（8）平面解析几何-2024年高考数学真题模拟试题专项汇编含答案

（8）平面解析几何

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知曲线，从C上任意一点P向x轴作垂线，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为()A. B.C. D.2．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知A为双曲线，的右顶点，O为坐标原点，B，C为双曲线E上两点，且，直线，的斜率分别为2和，则双曲线E的离心率为()A. B. C. D.23．[2024届·合肥一六八中学·模拟考试]如果椭圆的离心率为，则()A. B.或 C. D.或4．[2024届·云南曲靖·模拟考试]设点A，B的坐标分别是，，M是平面内的动点，直线，的斜率之积为，动点M的轨迹与曲线相交于4个点，以这四个交点为顶点的矩形的面积等于，则轨迹C的离心率等于()A. B. C. D.5．椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则()A. B. C. D.6．[2024届·江西·模拟考试]直线l过抛物线()的焦点，且与C交于A，B两点，若使的直线l恰有2条，则p的取值范围为()A. B. C. D.二、多项选择题7．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则()A.B.点在C上C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C上时，8．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]抛物线的准线为l，P为C上的动点.对P作的一条切线，Q为切点.对P作l的垂线，垂足为B.则()A.l与相切 B.当P，A，B三点共线时，C.当时， D.满足的点P有且仅有2个9．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知圆，，则下列结论正确的有()A.若圆和圆外离，则B.若圆和圆外切，则C.当时，圆和圆有且仅有一条公切线D.当时，圆和圆相交三、填空题10．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为__________.11．[2024届·山西长治·一模校考]已知抛物线，F为C的焦点，P，Q为其准线上的两个动点，且.若线段PF，QF分别交C于点A，B，记的面积为，的面积为，当时，直线AB的方程为____________.12．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线，的斜率分别为，，若，则椭圆E的离心率为__________．13．[2024届·江苏省前黄高级中学·一模]已知P是双曲线上任意一点，若P到C的两条渐近线的距离之积为，则C上的点到焦点距离的最小值为__________．四、解答题14．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知和为椭圆上两点.（1）求C的离心率；（2）若过P的直线l交C于另一点B，且的面积为9，求l的方程.15．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知双曲线，点在C上，k为常数，.按照如下方式依次构造点：过作斜率为k的直线与C的左支交于点，令为关于y轴的对称点.记的坐标为.（1）若，求，.（2）证明：数列是公比为的等比数列.（3）设为的面积.证明：对任意正整数n，.

参考答案1．答案：A解析：设，则，因为点P在曲线C上，所以，即，所以线段的中点M的轨迹方程为，故选A.方法二：由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹.曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆（x轴上方部分），其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A.2．答案：C解析：，设，，则，则，，，.故选：C.3．答案：B解析：因为椭圆离心率为，当时，椭圆焦点在x轴上，可得：，，，，解得，当时，椭圆焦点在y轴上，可得：，，，，解得.或.故选：B.4．答案：B解析：设，则，所以动点M的轨迹C的方程为，设轨迹C与曲线在第一象限的交点为，则，且，由对称性可知所求矩形的面积，解得，，故.因为在曲线C上，所以，轨迹C的方程可化为，所以轨迹C是双曲线，且，离心率e满足：，所以.故选：B5．答案：B解析：设、，则有，，则，即，则，即，即，，则，由，则有，整理得，即.故选：B.6．答案：A解析：当AB垂直于x轴时，A，B两点坐标为，此时，所以.故选A.7．答案：ABD解析：因为坐标原点O在曲线C上，所以，又，所以，所以A正确.因为点到点的距离与到定直线的距离之积为，所以点在曲线C上，所以B正确.设（，）是曲线C在第一象限的点，则有，所以，令，则，因为，且，所以函数在附近单调递减，即必定存在一小区间使得单调递减，所以在区间上圴有，所以的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误.因为点在C上，所以且，得，所以，所以D正确.综上，选ABD.8．答案：ABD解析：对于A，易知，故l与相切，A正确；对于B，，的半径，当P，A，B三点共线时，，所以，，故B正确；对于C，当时，，或，，易知PA与AB不垂直，故C错误；对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知，由抛物线定义可知，因为，所以，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为，即，代入可得，解得，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD.9．答案：BCD解析：，，，，.若和外离，则，解得或，故A错误；若和外切，，解得，故B正确；当时，和内切，故C正确；当时，和相交，故D正确.故选：BCD.10．答案：解析：解法一：由及双曲线的对称性得，因为，所以，，所以，，则C的离心率.解法二：因为，所以，所以，又，所以，得，所以，得，所以C的离心率.11．答案：解析：显然直线不垂直于y轴，设其方程为，，，由消去x得：，，则，，由得：，即，而，，于是，直线的方程为，则点P纵坐标，同理点Q纵坐标，又，由，得，则，，所以直线AB的方程为，即.故答案为：.12．答案：或解析：设，，设圆与，，轴相切于点M，N，T，所以，，，所以，即，所以．由椭圆第二定义可知，所以，所以，由等面积法得到，所以．因为，所以，所以，即．故答案为：13．答案：解析：所求的双曲线方程为，则渐近线方程为，设点，则，点P到C的两条渐近线的距离之积为，解得：，故双曲线C方程为：，故，，故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为．故答案为：．14．答案：（1）（2）或解析：（1）由题知，解得，，的离心率.（2），设点B到直线PA的距离为h，则的面积为，解得.易知直线，设，则，解得或，或，故或.15．答案：（1），（2）证明见解析（3）证明见解析解析：将点的坐标代入C的方程得，解得，所以.（1）过点且斜率的直线方程为，与C的方程联立，消去y化简可得，即，所以点的横坐标为-3，将代入直线方程，得，因此，从而，即，.（2）解法一：由题意，，，.设过点且斜率为k的直线为，将的方程与C的方程联立，消去y化简可得，由根与系数的关系得，所以.又在直线上，所以.从而，易知，所以数列是公比为的等比数列.解法二：由题意，，，.由点，所在直线的斜率为k，可知.又点，都在C上，所以，即，易知，则即数列是公比为的等比数列.（3）解法一：由（2）知，数列是首项为，公比为的等比数列.令，由可知，则，又，所以，可得，.所以，，.所以直线的方程为，即.易知点到直线的距离.又，则，即为定值，所以.解法二：由（2）知，数列是首项为，公比为的等比数列.令，由可知，则，又，所以，可得，.所以，，，.所以，，即，所以，所以点和点到直线的距离相等，因此和的面积相等，即.（9）计数原理与概率统计

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并部分整理如下表所示.亩产频数61218302410根据表中数据，下列结论正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于B.100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过C.100块稻田亩产量的极差介于到之间D.100块稻田亩产量的平均值介于到之间2．[2024届·合肥一六八中学·模拟考试]在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：10，7，6，9，8，9，5，这组数据的中位数和众数分别是()A.7，9 B.9，9 C.9，8 D.8，93．[2024届·山西长治·一模校考]已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4．[2024届·山西长治·一模校考]小李买了新手机后下载了A，B，C，D个APP，已知手机桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，若每排都有这4个中的APP，且A和B放在同一排，则不同的排列方式有()A.288种 B.336种 C.384种 D.672种5．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]某饮料厂生产A，B两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为()A.0.12 B.0.20 C.0.44 D.0.326．[2024届·南宁三中·二模]若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为()A.16 B.20 C.28 D.407．[2024届·河北·模拟考试]某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量、课程内容、学生感受、家长认可度等问题进行随机电话回访.某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表：时长x（分钟）1012141519评分y60m7590根据散点图分析得知y与x具有线性相关关系且求得其回归方程为，则()A.61 B.63 C.65 D.67二、多项选择题8．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）()A. B. C. D.9．[2024春·高二·江西宜春·月考校考]某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成频，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析商分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则()参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，，，n，，平均数为.样本方差为，.A.B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25三、填空题10．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为___________.11．[2024届·江苏省前黄高级中学·一模]的展开式中的系数为________.(用数字作答)四、双空题12．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有__________种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为__________．五、解答题13．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立.（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.（2）假设.（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？14．[2024届·山东临沂·二模]“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的列联表所示(单位：人).非常喜欢感觉一般合计男性3t100女性t合计60(1)求t的值，试根据小概率的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望.参考公式：，其中.0.10.050.01…2.7063.8416.635…15．[2024届·湖南师大附中·模拟考试]某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X，已知X的分布列如下：(其中，)X0123Pa(1)记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼i次，事件B表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求的值；(2)是否存在实数p，使得?若存在，求p的值：若不存在，请说明理由；(3)记M表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：.

参考答案1．答案：C解析：对于A，因为前3组的频率之和，前4组的频率之和，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为，故A不正确；对于B，100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例为，故B不正确；对于C，因为，，所以100块稻田亩产量的极差介于至之间，故C正确；对于D，100块稻田亩产量的平均值为，故D不正确.综上所述，故选C.2．答案：D解析：某乡镇7个村的得分：10，7，6，9，8，9，5，由小到大排序为：5，6，7，8，9，9，10，所以中位数为8，众数为9.故选：D.3．答案：B解析：的展开式的通项为.令，得，则的常数项为，则，“”是“的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件.故选：B.4．答案：D解析：选定一排放A和B的不同方法数是，另一排放C，D的不同方法数是，不同的排列方式有；从C，D中取一个与A，B同排，不同的排列方式有，所以不同的排列方式有(种).故选D.5．答案：C解析：由题意，选到非碳酸饮料的概率为.故选：C.6．答案：C解析：第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有种；分为每组各3人，有种，分组方法共有14种.第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有种.所以，总的分配方案有种.故选：C.7．答案：C解析：依题意，得，，将样本中心代入回归方程，得，解得.故选：C.8．答案：BC解析：由题意可知，，所以，，所以，所以A错误，B正确.因为，所以，，所以，所以，（另解：）所以C正确，D错误.综上，选BC.9．答案：BCD解析：对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1.则，解得，A错；对于B选项，前两个矩形的面积之和为.前三个矩形的面积之和为.设该年级学生成绩的中位数为m，则，根据中位效的定义可得，解得，所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，B对；对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为分，C对；对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为，D对.故选：BCD.10．答案：解析：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：，，，.若甲的总得分为2，有以下三类情况：第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为，，，；第二类，当甲出卡片3和7时赢，有，，，或，，，或，，，，共3种组合；第三类，当甲出卡片5和7时赢，有，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，，共7种组合.综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有（种），所以甲的总得分不小于2的概率.11．答案：解析：的通项公式为，令得，，此时，令得，，此时，故的系数为故答案为：12．答案：①.54②.或解析：由题意可得三个学年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2．先将4门选修课程按1，1，2分成三组，有种方式，再分到三个学年，有种不同方式，由分步计数原理得，不同的选修方式共有种．同理，将4门选修课程按0，2，2分成三组，再排列，有种，所以共有种不同选修方式；若将“某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程”记为事件A，将“高二学年结束后就修完所有选修课程”记为事件B．根据题意，满足事件A的所有选课情况共4种情况，其中包含高二选修完或高三选修完其他2门，或是高二，高三各选1门，共4种情况，其中同时满足事件B的仅有1种情况．根据条件概率公式，可知所求概率为．故答案为：54；13．答案：（1）（2）（ⅰ）甲（ⅱ）甲解析：（1）设“甲、乙所在队进入第二阶段”，则.设“乙在第二阶段至少得5分”，则.设“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则.（2）（ⅰ）设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为，则.设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为，则.则，由，得，，所以，即.故应该由甲参加第一阶段比赛.（ⅱ）若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15.，，，所以.若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15.同理，可得.，由，得，，所以，即.故应该由甲参加第一阶段比赛.14．答案：(1)年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.(2)分布列见解析，解析：(1)由题意可知：，解得，列联表如下：非常喜欢感觉一般合计男性6040100女性8020100合计14060200.根据小概率值的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.(2)设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则，且X的所有可能取值为1，2，3，4.，，，.X的分布列为X1234P.15．答案：(1)(2)不存在，理由见解析(3)证明见解析解析：(1)当时，，，，则，解得.由题意，得，，.由全概率公式，得.又，，所以.(2)由，得.假设存在p，使.将上述两式相乘，得，化简得：.设，则.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以不存在使得.即不存在p值，使得.(3)证明：由题知，所以，所以，所以，即，所以，即.（10）复数

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]若，则()A. B. C. D.2．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知，则()A.0 B.1 C. D.23．[2024届·河南许昌·模拟考试校考]复数（a，且），若为纯虚数，则()A. B. C. D.4．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知，若为纯虚数，则()A. B.2 C.1 D.5．[2024届·湖北·模拟考试联考]已知复数，且，其中a，b为实数，则()A. B. C. D.46．[2024届·新疆乌鲁木齐·模拟考试]若，，i是虚数单位），则a，b的值分别等于()A.4，-5 B.4，-3 C.0，-3 D.0，-57．[2024届·