2020年山东省济宁市中考数学冲刺讲义：第6讲圆 教师版

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学员姓名：年级：辅导科目：数学学科教师：

授课日期授课时段

授课主题2020年山东省济宁市中考数学冲刺讲义：第6讲圆专题

1.复习圆的概念与性质

教学目标2.复习切线的判定

3.复习圆的计算公式

重点：切线的判定，扇形面积、圆与相似结合

教学重难点

难点：圆的综合题

教学内容

圆

3...........................................•:

露趣味导入

足J在一个平面内，线段OM6固定端点O

足乂旋转一周，另一端点A所形成的图形

圆的认识旋转不变性

o为圆心的国iBS-OO-

几何表示

画10

外接圆

三角形外^圆和内切圆

内切圆

点在圆上

与点的位置关系点在圆外

点在圆内

mj

圆的位置与直线的位置关系相交

相离

回W鬻

与圆的位置关系相交2,

―外离

相离

内含

圆面积、扇形面积

面神时算圆柱体、圆锥体

与圆相关的计算正多边形与圆的相关计算

直线与圆的计算

圆与圆的计算

画周角定理

与圆相关的定理国心角

垂径定理

药知识a”叱

【知识梳理】

知识点一垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

知识点二圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。

推论：1、同弧或等弧所对圆周角相等。

2、半圆(或直径)所对圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。

知识点三切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

知识点四补充定理

(1)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

(2)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

(4)割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D,则有PA-PB=PCPD

知识点五弧长和扇形面积

1、弧长公式：n。的圆心角所对的弧长1的计算公式为1=黑

low

1

2、扇形面积公式5扇=五万成2=5出(其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，1是扇形的弧长。)

3、圆锥的侧面积5=5/・2〃="/(其中1是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径。)

2

【典型例题】

考点一：求长度问题_

【例1】如图，45为。。的直径，点C在。。上，若AB=4,AC=2V2,则。到AC的距离为（）

C.V2D.2V2

【考点】M2：垂径定理.

【专题】55C：与圆有关的计算；69：应用意识.

【分析】连接BC,作OEJ_AC于E.根据勾股定理求出8C,利用三角形的中位线定理即可解决问题.

【解答】解：连接8C,作OELAC于E.

:AB是直径，

/.ZACB=90°,

:.BC=ylAB2-AC2=J42-(2A/2)2=2/,

,：OE±AC,

：.AE=EC,

'：AO=OB,

：.OE=加=V2,

故选：C.

【总结】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于

中考常考题型.

【例2】如图，BC为。。直径，弦AC=2,弦AB=4,。为。。上一点，/为上一点，MDC=DB=Dl,AI

长为（)

I

Bc

O

A.5V10-3V2B.3V10-5V2C.3V10-V2D.3V2-V10

【考点】M5：圆周角定理.

【专题】559：圆的有关概念及性质；66：运算能力.

【分析】如图，连接/C,作正，AC于E,//LAB于R/GL3C于G.首先证明点/是△A3C的内心，再利

用面积法求出IE的长即可解决问题.

【解答】解：如图，连接作ZE_LAC于E,/口LAB于R/G_L8C于G.

,:DB=DC,

：.BD=DC,NDBC=/DCB,

：.ZBAD=ZCAD,

,:DI=DC,

:・/DIC=/DCI,

VZDIC=ZDAC+ZACLZDCI=ZDCB+ZICB,ZDBC=ZDACf

：.ZICA=ZICBf

・•・点/为△ABC内心，

：.IE=IF=IG,

・・・BC是直径，

：.ZBAC=90°,

：.BC=y/AB2+AC2=V42+22=2而，

•/SAABC=j'AB«AC=^IE<AB+AC+BC),

：.IE=3-V5,

,：ZIAE=ZAIE=45°,

：.AI=V2ZE=3V2-V10,

故选：D.

【总结】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会利用面积法确定线段的长，属于中考常考题型.

【例3】如图，四边形A3CZ）是。。的内接四边形，AD=BC.若N5AC=45°,ZABC=105°,则下列等式成

立的是（）

A.AB=-CDB.AB=—CDC.AB=-CDD.AB=—CD

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】如图设AC交8D于K.首先证明△CBK的RtA,NBCK=3U°,推出KC=再利用相似三角

形的性质解决问题即可.

【解答】解：如图设AC交5。于K.

VAD=BC,

：.ZACD=ZBDC=ZBAC=45°,

：.ZDKC=90°,

9：ZBAC=ZDCK=45°,

J.AB//CD,

：.ZABC+ZBC£)=180°,

VZABC=105°,

：.ZDCB=75°,ZACB=30°,

'：ZCKB=90°,

CK=WBK,

■:NKAB=NKDC,/AKB=/DKC,

：.AAKBsADKC,

,AB_BK

・.CD-KC'

：.AB=—CD

3

故选：B.

【总结】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于中考常考题型.

【变式训练】

如图，A8是。。的直径，弦CZ）_LA8,垂足为下列结论不成立的是（）

A.CM=DMB.CB=DBC.ZACD=ZADCD.OM=BM

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理.

【专题】H：计算题.

【分析】先根据垂径定理得CM=DM，CB=DB,AC=AD,再根据圆周角定理得到而0M

与而W的关系不能判断.

【解答】解：是。。的直径，弦

：.CM=DM,CB=DB,AC=AD,

：.ZACD=ZADC.

故选：D.

【总结】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理.

考点二：求角度问题

【例1】如图，点A、B、C、D、E都是。。上的点，AC=AE,ZB=118°,则/。的度数为（）

C.124°D.122°

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质.

【专题】55C：与圆有关的计算；69：应用意识.

【分析】连接AD首先证明NAOC=NA£）E,再利用圆内接四边形的性质求出NAOC即可解决问题.

【解答】解：连接AD

月

\'AC=AE,

：./ADC=ZADE,

VZB+ZADC=180",

：.ZADC=180°-118°=62°,

：.ZCDE=2X62a=124°,

故选：C.

【总结】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知

识，属于中考常考题型.

【例2】如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，与BC的延长线交于点E,8A与C£）的延长线交于点R

/DCE=85°,ZF=28°,则/E的度数为（）

【考点】M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质.

【专题】559：圆的有关概念及性质；67：推理能力.

【分析】根据三角形的外角的性质求出根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可.

【解答】解：/B=NDCE-/F=57°,

:四边形ABC。是。。的内接四边形，

：.ZEDC=ZB=57°,

.•.ZE=180°-ZDCE-Z£Z）C=38°,

故选：A.

【总结】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的

内对角是解题的关键.

【例3】如图，四边形A8CD内接于。。厂是加上一点，且丽=元，连接CF并延长交的延长线于点E,

连接AC,若/A2C=105°，NBAC=25°,则/£的度数为()

A.60°B.55°C.50°D.45°

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M6：圆内接四边形的性质.

【专题】64：几何直观.

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出/AOC的度数，再由圆周角定理得出/OCE的度数，根据三角形外

角的性质即可得出结论.

【解答】解：：四边形A8CZ)内接于0O,ZABC=105°,

AZA£)C=180°-ZABC=180°-105°=75°.

'：DF=BC,ZBAC=25°,

：.ZDCE=ZBAC=25°,

：.ZE=ZADC-ZDCE=15°-25°=50°.

故选：C.

【总结】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键.

【例4】如图所示，半径为3的。A经过原点。和C(0,2),B是y轴左侧。A优弧上的一点，贝han8=()

Ay

B.2V2

【考点】D5：坐标与图形性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形.

【专题】11：计算题；559：圆的有关概念及性质；55E：解直角三角形及其应用；66：运算能力；67：推理能

力.

【分析】连接CZ),根据勾股定理求出O。，根据正切的定义求出tan/C。。，根据圆周角定理得到/OBC=/

CDO,等量代换即可.

【解答】解：设0A与无轴交于点D,连接CD,则CD为。A的直径,

则0D=<CD2-OC2=4V2,

由圆周角定理得，ZOBC=ZCDO,

则tan/08C=—.

4

故选：C.

【总结】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

【变式训练】

1.如图，在△ABC中，/A=70°,。。截△ABC的三条边所得的弦长相等，则N80C的度数为125°

【考点】KF：角平分线的性质；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系.

【专题】559：圆的有关概念及性质；67：推理能力.

【分析】先利用。。截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即。是△ABC的内心，从而，Z1=Z2,Z3=

N4,进一步求出/BOC的度数.

【解答】解：:△ABC中NA=70°,。。截AABC的三条边所得的弦长相等，

...O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，

.•.N1=N2,N3=N4,Zl+Z3=-(180°-NA)=-(180°-70°)=55°,

22

AZBOC=180°-(Z1+Z3)=180°-55°=125

故答案是：125°.

【总结】本题考查的是角平分线的性质，垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，比较简单.

2.如图，是。。的直径，点C,。在。。上.若NAB£）=40°,则/BCD的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【考点】M5：圆周角定理.

【专题】559：圆的有关概念及性质；67：推理能力.

【分析】根据圆周角定理得到/4。=/&8。=40。、ZACB=90°,结合图形计算，得到答案.

【解答】解：由圆周角定理得，ZACD^ZABD^40°,

是。。的直径，

AZACB=90",

：.ZBCD^90°-40°=50°,

故选：C.

【总结】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半、直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

3.如图，四边形48a（内接于。O,延长A。交。。于点连接BE.若NC=100°,ZDAE^5Q°,则NE的

A.50°B.60°C.70°D.80°

【考点】M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质.

【专题】559：圆的有关概念及性质；66：运算能力.

【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：：四边形ABC。内接于。O,ZC=100°,

：.ZDAB=80°,

：ND4E=50°,

：.ZEAB=3Q°,

是。。的直径，

AZABE=90°,

...NE=90°-30°=60°,

故选：B.

【总结】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

考点三：求最值问题

【例1】如图，。。的半径为5,弦AB=8,尸是弦A8上的一个动点（不与A、2重合），则。尸的最小值是（）

【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；559：圆的有关概念及性质；67：推理能力.

【分析】作0CLA8于点C,连接根据垂线段最短，知OP最短为AB弦的弦心距的长度，由垂径定理和

勾股定理即可得出答案.

【解答】解：作。C_LAB于点C,连接OA,如图所示：

则AC=|AB=4,

'：OA=5,

：.OC=Vox2-XC2=7s2—42=3,

则OP的最小值是3；

故选：B.

【总结】本题考查了垂径定理、勾股定理以及垂线段最短的性质；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.

【例2】如图，点A是半圆上的一个三等分点，点8为弧AD的中点，P是直径上一动点，。。的半径是2,

则PA+PB的最小值为()

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；PA：轴对称-最短路线问题.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】首先作A关于的对称点。，连接B。，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答.

【解答】解：作A关于MN的对称点。，连接C。，BQ,BQ交CD于P,此时AP+PB=QP+P3=Q2,

根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，

连接O。，0B,

；点A是半圆上的一个三等分点，

AZACZ)=30°.

弧中点，

：.ZBOD=ZACD=30°,

.•./QO£)=2N0Cr>=2X3O°=60°,

：.ZBOQ^30°+60°=90°.

:。。的半径是2,

：.OB=OQ=2,

：.BQ=JOB2+OQ2=2V2,即PA+PB的最小值为2立.

故选：D.

【总结】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两

点之间线段最短解答.

【例3】如图，C是以为直径的半圆。上任意一点，48=3,则aABC周长的最大值是（）

A.2V2+3B.3V2+3C.273+3D.9

【考点】M2：垂径定理.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】当点C在血中点时，△ABC周长最大，然后根据42=3计算即可.

【解答】解：..乂台为直径，

AZACB=90°,

：.AC2+BC2^AB2=32=9,

AC+BC^y/AC2+BC2+2AC-BC=19+4x|XC-BC=79+4s“CB'

当SAABC最大时，AC+BC最大，

13

'：S^ABC=^AB>CD=^CD,

当点C在血中点时，CD=CO=1AB=I为最大，

此时SMBC最大，S^ABc=fCD=|x|=p

Z224

即AC+BC最大=19+4x：=3V2,

AABC周长的最大值=AC+8C+A8=3V2+3.

故选：B.

【总结】本题考查了周长的最大值，熟练掌握勾股定理与圆的性质是解题的关键.

【例4】如图所示，在。。中，为弦，OCLAB交AB于点。.且OD=Z）CP为。。上任意一点，连接R1,

PB,若。。的半径为1,则S△曲的最大值为（）

【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理.

【专题】559：圆的有关概念及性质；64：几何直观.

【分析】连接如图，利用垂径定理得到AD=BD,AC=BC,再根据OD=DC可得到0D=10A=|,所

以AO=今NAOD=60°,贝根据圆周角定理得到NAPB=NAOC=60°,当点尸为A8所的优弧

的中点时，△APB的面积最大，此时△AP8为等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：连接如图，

,：OC1AB,

:.AD=BD,AC^BC,

"：OD=DC,

：.0D^-OA=

22

：.AD=V3OD=y,

AZAOD=60°,AB=V3,

；.NAPB=/AOC=60°,

当点尸为AB所的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时△APB为等边三角形，

...△APB的面积的最大值为fx(V3)2=乎.

44

【总结】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理.

【变式训练】

1.如图，在平面直角坐标系中，C(0,4),A(3,0),。4半径为2,尸为。A上任意一点，E是PC的中点，则

。£的最小值是()

C.2D.V2

【考点】D5：坐标与图形性质；K6：三角形三边关系；KX：三角形中位线定理；M8：点与圆的位置关系.

【专题】25：动点型；559：圆的有关概念及性质；64：几何直观.

【分析】如图，连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH.利用三角形的中位线定理可得EH=1,推出点E

的运动轨迹是以“为圆心半径为1的圆.

【解答】解：如图，连接AC,取AC的中点H,连接E”，OH.

,:CE=EP,CH=AH,

1

：.EH=-PA^1,

2

，点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆,

VC(0,4),A(3,0),

：.H(1.5,2),

：.OH=J22+L52=2.5,

.•.OE的最小值=OH-EH=2.5-1=1.5,

故选：B.

【总结】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

2.如图，已知。。的半径为5,P是直径A8的延长线上一点，BP=2,是。。的一条弦，CD=6,以PC,PD

为相邻两边作平行四边形PCED当C、D点在圆周上运动时，线段尸£长的最大值为（）

【考点】KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理.

【专题】11：计算题；559：圆的有关概念及性质；66：运算能力；67：推理能力.

【分析】连接。C.设CD交PE于点K,连接OK.求出OK,OP的值，利用三角形的三边关系即可解决问题.

【解答】解：连接。C.设CD交PE于点、K,连接。K.

,/四边形PCED是平行四边形，

:.EK=PK,CK=DK,C£)=6,

：.OK±CD,

在Rt/XCOK中，；0C=5,CK=3,

：.0K=7s2—32=%

'：OP=OB+PB=1,

：.7-4WPKW7+4,

.•.3WPKW11,

，PK的最小值为3,最大值为11,

...PE的最大值为22,

故选：B.

【总结】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.

3.如图，OA的半径为2,B,C在0A上且NBAC=120°,若点P,Q,R分别为BC,AC、A8上的动点，则

PR+PQ的最小值为()

宓

A.2-V3B.V3-1C.1D.V3

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；PA：轴对称-最短路线问题.

【专题】25：动点型；559：圆的有关概念及性质.

【分析】如图，作8HLCA交CA的延长线于连接刑.当PQLAC时，PR+PQ的值最小，利用

面积法证明PR+PQ=BH即可.

【解答】解：如图，作B”_LCA交C4的延长线于H.连接出.

在RtZXABH中，VAB=2,ZBAH=60°,

：.BH=AB-sm6Q0=V3,

SPR±AB,PQ_LAC时，PR+P。的值最小，

111

'."SAABC^-'AC'BH=--AB-PR+-'AC'PQ,

：.PR+PQ=BH=V3,

故PR+PQ的最小值为旧，

故选：D.

【总结】本题考查解直角三角形的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

4.如图，以直角坐标系原点。为圆心作圆，交x轴正半轴于点A,交y轴正半轴于点C,正比例函数y=依鼠＞0)

的图象与。。分别交于点8、D,若A(2,0),则四边形ABC。面积的最大值为口

【考点】F4：正比例函数的图象；F8：一次函数图象上点的坐标特征；M2：垂径定理.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；559：圆的有关概念及性质.

【分析】连接AC，由题意得出。。=。4=2,20=204=4,证出△A0C是等腰直角三角形，得出

=2V2,当AC_LB。时，四边形ABCZ)的面积最大=/0<8。=4鱼.

【解答】解：连接AC,如图所示：

VA(2,0),

：.OA=2,

：.OC=OA=2,BD=2OA=4,

VZAOC=90°,

/.AAOC是等腰直角三角形，

r.AC=V2OA=2V2,

当AC±BD时，四边形ABCD的面积最大=^ACXBD=|x2&x4=4&；

故答案为：4V2.

【总结】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、四边形面积的计算以及最值问题；熟练

掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键.

考点四：切线的有关证明

【例1】如图，在。。中，A8是直径，且46=10,点。是。。上一点，点C是丽的中点，CEL48于点E,过

点。的切线交EC的延长线于点G,连接A。，分别交CE、于点尸、Q,连接AC,OP,CO.关于下列结

论：①NBAD=/ABC；②GP=GD；③点尸是△AC0的外心；④点尸是△AOC的内心；⑤若CB〃GD,则

。尸=卓.正确的个数有()

E0。

A.2B.3C.4D.0

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；MC：切线的性质；MI：三角形的

内切圆与内心.

【专题】559：圆的有关概念及性质；69：应用意识.

【分析】①用反证法什么结论错误即可.

②想办法证明NGPO=NG£)P,可得结论.

③想办法证明AP=PQ,可得结论.

④说明NC4尸与/ZM8不一定相等，即可判断本结论错误.

⑤证明△AOC是等边三角形，求出。尸即可判断.

【解答】解：不妨设则丽=前，

'：AC=CD,

：.AC=CD=BD,这个显然不符合题意，故①错误,

•••GD是。。的切线，

：.OD±DG,

：.ZODG=90°,

・・・NG0P+NOZM=9O°,

•：GE：LAB,

：.ZAEP=90°,

：.ZPAE+ZAPE=90°,

9：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

・・•NAPE=/GPD,

:・/GDP=/GPD,

：.GP=GD,故②正确，

'：AB是直径，

ZACB=90°,

VZACP+ZBCE=9Q°,NBCE+NABC=90°,

ZACE=ZABC,

U：AC=E,

：.ZCAP=ZABC,

：.ZPAC=ZPCA,

：.PC=PA,

VZAQC+ZCAP=90°,ZACP+ZPCQ=90°,

：.ZPCQ=ZPQC,

:・PC=PQ,

：.PA=PQ,

VZACQ=90°,

・・・点尸是△AC。的外接圆的圆心，故③正确，

・・,丽与皿不一定相等，

ZCAP与ND4B不一定相等，

・•・点尸不一定是△AOC的内心，故④错误，

9：DG//BC,ODLDG,

：.OD±BCf

：.CD=BD,

V4C=CD,

：.AC=E=前,

：.ZAOC^ZCOD=ZDOB=60°,NCAO=NZMB=30°

'：OA=OC,

...△OAC是等边三角形，

'：CE±OA,

：.ZACE=ZOCE,

点尸是△AOC的外心，

•••OP=AP=PC==备="，故⑤错误，

cos300见5

故选：A.

「E0。

【总结】本题考查切线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

【例2】如图所示，以△ABC的边A8为直径作。。，点C在。。上，8。是。。的弦，NA=/CBD,

过点C作于点F,交于点G过C作CEHBD交AB的延长线于点E.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)求证：CG=BG；

【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质.

【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力.

【分析】(1)连接OC,先证得配=发，根据垂径定理得到。CL2D,根据“〃3。推出OCUCE,即可得

到结论；

(2)根据圆周角定理得出NACB=90°,然后根据同角的余角相等得出/A=N8CR即可证得乙BCR=/CB£),

根据同角对等边即可证得结论；

(3)连接A。，根据圆周角定理得出NAZ)B=90°,即可求得NBAD=60°,根据圆周角定理得出/ZMC=N

BAC=30°,然后根据三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE的值.

【解答】(1)证明：连接OC,

ZA=ZCBDf

：.BC=DC,

：.OCLBD,

•:CE//BD,

：.OCLCE,

・・・CE是。。的切线；

(2)证明：为直径，

ZACB=90°,

VCF±AB,

ZACB=ZCFB=9Q°,

/ABC=/CBF,

：.NA=NBCF,

'：ZA=ZCBD,

:・/BCF=/CBD,

：.CG=BG；

(3)解：连接A。，

TAB为直径，

ZADB=90°,

9：ZDBA=30°,

：.ZBAD^60°,

\9BC=DC,

1

ZDAC=ZBAC=-ZBAD=30°,

2

：.—=tan30°=—,

AC3

■:CE//BD,

：.ZE=ZDBA=30°,

：.AC=CE,

.BC_V3

.・CE-3，

VZA=ZBCF=ZCBD=30°,

：.ZBCE=30°,

：.BE=BC,

:.ACGBsACBE,

.CG_BC_

*'BC~CE_3'

VCG=8,

.,.BC=8V3,

：.BE=8』.

【总结】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定和性质以及三角形相似的判定和性质，作出辅助线构

建直角三角形是解题的关键.

【例3】如图，己知。。是△ABC的外接圆，且BC为。。的直径，在劣弧死上取一点使前=检，将△AOC

沿对折，得到连接CE.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若CE=WCD,劣弧前的弧长为无，求。。的半径.

【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；ME：切线的判定与性质；MN：弧长的计算；PB：

翻折变换(折叠问题).

【专题】16：压轴题；31：数形结合；64：几何直观.

【分析】(1)在中，根据三角形内角和为180°,则2a+22+2丫=180°,即可求解；

(2)证明四边形AMCN为矩形，CN=3CE=gx=AM,而尤，则sin/ABM=*即NABM=60°,即可

求解.

【解答】解：(1)VCB=AB,：.ZCAD=ZBCA=a=ZEAD,

设：ZDCA=ZDEA=^,ZDCE=ZDEC=y,

则△ACE中，根据三角形内角和为180°,

.,.2a+2p+2y=180°,

.•.a+p+y=90°,

；.CE是。。的切线；

(2)过点A作延长AD交CE于点N,

则DNLCE,.•.四边形AMCN为矩形，

设：AB=CD=x,贝!]CE=A,

贝ijCN=|CE=^-x=AM,而AB=x,

则sinZABM=y,；.ZABM=60°,

...△OAB为等边三角形，即NAOB=60°,

CD=AB=史-x2兀厂=兀，

360°

解得：r=3,

故圆的半径为3.

【总结】本题主要考查的是圆切线的基本性质，涉及到弧长的计算、三角形内角和知识等，综合性较强，难度

较大.

【变式训练】

1.如图，在。。中，是直径，点。是。。上一点，点C是弧的中点，CELAB于点E,过点。的切线交

EC的延长线于点G,连接A。，分别交CE,于点PQ.连接AC,关于下列结论：®ZBAD=ZABC；②GP

=GD；③点尸是△AC。的外心，其中正确结论是()

n

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；MC：切线的性质.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；67：推理

能力.

【分析】连接BD,由G。为圆。的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到再由AB

为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到为直角，由CE垂直于A8,得到NAE尸为直角，再由

一对公共角，得到三角形APE与三角形A3。相似，根据相似三角形的对应角相等可得出/APE等于NAB。，

根据等量代换及对顶角相等可得出利用等角对等边可得出GP=GD,选项②正确；由直径

A3垂直于弦CR利用垂径定理得到A为弧CP的中点，得到两条弧相等，再由C为弧的中点，得到两条

弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出NCAP=/ACP,利用等角对等边可得

出又AB为直径得到/AC。为直角，利用等角的余角相等可得出/PCQ=/PQC,得出CP=P。，

即尸为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确.

【解答】解：•••在。。中，A8是直径，点。是。。上一点，点C是弧的中点，

.,.弧4。=弧4。#弧

:./BADW/ABC,选项①错误；

连接B。，延长CE交。。于凡如图所示：

:.NGDP=NABD,

又AB为圆。的直径，

；./ADB=90°,

'：CE.LAB,

：.ZAEP=90°,

ZADB=ZAEP,又4PAE=/BAD,

：.AAPF^AABD,

：./ABD=ZAPE,又NAPE=ZGPD,

:.NGDP=NGPD,

：.GP=GD,选项②正确；

:直径A8_LCE,

为弧CF的中点，即弧4/=弧4。

又C为弧AD的中点，

...弧?^=弧CD,

.•.弧人F=弧。9,

J.ZCAP=ZACP,

C.AP^CP,

又AB为圆。的直径，

ZACQ=90°,

：.ZPCQ=ZPQC,

:.PC=PQ,

：.AP=PQ,即尸为RtAACQ斜边AQ的中点，

：.P为RtAACQ的外心，选项③正确；

故选：C.

【总结】此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌

握性质及定理是解本题的关键.

2.如图，以△ABC的BC边上一点。为圆心的圆，经过A,8两点，且与8C边交于点E,。为弧BE的中点，连

接交BC于尸，AC=FC,连接2D.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)已知。0的半径R=5CHI,AB8cm,求△A3。的面积.

D

【考点】M2：垂径定理；ME：切线的判定与性质.

【专题】55A：与圆有关的位置关系；66：运算能力；67：推理能力.

【分析】(1)连接。4、0D,求出/。+/。f£>=90°,推出/CAP=/C必，ZOAD=ZD,求出

C4尸=90°,根据切线的判定推出即可；

(2)过点B作BGLAD于G,根据勾股定理得到8D=VOB2+OD2=V52+52=5vLBG=AG=4vL又

根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接。4,OD.

:点。是弧BE的中点，

：.ZBOD=ZEOD=90°,

：.ZODF+ZOFD=9Q°

又•.,/OFO=NAFC,

：.ZODF+ZAFC^90°

又；AC=",

ZAFC^ZCAF,

'：OA^OD,

：.ZODF=ZOAF,

：.ZOAF+ZCAF=90°,

即/OAC=90°,

故AC是。。的切线；

(2)解：过点2作于G,

'：ZBOD=9Q°,OB=OD=R=5,

：.BD=VOB2+OD2=7s2+52=5V2,

:点。是弧BE的中点，

：.ZBAD=45°,

VZAGB=90°,

AZABG=ZBAD=45°,BPBG=AG.

：.2BG2=AB2=S2,

：.BG=4G=4近

又,：DG=7BD2-BG2=J(5V2)2-(4A/2)2=3版,

：.AD=4G+DG=4V2+3V2=7V2

故SAABD=^AD-BG=|x7V2x4V2=28(a??).

【总结】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理

和计算的能力.

3.如图。。的直径AB=10c〃z,弦BC=6cm,NACB的平分线交。。于。，交A8于£,尸是A2延长线上一点，

且PC=PE.

(Z)求证：PC是。。的切线；

(2)求AC、4。的长.