湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷（含解析）

湖北省部分省级示范高中2024～2025学年上学期高二期中测试数学试卷考试时间：2024年11月14日试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.天气预报甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率（）A.0.06 B.0.94 C.0.56 D.0.44【答案】D解析：设事件“甲地降雨”，事件“乙地降雨”，则事件与相互独立.由题意知，则，所以至少有一地降雨概率为，.故选：D.2.如果，，则直线不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C解析：由，得，又，，则符号相反，符号相反，所以符号相同，所以直线的斜率，在轴上的截距，所以直线不通过第三象限.故选：C.3.与圆同圆心，且过点的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】B解析：设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，所以所求圆的方程为.故选：B4.从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，这三条线段能够成一个三角形的概率（）A. B. C. D.【答案】B解析：从条线段中任取3条，则有，，，，，，，，，，共10个基本事件；其中三条线段能够成三角形的基本事件有：，，，共3个；三条线段能够成一个三角形的概率概率.故选：B.5.已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（）A. B.C. D.【答案】C解析：设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，因为直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，即，因为，所以或，故直线的倾斜角的取值范围是．故选：C．6.在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D解析：因为为一组不共面的空间向量，则不能用，线性表示，即只有当时，.对于A：设，整理得：，所以有，取，所以，，线性相关，故A错误；对于B：设，整理得：，所以有，取，所以，，线性相关，故B错误；对于C：设，整理得：，所以有，取，所以，，线性相关，故C错误；对于D：设，整理得：，所以有，解得，所以，，线性无关，故D正确.故选：D7.若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A解析：到原点的距离为2的点的轨迹为圆，因此问题转化为圆与圆有两个交点，易知，，，，，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.故选：A.8.已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（）A. B. C. D.【答案】A解析：设，则，则以为直径的圆的方程为，与圆的方程相减，得到直线的方程为：，又，可得，即，可得，解得，所以直线恒过定点，点到直线距离的最大值即为点，之间的距离，，所以点到直线距离的最大值为.故选：A.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（）A. B. C. D.【答案】ABD解析：设，，，由，解得，所以与的交点为，因为三条直线不能围成三角形，所以过与的交点或或，当过与的交点时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，综上，的值为.故选：ABD.10.在棱长为2的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的是（）A.若为空间任意一点，且，则B.与所成角的大小为C.在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值D.在线段上存在一点，使得平面【答案】AC解析：对于选项A，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，，由可得，即，所以，故A正确；对于选项B，，设与所成角为，则，故B错误；对于选项C，因为，且平面，平面，所以平面，又点在直线上，所以点到平面的距离为定值，且为定值，所以为定值，故C正确；设在线段上存在点，符合题意，对于选项D，设，又，则，即，所以，即，设平面的法向量为，且，所以，解得，取，则，则，方程无解，所以线段上不存在一点，使得平面，故D错误；故选：AC11.已知圆，圆，（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是（）A.，B.直线的方程为：C.若点是圆内异于圆心的一点，以为中点的弦所在的直线为，直线，则且与圆相离D.，为圆上的两动点，且，则的最大值为【答案】BCD解析：对于A，因为两圆半径相等,所以的中点恰为的中点，所以，，故A错误；对于B，将圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线的方程为，故B正确；对于C，由题意，以点为中点的弦所在直线，，所以，则直线为，所以，又点到直线的距离为，又点Px0,y0在圆内，则，所以圆心到直线的距离为，则直线与圆心相离，故C正确；对于D，设的中点为，则，由，可得，即点在以点为圆心，为半径的圆上，所以，所以的最大值为，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.）12.已知向量，向量，若，则为_________【答案】##解析：已知向量，向量，因为，则，所以，即，解得，所以.故答案为：.13.甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为_________【答案】解析：设甲取得最终胜利为事件，则.故答案为：14.集合，集合，若，则实数的取值范围__________【答案】解析：定义集合，集合表示中心为O0,0，边长为的正方形，如图所示，集合可看作集合表示的正方形向左或向右平移个单位得到，集合表示如图的四个半圆围成的图形，若，则，所以实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.一个袋子中有标号分别为、、、的个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次（1）求摸出两球标号互质的概率；（2）设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，判断事件与事件是否相互独立.【答案】（1）（2）不独立，理由见解析【小问1解析】讨论摸出两球的标号，记事件摸出两球标号互质，样本空间为，共个样本点，每个样本点出现的可能性相同，，共个样本点，故.因此，摸出两球标号互质的概率为.【小问2解析】样本空间为，共个样本点，，，，则，，所以，，所以，事件与事件不独立.16.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.（1）求的长度；（2）求直线和直线所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【小问1解析】设，，，由题意可知，，，由空间向量数量积的定义可得，，则，故.【小问2解析】，则，，则.故直线和直线所成角的余弦值为.17.已知圆，直线（1）求证：直线与圆恒有两个交点（2）设直线与圆交于两点，当为何值时，三角形的面积有最大值，并求出该最大值【答案】（1）证明见解析（2），最大值为10【小问1解析】因为直线，可得，所以，解得，所以直线过定点，将点代入圆方程可得，所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两交点.【小问2解析】设圆心到直线的距离为，则，，因为，所以当时，三角形面积最大，最大值为.此时，且，则，即，解得.所以当时，三角形的面积最大，最大值为.18.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，.（1）若平面平面，求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）若是线段上动点，为中点，试确定点的位置，使得直线与平面所成角最大，并求出该最大角.【答案】（1）证明见解析（2）（3），最大角为【小问1解析】因为平面，平面，所以，，因为，所以，又因为平面，，所以平面，因为平面，平面，所以平面，因为平面平面，所以，又因为平面，所以平面.【小问2解析】以为原点，分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则有，取，则，因为平面，所以平面一个法向量为，，所以与平面所成角的余弦值为.【小问3解析】，，设，则，，设平面的法向量为m=x,y,z，则有，取，则，，则与平面的夹角的正弦值为，设，则，当时，取得最大值，所以的最大值为，所以当点满足时，与平面的夹角的最大值为.19.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线（1）求曲线的方程（2）过点作直线交曲线于两个不同的点，，且不过曲线的中心，再过点，分别作曲线的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程（3）斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且.若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值【答案】（1）（2）详见解析