次方程必-(m+1)x+1(m2+l)=0,

△=(m+1)2-2(m2+l)=-m2+2m-1=-(m-1)2,

•••方程有实数根，

-(m-1)2>0,

・・m=1.

(2)由(1)可知y=x2-2x+l=(x-1).

图象如图所示：

平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.

fy=2x+n。

(3)由(2消去y得到x2+6x+n+2=0,

y=-x-4x-2

由题意△NO,

.\36-4n-820,

，nW7,

m=l,

...lWnW7,

令y'=n2-4n=(n-2)2-4,

••.n=2时，yz的值最小，最小值为-4,

n=7时，y’的值最大，最大值为21,

...n2-4n的最大值为21,最小值为-4.

13、已知二次函数y=-3x'+bx+c的图象经过A(0,3),B(-4,--)两点.

162

(1)求b,c的值.

(2)二次函数y'-^Y+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若

没有，请说明情况.

【解答】解：(1)把A(0,3),B(-4,-：)分别代入y=-?x，bx+c,得

亿，=3X16—4b+c=—2,解得『/一飞2

I162lC=3

(2)由⑴可得，该抛物线解析式为：丫=-白2+3+3.

168

△=(-)2-4X(--)X3=—>0,

81664

所以二次函数y=-^x2+bx+c的图象与x轴有公共点.

16

,?--X2+-X+3=0的解为：XF-2,X=8

1682

・•.公共点的坐标是(-2,0)或(8,0).

14、已知关于x的一元二次方程/+(k-5)x+1-k=0,其中k为常数.

(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

(2)已知函数丫=乂2+。-5)*+1-1<的图象不经过第三象限，求k的取值范围;

(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.

【解答】(1)证明：：△=(k-5)2-4(1-k)=k?-6k+21=(k-3)2+12>0,

•••无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

(2)解：•••二次函数y=x?+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限，

•••二次项系数a=l,

抛物线开口方向向上，

：△=(k-3)2+12>0,

•••抛物线与x轴有两个交点，

设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为X”X2，

.,.XI+X2=5-k>0,Xi*x2=l-k>0,解得k<l,

即k的取值范围是k<l；

(3)解：设方程的两个根分别是％,x2,

根据题意，得(Xi-3)(x2-3)<0,

即Xi*x2-3(Xi+x2)+9<0,

e

又XI+X2=5-k,Xix2=l-k,

代入得，1-k-3(5-k)+9V0,解得

则k的最大整数值为2.

22

15、已知关于x的方程x+(2k-l)x+k-1=0有两个实数根Xi,x2.2*1*c*n*j*y

(1)求实数k的取值范围；

(2)若Xi,X2满足X『+X2、16+XIX2,求实数k的值.

【解答】解：(1)・・•关于x的方程乂2+(2卜1)乂+1<2-1=0有两个实数根小，x2,

(2k-1)2-4(k2-1)=-妹+5N0,解得：kW反，

4

•••实数k的取值范围为kW5.

4

(2)•••关于x的方程Y+(2k-1)x+k?-1=0有两个实数根如xz，

♦•Xi+x2-112k,Xi*X2-k-1.

222,,

XI+X2=(Xi+x2)-2XIX2=16+XIX2,

/.(1-2k)2-2X(k2-1)=16+(k2-1),IPk2-4k-12=0,

解得：卜=-2或1<=6(不符合题意，舍去).

实数k的值为-2.

16、已知关于x的一元二次方程x?-6x+m+4=0有两个实数根％,x2.

(1)求m的取值范围；

(2)若xjxz满足3XI=|X21+2,求m的值.

【解答】解：(1)关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根Xi,X2,

(-6)2-4(m+4)=20-4mN0,解得：mW5,

•••m的取值范围为mW5.

(2),关于x的一元二次方程x?-6x+m+4=0有两个实数根Xi,x2,

.*.XI+X2=6@,Xi*x2=m+4(2).

,.,3X1=x21+2,

当XzNO时，有3xi=Xz+2③，

联立①③解得：xi=2,X2=4,

...8=m+4,m=4；

当X2VO时,有3x「-x/2④,

联立①④解得：x1=-2,X2=8(不合题意，舍去).

・••符合条件的m的值为4.

17、设a、b是任意两个实数，用max{a,b}表示a、b两数中较大者，例如：max{-

1,-1]=-1,max{l,2}=2,max{4,3}=4,参照上面的材料，解答下列问题：

(1)max{5,2}=,max{0,3)=；

(2)若max{3x+l,-x+l}=-x+1,求x的取值范围；

(3)求函数y=x,-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标，函数y=x2-2x-4的图

象如图所示，请你在图中作出函数y=-x+2的图象，并根据图象直接写出max{-

x+2,x?-2x-4}的最小值.

』1一

X

4-3-2-'1卬2P456

-4

【解答】解：（1）max{5,2}=5,max{0,3}=3.

故答案为：5；3.

（2）Vmax{3x+l,-x+l}=-x+1,

•,.3x+lW-x+1,解得：xWO.

（3）联立两函数解析式成方程组，

0Y“二一X-3

尸X-2X-4,解得：12

尸-x+2〔了1=4

y2=-l

二交点坐标为（-2,4）和（3,-1）.

画出直线y=-x+2,如图所示，

观察函数图象可知：当x=3时，max{-x+2,x?-2x-4}取最小值-1.

18、已知抛物线L：y=x，x-6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），

并与y轴相交于点C.

（1）求A、B、C三点的坐标，并求AABC的面积；

（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线「，且『与x轴相交于A'、B，

两点（点A，在点的左侧），并与y轴相交于点L,要使AA"，）和4

ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式.

2

【解答】解：（1）当y=0时，x+x-6=0,解得XL-3,x2=2,

AA（-3,0）,B（2,0）,

当x=0时，y=x2+x-6=-6,

AC(0,-6),

,△ABC的面积=1・AB・OC=：X(2+3)X6=15；

(2)•.•抛物线L向左或向右平移，得到抛物线一，

：.k'B'=AB=5,

VAA,B,C和AABC的面积相等，

/.0C/=0C=6,即C'(0,-6),

设抛物线厂的解析式为y=x?+bx-6,

设A'(m,0)、B'(n,0),则m、n为方程x，bx-6=0的两根,

m+n=-b,mn=-6,

|n-m|=5,

(n-m)J25,

(m+n)2-4mn=25,

Ab2-4X(-6)=25,解得b=l或-1,

，抛物线L'的解析式为y=x2+x-6或y=x2-x-6.

19、如图，AAOB的顶点A、B分别在x轴、y轴上，ZBAO=45,且AAOB的

面积为8.

(1)直接写出A、B两点的坐标；

(2)过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C.

①若AABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；

②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N,求点N的

坐标.

y

B

【解答】解：（1）A（4,0）B（0,4）

（2）①设抛物线的解析式为y=ax?+左

由题意知C（-4,0）

把A（4,0）和B（0,4）带入y=/+左得=左，解得。

4=〃x0+kI

抛物线的解析式为丁=-工/+4

4

②抛物线y=-工犬+4向下平移4个单位后,解析式变为y=--x2

4'4

设直线AB表达式为y=kx+b

Q=4"+hk=-1

把A（4,0）B（0,4）带入表达式得,解得

4=b[b=4

直线AB表达式为y=-x+4

由抛物线和直线AB表达式组成方程组>=一公好+4,解得尸=4

y=—x+4b=°

点N的坐标（4,0）

20、在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标

互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（-3,5）与（5,-3）是一对“互

换点”.

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m,n）,求直线MN的表达式

（用含m、n的代数式表示）；

（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比例

函数y=-g的图象上，直线AB经过点P,求此抛物线的表达式.

【解答】解：（1）不一定，

设这一对“互换点”的坐标为（a,b）和（b,a）.

①当ab=O时，它们不可能在反比例函数的图象上，

②当abWO时，由b空可得a*,即(a,b)和(b,a)都在反比例函数打四(k

abx

W0)的图象上；

(2)由M(m,n)得N(n,m),设直线MN的表达式为y=cx+d(cWO).

则有［mc+f=n解得£=-l,

lnc+d=m{d=irri-n

直线MN的表达式为y=-x+m+n；

(3)设点A(p,q),则

D

♦直线AB经过点P(1,1),由(2)得卜/p+q,

.・P+Q=1,

p-^-=l，解并检验得：p=2或p=-1,

D

q=-1或q=2,

这一对“互换点”是(2,-1)和(-1,2),

将这一对“互换点”代入y=x?+bx+c得，

・•.f-b+c=2解得「=-2,

I4+2b+c=-l1c=-l

・••此抛物线的表达式为y=x2-2x-1.

21、已知抛物线Ci：y=ax2-4ax-5(a>0).

(1)当a=l时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；

(2)①试说明无论a为何值，抛物线C一定经过两个定点，并求出这两个定点

的坐标；

②将抛物线G沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线Cz，直接写出C2的表达

式；

(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.

【解答】解：(1)当a=l时，抛物线解析式为y=x2-4x-5=(x-2)2-9,

•••对称轴为y=2；

当y=0时，x-2=3或-3,即x=-l或5；

・•.抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)或(5,0)；

(2)①抛物线G解析式为：y=ax2-4ax-5,

整理得：y=ax(x-4)-5；

当ax(x-4)=0时，y恒定为-5；

•••抛物线G一定经过两个定点(0,-5),(4,-5)；

②这两个点连线为y=-5；

将抛物线C沿y=-5翻折，得到抛物线C?,开口方向变了，但是对称轴没变;

.,•抛物线C2解析式为：y=-ax2+4ax-5,

(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,

则x=2时，y=2或者-2；

7

当y=2时，2=-4a+8a-5,解得，a=-；

当y=-2时，-2=-4a+8a-5,解得，a=-；

._7Y3

•追石或不

22、已知函数丁=如2-（2〃7一5）x+〃7-2的图象与x轴有两个公共点.

（1）求机的取值范围，写出当机取范围内最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为G

①当1时，y的取值范围是3〃，求〃的值；

②函数C?：y=2（x-"）2+上的图象由函数3的图象平移得到，其顶点P落在以原

点为圆心，半径为岔的圆内或圆上.设函数3的图象顶点为M,求点P与点M距

离最大时函数C2的解析式.

0,95

解：（1）由题意可得：\r-.2解得：m<一，且加w0,

［一（2加—5）丁—4"z（m-2）>0.12

当ni=2时，函数解析式为：y=2x2+x.

（2）函数丁=2炉+》图象开口向上，对称轴为》=一!

4

.♦.当X<—」时，y随x的增大而减小.

4-

•当〃〈龙W—1时，y的取值范围是l<y4—3”，

/.2〃2+〃=—3n.

・••几=—2或〃=0（舍去）.

n=-2.

（3）:y=2x?+x=+—",

图象顶点”的坐标为由图形可知当P为射线MO与圆的交点时,

距离最大.

•••点P在直线0M上，由0(0,0),"(-士-2)可求得直线解析式为：y=-x,,

482

设P(a,b),则有a=2b,根据勾股定理可得「。2=(232+尸

求得a=2,6=1•

•,.PM最大时的函数解析式为y=2(x-2y+l.

23、已知关于x的一元二次方程(-(m-3)x-m=0

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两实根为X1、X2，且xr+x/-*因=7,求m的值.

【解答】(1)证明：：x2-(m-3)x-m=0,

-(m-3)]-_4X1X(-m)=nr-2m+9=(m-1)"+8>0>

方程有两个不相等的实数根；

2

(2)*.*x-(m-3)x-m=0,方程的两实根为％、x2,且xj+x??-*凶=7,

•*lX[+*2)-x[x2=7，

(m-3)2-3X(-m)=7,

解得，nh=l,m2=2,即m的值是1或2.

24、【探究函数y=x+&的图象与性质】

X

(1)函数y=x+2的自变量x的取值范围是；

X

(2)下列四个函数图象中函数y=x+9的图象大致是；

（3）对于函数y=x+9>求当x>0时，y的取值范围.

x

请将下列的求解过程补充完整.

解：Vx>0

y=x+y=（A/X）2+?=（Vx_2-|_

（4-品）2》0

.,.y》.

［拓展运用］

2

（4）若函数y=x-5x+9,则y的取值范围

X

【解答】解：（1）函数y=x+当的自变量x的取值范围是xWO；

X

（2）函数y=x+&的图象大致是C；

X

（3）解：Vx>0

・，・y=x+g=（Vx）2+2=（4-/"）?+4

:"舟，2’0

.•・y24・

2

(4)y=x-5x+9=x+l_5_(4)2+2.5=(4+2)2+13

xXvxVx

,**<Vx-/)220,

.•.y213.

故答案为：xWO,C,4,4,y213,

25、已知二次函数y=-2x?+bx+c图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图象

的对称轴与x轴的交点为A,M是这个二次函数图象上的点，0是原点.

(1)不等式b+2c+8N0是否成立？请说明理由；

(2)设S是△AMO的面积，求满足S=9的所有点M的坐标.

【解答】解：(1)由题意抛物线的顶点坐标(3,8),

二抛物线的解析式为y=-2(x-3)2+8=-2x2+12x-10,

.*.b=12,c=-10,

b+2c+8=12-20+8=0,

.•.不等式b+2c+820成立.

(2)设M(m,n),由题意|n|=9,

n=±6,

①当n=6时，6=-2m2+12m-10,解得m=2或4,

②当n=-6时，-6=-2m2+12m-10,解得m=3±、R,

・••满足条件的点M的坐标为(2,6)或(4,6)或(3+折，-6)或(3-V7-

-6).

26、关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中NA是锐角三角

形ABC的一个内角.

(1)求sinA的值；

(2)若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是AABC的两边长，求

△ABC的周长.

【解答】解：(1)根据题意得△=25sir?A-16=0,

,sin2A嗤

sinA=±g或I，

VZA为锐角，

sinA=-；

5

(2)由题意知,方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根,则△N0,

/.100-4(k2-4k+29)20,

-(k-2),NO,

I.(k-2)'WO,

又•:(k-2)220,

，k=2,

把k=2代入方程，得y2-10y+25=0,解得y尸y?=5,

•••△ABC是等腰三角形，且腰长为5.

分两种情况：

当NA是顶角时：如图，过点B作BDLAC于点D,在Rt^ABD中，AB=AC=5

sinA=-4,

AAD=3,BD=4.\DC=2,

.*.BC=2V5.

AABC的周长为10+2西；

当NA是底角时：如图，过点B作BDLAC于点D,在Rt^ABD中，AB=5,

sinA=-4,

，AD=DC=3,

.\AC=6.

AABC的周长为16,

综合以上讨论可知：AABC的周长为10+2遥或16.

B

27、在平面直角坐标系中，设二次函数yk(x+a)(x-a-1),其中aWO.

(1)若函数》的图象经过点(1,-2),求函数1的表达式；

(2)若一次函数y2=ax+b的图象与弘的图象经过x轴上同一点，探究实数a,b

满足的关系式；

(3)已知点P(xo，m)和Q(1,n)在函数1的图象上，若m<n,求x()的取值

范围.

【解答】解：(1)函数弘的图象经过点(1,-2),得

(a+1)(-a)=-2,解得a=-2,a=l,

函数yi的表达式丫=(x-2)(x+2-l),化简，得y=x?-x-2；

函数yi的表达式丫=(x+1)(x-2)化简，得y=x,-x-2,

综上所述：函数yi的表达式y=x2-x-2；

(2)当y=0时x?-x-2=0,解得Xi=-1,x2=2,

》的图象与x轴的交点是(-1,0)(2,0),

当y2=ax+b经过(T,0)时，-a+b=O,即a=b；

当yz=ax+b经过(2,0)时，2a+b=0,即b=-2a；

(3)当P在对称轴的左侧时，y随x的增大而增大,

(1,n)与(0,n)关于对称轴对称，

由m<n,得x0<0；

当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，

由m<n,得x0>l,

综上所述：m<n,求X。的取值范围Xo<O或Xo>l.

二次函数培优练习

1、已知抛物线y=ax，bx+c过点A(0,2).

(1)若点(-五,0)也在该抛物线上，求a,b满足的关系式；

(2)若该抛物线上任意不同两点M(xi,yi),N(X2,y2)都满足：当Xi<X2<0

时，(xi-x2)(yi-y2)>0；当0<Xi<X2时，(xi-x2)(yi-y2)<0.以原

点0为心，0A为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且AABC有一个内角

为60。.

①求抛物线的解析式；

②若点P与点0关于点A对称，且0,M,N三点共线，求证：PA平分NMPN.

2、如图，已知二次函数y=ax?+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于

点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

(1)求二次函数y=ax，2x+c的表达式；

(2)连接P0,PC,并把△P0C沿y轴翻折，得到四边形POP'C.若四边形POP'

C为菱形，请求出此时点P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标

和四边形ACPB的最大面积.

3、已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>0).

(1)证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧)，与y轴

交于点C,A,B,C三点都在。P上.

①试判断：不论m取任何正数，OP是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定

点的坐标；若不是，说明理由；

②若点C关于直线x=-£的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△

BDE的周长记为1,(DP的半径记为r,求曲勺值.

T

4、如图，已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(aWO)与x轴交于A,B

两点，直线y=x+m过顶点C和点B.

(1)求m的值；

(2)求函数yuax'+b(aWO)的解析式；

(3)抛物线上是否存在点M,使得NMCB=15°?若存在，求出点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

5、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)

两点，与y轴相交于点C(0,-3).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH±x轴于点H,与

BC交于点M,连接PC.

①求线段PM的最大值；

②当4PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.

6、如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，抛物线y=-x?+bx+c

与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P,连接PB,得APCB注

△B0A(0为坐标原点).若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点C,F间

抛物线上的一点(包括端点)，其横坐标为m.

(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；

(2)当m为何值时，AMAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；

(3)求满足NMP0=NP0A的点M的坐标.

备用图

7、如图，已知抛物线y=ax?+bx+C(aWO)的对称轴为直线x=-l,且抛物线与x

轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0),C(0,3).

(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物成的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距

离之和最小，求出点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使4BPC为直角三角形

的点P的坐标.

8、如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点，点D

与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过

点P做x轴的垂线1交抛物线于点Q,交直线于点M.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)已知点F(0,1),当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF

是平行四边形？

(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点