2020年理数高考核心知识基础回归

目录

（一）集合

（二）常用逻辑用语

（三）算法初步

（四）复数

（五）统计、统计案例

（六）函数的概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幕函数）

（七）导数及其应用

（A）基本初等函数n（三角函数）、三角恒等变换、解三角形

（九）平面向量

（十）数列

（十一）不等式

（十二）推理与证明

（十三）立体几何

（十四）解析几何

（十五）计数原理

（十六）概率、期望与方差

（十七）参数方程与极坐标、不等式选讲

(一)集合

【考纲要求】

考点要求

集合的含义、元素与集合、全集与空集、了解

包含与相等的含义、并集、交集、补集的含义、韦恩(Venn)图理解

考点一：集合及其表示：

1.(1)已知集合4={0,1,2},则集合yGA}中元素的个数是()

A.1B.3C.5D.9

(2)已知集合4={°+2,3+1)2,/+3°+3},若1GA,则2015a的值为

点评：①准确运用列举法、搭述法表示集合；

②理解集合中元素的性质特征，特别是互异性.

考点二：集合间的基本关系：

2.(1)已知集合M=卜|y=Jx-1},A^={x|y=log2(2-x)),JJIOCR{MA()

A.[1,2)B.(^O,1)U[2,-H»)C.[0,1]D.(-oo,0)U[2,+oo)

(2)非空集合SQ{1,2,3,4,5},且满足“若aeS,则6—awS"，这样的S共有个.

点评：①空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集.

②含有〃个元素的集合的子集的个数为2".

考点三：集合的基本运算：

3.若全集。={%£耳/<4},则集合A={XERk+的补集C/4为().

(A)R|0<x<2}(B)|XGR|0<X<21

(C)|XGR|0<x<2}(D)GR|0<x<2}

4.设全集U=R,A={x|2以%")〈I},B={x\y=ln(l-x)}f则图中阴影充分表示的集合为()

A.{x|x>l}B.{%|0<%<1}

C.{x|l<%<2}D.{x|x<l}

点评：准确运用数轴、Venn图进行集合的运算.

5.已知集合A=|xeR||x+2|<3j,集合3={R|(x-zn)(%-%,且AnB=(-l,n),则

m=,n=.

6、集合A={x|(x+l)(x—6)W0}，8={x|m—1WXW2加+1}.若，则实数机的取值范围为.

点评：ACB=AOAUB,AUB=A<4A2B

7.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮

球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.

8.设A是整数集的一个非空子集，对于左wA,如果左-且左+1WA,那么左是A的一个“孤立元”，

给定S={1,2,3,4,5,6,7,8,},由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.

（二）常用逻辑用语

【考纲要求】

考点要求

四种命题、逻辑联结词“或”、“且“、“非”的含义了解

充要条件、全称量词与存在量词的意义及其否定理解

考点一：四种命题的关系及其真假判断

1.下列命题中错误的是（）

A.若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“7为真命题

B.命题“若a+077,则。H2或匕H5”为真命题

C.命题尸：三无>0,sinx>2*-l,则为V无>0,sinxW2*-l

D.命题“若好―％=o,则x=0或x=l”的否命题为“若必―％=0,则XHO且XHI”

2.下列命题为真命题的是（）

A.命题“若x>y,则的逆命题B.命题“若贝卜<1”的否命题

C.命题“若x=l,则尤2—%=0”的否命题D.命题“若。〉6,则上<!”的逆否命题

ab

点评：1、先把原命题改写成“若p则q”的形式，然后找出条件0和结论q,根据逆命题：“若g则。”，

否命题：“若则r/',逆否命题：“若rq则rp”写出其他三个命题.对于含有大前提的命题，

改写时大前提不变.

2、判断命题的真假，可直接判断，如果不易判断，可根据互为逆否命题的两个命题是等价命题来

判断；原命题与逆否命题是等价命题，否命题与逆命题是等价命题.

3、注意命题的否定和否命题的区别，前者只需否定结论，而后者条件和结论均要否定。

考点二：充分必要条件的判定

3.“a=2”是，函数〃%）=三+ta+l在区间［―l,+oo）上为增函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

4.若ZeR,则上〉3是方程上---匚=1表示双曲线的（）

k—3k+3

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设命题p：14x-31<1；命题q:X?-（2a+l）x+a（a+l）<0.若是的必要而不充分的条件,

则实数。的取值范围是.

点评：1、关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；

由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A=则A是B的充分条件;

若3=则A是B的必要条件；若人=8,则A是B的充要条件。

2、等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.

考点三：含有一个量词的命题的否定

6.已知命题pF"EN,n+—<4,则->。为（）

n

—〉4

A.BnGN,n+—>4B.VnGN,C.GN,n+—>4D.VneN,n+—>4

nnnn

点评：1、全（特）称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全（特）称命题的否定是将其全称量词

改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可.

2、要判断「夕的真假，可以直接判断，也可以判断夕的真假，利用夕与「P的真假相反作出判断.

考点四：全称命题与特称命题的真假判定

7.不等式组的解集为口,有下面四个命题：

x-2y<4,

Pi:V（x,y）eD,x+2y>-2,p2:3（x,y）eD,x+2y>2,

P3:V（x,y）eD,x+2y<3p4:3（x,y）eD,x+2y<-l,

其中的真命题是（）

A.p2,p3B.Ppp?C.Pi，。？D.P],04

8.设命题p:Vxw（O,+8）,3">2工；命题q:3xe（fo,0）,3x>2x,则下列命题为真命题的是（）

A.p/\qB.p八（一q）C.（—/?）AqD.（—；/?）△（—

点评：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合"中的每个元素X验证0（x）成立；但要判定

全称命题是假命题，只要能举出集合〃中的一个x=x。，使得p（x。）不成立即可（这就是通常所说的

“举出一个反例”）.要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x=x。,

使p（x。）成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.

（三）算法初步

【考纲要求】

到引用源。，则输出的错误!未找到引用源。（）

A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。

牖

3.下边程序框图的算法思路源，于我国古代数学名著《九章算术》中的“更

相减损术执行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=w:叫匠,一司（结」）

一[

（）

A.0B.2C.4D.14

4.程图如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）

1开始1

1

/a入函出⑶/

<

</输入…,喙/

是1|6="=2]

圭语占

A./（%）=xtanxB.f（x）=xcx否

J\/-2<7>20172>

C./（x）=x+21nxD./（x）=x-sinx「标

F=b+sin—

_______2^

i

出尸/

5.设%,a,go*是数列1,2,…，2017的一个排列，观察如图所示的程L

2磔

序框图，则输出的方的值为（）

A.2015B.2016C.2017D.2018

呼

6.执行如下图所示的程序框图,输出错误!未找到引用源。的值为（）

.1=网

（开始卜11n=],$二0丁$=+历―

।——।X

n—1♦1n=2L1吨+U

2

A.1B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。-----工

1晨山

错误!未找到引用源。

D.否

盅

7.执行如图所示的程序框图，若输出的错误!未找到引用源。，则输入的错误!未找到引用源。为（）

A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

8..执行下图的程序框图，则输出的错误!未找到引用源。为（）

A.9.B.11C.13D.15

（四）复数

【考纲要求】

考点要求

复数的代数表示法及几何意义，力口、减运算的几何意义，复数代数形式的四则运算了解

复数的基本概念、复数相等的充要条件理解

考点一：复数的有关概念

1.若==2i+3（，为虚数单位），则2+葡=（）

1-Z11

A.6B.50C.5V2D.734

2.对任意复数z=x+yi（x,ywR）,i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.|z-z|=2yB.z2=x2+y2C.|z-z|>2xD.|z|<|x|+|y|

点评：⑴定义复数：形如a+勿•的.数叫做复数，通常记为2=。+历,（复数的代数形式），其中，叫虚数

单位，a叫实部，b叫虚部（虚部也是实数），数集C={a+初叫做复数集。

规定：a+bi=c-\-di<^>a=cHb=d,强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

⑵定义虚数：a+bi,3w0）叫做虚数，4,（bw0）叫做纯虚数。

⑶共机.复数：「两复数a+bi与a-bi叫做互为共朝复数，z的共朝复数记为z。当时，它们叫做共机

虚数。

⑷复数的模：z=a+bi(a,bGR),则忖=J/+/

-实数（b=0）

⑸数集的关系：复数Z,一般虚数（b^O,a^O）

虚数（bwO）<

、纯虚数（bwO,a=O）

(6)复数是实数r的条件：®z^a+bi^R<^>b=Q{a,b^R);②ZEROZ=Z;③ZEHOZN'CL

（7）复数是纯虚数的条件：①2=Q+初是纯虚数0.=0且bwO（a,b£R）;

②Z是纯虚数OZ+Z=0（zW0）；③z是纯虚数OZ?<0.

考点二：复数的几何意义

3.若复数Z满足|N—i区收（i为虚数单位），则N在复平面内所对应的图形的面积为.

点评：（1）复平面：以x轴为实轴，y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。复数与复平面内

的点一一■对应。实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

注意：人们常将复数z=a+6说成点Z或向量0Z,规定相等的向量表示同一复数。

⑵复数的加（减）法运算及几何意义：

复数加法的几何意义：复数的加（减）法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）

考点三：复数的运算

门-A2011

4.，为虚数单位，则产=()

A.-irB.-1C.iD.1

点评：(1)复数运算公式：设z2=c+di(a,b,c,deR),贝寸

4±z2=(a±c)+(b±d),,2隆2+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,卫二℃bdJc-ad0。).

2222

一z2c+dc+d

222222

⑵几个重要的结论：(1)fz1+z2l+lz1-z21=2(||+|z2|);(2)z-z=|2|=|z|;

(3)(1±Z)2=±2Z；(4)—=i,-=-z;(5)z4n=1,z4n+1=i,i4n+2=-1,z4n+3=-i(neN);

1-i1+z

（五）统计、统计案例

【考纲要求】

考点要求

抽样方法，散点图，变量间的相关关系，最小二乘法的思想，回归分析，独立性检验。了解

样本估计总体的思想，频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，平均数，方差、标准理解掌握

差，回归方程。

考点一：抽样方法：

1.（1）某小礼堂有25排座位，每排有20个座位.一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解

有关情况，留下座位号是15的25名学生.这里运用的抽样方法（）

A.抽签法B.随机数表法C.系统抽样D.分层抽样

（2）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁

四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、

乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数双为（）

A.101B.808C.1212D.2012

ri

点评：用分层抽样的方法从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，抽样比为—.

N

考点二：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图：

2.(1)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)频率/组距

数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a.若0.035

要从身高在［120,130)，［130，140)」140,150］三组内的学生中,0.020

0.01G

用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在［140,150］0.005

O

内的学生中选取的人数应为100110120130140150身高

(2)在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是

V频率

89

9I

*6

«35

67

(3)某市教育行政部门为了对2012届高中毕业生的学业水平进行评价，从该市高中毕业生中抽取

1000名学生的数学成绩作为样本进行统计，其频率分布直方图如图所示.则这1000名学生的

数学平均成绩的最大可能值为.

频率

点评：在频率分布直方图中，取纵坐标为军

组距

频率，且总面积为1.

考点三：用样本估计总体：

3.(1)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将

其成绩(均为整数)分成六段［40,50),［50,60),…，［90,100］后画

出如图的频率分布直方图.根据该图估计这次考试成绩的中位数

为，众数,平均数

(2)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的

茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()

A.46,45,56B.46,45,53

C.47,45,56D.45,47,53

(3)样本(%,尤2，，无“)的平均数为了，样本(x，%，y,“)的平均数为y(xwy)，若样本，w，，龙"

--1

%，%，%)的平均数2=。X+(1—a)y，其中则n,m的大小关系为()

A.n<mB.n>mC.n=mD.不能确定

点评：①估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）

估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.

估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

②标准差：S:卜7）2+区＜）2+…+（=-X）2；

方差.g_（"1_X）~+（“2_X）------（X”—x）2

n

考点四：回归分析：

4.（1）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数

据（xj,yj）（i=l,2,n）,用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论中不亚礁的

是（）

A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（输，7）

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg

（2）设（须，%）,（%,%）,...,（毛，%）是变量1和y的〃个样本点,

直线’是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）

A.%和》的相关系数为直线/的斜率

B.x和y的相关系数在o到1之间

c.当〃为偶数时，分布在/两侧的样本点的个数一定相同

D.直线/过点（羽丁）

点评：①回归直线方程：y=bx+a,其中a=y—版.

②相关系数r,其正负表示两个变量的正负相关.

③相关指数R2,用来刻画回归的率果，越大拟合效果越好

考点五；独立性检验

5.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩,

得到如下所示的列联表：

优秀非优秀总计

甲班10b

乙班C30

总计105

2

己知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为早则下列说法正确的是（）

羌老八代Mad—b*

多芍z."：A—g+b）（c+①3+c）（b+m

附表：

P（%*0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

A.列联表中c的值为30,6的值为35B.列联表中c的值为15,6的值为50

C.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”

D.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系

(六)函数的概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幕函数)

【考纲要求】

考点要求

构成函数的要素，定义域、值域，函数的表示，映射，奇偶性，简单分段函数，反函数，了解

换底公式，塞函数，函数的零点，函数模型，应用图像研究性质

单调性，最值及几何意义，函数图像，嘉的运算，对数的概念及运算性质，二次方程根理解掌握

的分布

考点一：函数的概念及表示:

1.函数/(%)=)一的定义域为()

“。.尤)一

A.(0,1)B.(2,+8)C.(0,1)U(2,w)D.(0,g]U[2,w)

l+log?(2-x),x<l,

2.设函数/(%)=<2-，i,,/(-2)+/(log212)=()

A.3B.6C.9D.12

3：—则满足/(/①))=2")的取值范围是(

3.设函数/(%)=<)

2,x21.

2

A.q,1]B.[0,1]C.[j,+oo)D.[1,+co)

-x+6,x<2,、

4.若函数=1(〃>0且QW1)的值域是r[4,+8),则实数a的取值范围

3+log。x,x>2,

是_______________

点评：①分段函数是一类重要的函数模型，是高考中经常考查的内容.

②函数定义域的求法：分式的分母不为0;偶次根式的被开方数非负；对数的底数大于0且

不等于1,真数大于0;零次幕的底数不为0.

③复合函数问题的处理方法主要有：整体代换。

考点二：函数的基本性质：

5.设函数/(x),g(x)的定义域为R,且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()

A./(x)g(x)是偶函数B.|/(x)|g(x)是奇函数C.7(x)|g(x)|是奇函数D."(x)g(x)|是奇函数

6.已知函数/(%)=<'则下列结论正确的是()

cosx,x<0

A.7(x)是偶函数B.7(x)是增函数C.7(x)是周期.函数D./(x)的值域为［―L+oo)

7.设函数/(x)=ln(l+|x|)——二，则使得/(x)>/(2x—1)成立的龙的取值范围是()

1+x-

(x-a)2,x<0,

8.f(x)=\i若/(O)是/(%)的最小值，则。的取值范围为().

xH--ka,x>0,

.(A)[-l,2](B)[-l,0](C)[l,2](D)[0,2]

9.已知偶函数在［0,+8)单调递减，"2)=0.若/卜-l)>0,则%的取值范围是.

点评：

(-)函数的奇偶性与对称性

1、奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称；

2、若函数/(X)满足/(〃+%)=/(〃一%),即/(2〃一%)=/(%),则/(X)的图象关于直线尤=々对称;

3、满足条件f(x+a)=f(b-x)的函数的图象关于直线x=对称；

满足条件/(%+〃)+/(〃一%)=(?的函数的图象关于点对称.

4、点(x,y)关于y(x)轴的对称点为(一%,丁)((x,-y))；

函数y=关于y(%)轴的对称曲线方程为y=/(-X)(丁=一/(%))；

5、点(x,y)关于原点的对称点为(一九，一y)；函数y=/(x)关于原点的对称曲线方程为y=-7(-x);

6、点(x,y)(或曲线)关于直线/对称时，若直线的斜率为±1,则可用互换的方法求解

如：点(2,3)关于直线/:X—y—2=0的对称点为.

否则只能用中点和斜率的方法求解.

如：若函数y=+%与丁=的图象关于点(23)对称，则g(%)=o

(二)函数的周期性

1>函数/(X)满足/(x+a)=-/(x)(或/(x+a)=----)(。工0),则/(%)是以2。的周期的

/(x)

周期函数.

2、若y=/(x)图像有两条对称轴x=a,x=Z?(awZ?),则y=/(x)必是周期函数，且一周期

为T=2|a—切；

3、若y=/(x)图像有两个对称中心A(a,0),3(仇0)(。/人)，则y=/(x)是周期函数，且一周期

为T=2|a—切；

4、如果函数y=/(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴％=6(。wb),则函数y=f(x)必是周期

函数，且一周期为T=4|a-b|；

即函数如有两个对称中心(两条对称轴)或一个对称中心和一条对称轴，则必为周期函数.

自变量的和为常数，则函数具有对称性；自变量的差为常数，则函数具有周期性

(=.)函数单调性的判断方法：

(1)定义法(取值一作差一变形一定号)；(2)图象法(适用于选择填空题)；(3)导数法(在区间

(。力)内，若总有r(x)>0,则/(x)为增函数；反之，若/(%)在区间(。力)内为增函数，贝|/''(x)20,

请注意两者的区别所在；(4)复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减.

如：(1)已知函数-㈤;在区间工+co)上是增函数，则。的取值范围是.

(2)函数y=x+2cosx在(0,万)上的单调递减区间为.

(3)若函数/(幻=，+2(。—l)x+2在区间(—00,4］上是减函数，那么实数。的取值范围是

考点三：指数和对数的运算：

1--

10.(1)计算(1g1—坨25)+10。2=

1

(2)已知x=lrm,y=log52,2=e"贝!J)

A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

11.已知为正实数，则)

1§xlsy

A21g工+京^—2lgx+2lsyB2ig(*+y)—2•2

Q21g^*1gj_2lgx+2lsyD.2lg(xy)=2lgx*2lgv

点评：①分数指数指与根式的互化77=武(m,neN).

M

②对的运算法则log”(V•N)=log”M+log”N；log。—=log”M—log”N；

log”Mn=nlog。M(〃£H)和换底公式log。b=(。>0,且awl；c>0,且cwl；b>。).

-Jlogctz

考点四：指数函数与、对数函数和幕函数的图象与性质：

12.(1)在同一直角坐标系中，函数/(%)=%"(%20),g(x)=log”X的图像可能是()

(2)当040；时，Hog/,则。的取值范围是

A.(0,*)B.咨，1)C.(1,也)D.枢2)

点评：指数函数与对数函数的图象与性质:

指数函数对数函数

函数

a>\0<av1a>\0<a<1

单调性增函数减函数增函数减函数

当x>0时，当x〉0时，当X>1时，当X>1时，

ye(l,+oo)ye(0,1)ye(0,+co)ye(—8,0)

函数值

当x<0时，当x<0时，当0<x<l当0<x<l

ye(0,1)ye(l,+oo)时，ye(-oo,0)时，je(0,+co)

关系互为反函数

考点五：函数的图象：

13.己知定义在区间［0,2］上的函数y=/(x)的图像如左下图所示，则y=—/(2—x)的图象为()

点评：函数的图象变换：①平移变换：“左加右减，上正下负”.

②对称变换：y=/(x)与y=/(-x)的图象关于y轴对称；y=/(x)与y=-/(x)的图象关于x轴对称;

y=/(x)与y=-/(-%)的图象关于原点轴对称；

③翻折变换:将y=/(x)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻到x上方即得y=|/(%)|的图象；y=/(x)

的图象位于y轴右部分没沿y轴翻到左侧代替原来左侧部分，并保留右侧部分，即得y=/(|%|)的图象.

考点六：函数与方程：

14.若a<6<c,则函数〃%)=(%-力卜-4+卜-冲卜-°)+卜-°)卜-力的两个零点分别位于区间()

A.(a,。)和内B.(-oo,a)和(a,。)内

C.e,c)和(c,+30)内D.(ro,a)和(c,+oo)内

15.函数段)=xcos2r在区间［0,2汨上的零点的个数为()

A.2B.3C.4D.5

16.已知函数/(X)="-2x+”有零点，则a的取值范围是

2*—a,x<1,

17.设函数/(%)=

U-a)(x-2a),

①若a=l,则无)的最小值为

②若/(x)恰有2个零点，则实数。的取值范围是

点评：①函数y=f(x)有零点oy=f(x)的图象与x轴有交点o方程f(x)=0有根.

②函数零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不间断的一条曲线，并且

有f(a)•f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.

③解决零点问题的一般方法：

直接解方程求零点；数形结合估计零点；零点存在定理判断零点；借助导数研究零点

考点七：函数模型及其应用:

,x<A

18.(1)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为/(x)=〈(Ac

,x>A

为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值

分别是(

A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16

(2)现有某种细胞100个，其中有占总数1的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，

2

按这种规律发展下去，经过小时，细胞总数可以超过10"个？

(参考数据：lg3=0.477,lg2=0.301).

点评：常见函数模型：①直线模型；②指数函数模型；③对数函数模型；④森函数模型；

⑤"双勾"函数模型：y=X+—(t/>0,X0);⑥分段函数模型.

X

补充：

(-)求函数值域(最值)的方法：

1、单调性法---利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性.

2、配方法---二次型函数(二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是

求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两

看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系).

如：(1).求函数y=/-2为+5.可一1,2］的值域.

(2).当xw(0,2］时，函数+龙-3在x=2时取得最大值，

则。的取值范围是

3、换元法---通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有

根式或三角函数公式模型，常见换元有代数换元和三角换元.

如：(3).y=2sin2九一3cos无一1的值域为.

(4).y=2x+l+'Jx-l的值域为.

(令运用换元法时，要特别要注意新元，的范围).(本题亦可用单调性求解)

(5).y=sin无+cosx+sinxcosx的值域为.

(6)..=%+4+，9-/的值域为.

4、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，

最常用的就是三角函数的有界性，

,-(X—2sind—\3Y2sin0—1,..„

如：(7).求函数y=--------,y=-----,y=---------的值域.

1+sm，1+31+cos0

5、数形结合法一一函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率等.

如：(8).已知点尸(x,y)在圆d+y2=i上，求及y—2x的取值范围；

x+2

(9),求函数y=J求—2)2+J(X+8