《应用数值分析》课件数值分析1.1-1.2绪论、误差

•数值分析是科学与工程计算的基础，它研究在计算机上解决数学问题的理论和可行的数值方法。数值分析又叫计算方法、数值计算方法，什么是数值分析?（NumericalAnalysis）2024/11/23数学理论和计算机应用的紧密结合§1.1绪论2024/11/231.可行的数值方法有可计算性：面向计算机，根据计算机的

特点提供有效的算法有低的计算复杂性：时间和空间的复杂性有可靠的理论分析：算法的稳定性、

收敛性和误差分析只有满足这三个条件的算法，才是可行的！2024/11/231）可计算性符号计算超出了数值计算的范畴不具有可计算性2024/11/232）低的计算复杂性可行的算法!2024/11/233）可靠的理论分析稳定性收敛性误差分析理论可靠精度可达算法收敛数值稳定误差可析有的方法虽理论上不够严格,但实际计算、对比分析证实行之有效，也采用。例3计算2024/11/23造成这种情况的原因是：算法不稳定(初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快！)在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。2024/11/23对给定的数学问题，构造一个可行的数值方法。要求具有三个特点：可计算性低的计算复杂性可靠的理论分析数值分析的核心问题2024/11/232.本课程研究的范围•数值分析是科学与工程计算的基础，它研究在计算机上解决数学问题的理论和可行的数值方法。•数值分析要解决的数学问题：“高等数学”中的微积分计算“线性代数”中的矩阵计算，例如：线性方程组的求解，矩阵特征值计算，等等数值分析输入复杂问题或运算

计算机近似解数值分析解决的问题？2024/11/232024/11/23数值分析数值逼近数值代数插值法最佳逼近数值积分和数值微分求解线性方程组非线性方程的求根法代数特征值问题的数值解法微分方程数值解常（偏）微分方程数值解•

泛函分析：在集合的基础上，把客观世界中研究对

象抽象为元素和空间，建立空间到空间的映射。

泛函分析将表面上彼此不相关的学科统一在它的普遍规律和共同框架之下。•空间到空间的映射：算子•空间到数集的映射：泛函

特别地，数集到数集的映射——函数，

函数空间到数集的映射——函数的函数什么是泛函分析？（FunctionalAnalysis）

2024/11/23•

泛函分析是进行数值算法研究的理论基础，属于分析数学。对数值算法而言，运用泛函分析的观点与语言可使数值算法中很多定理与方法的推导变得简洁、直观。•本课程只介绍与数值算法有密切关系的泛函分析的基本概念和理论。（范数、内积、不动点理论等等）泛函分析与数值算法的关系2024/11/2313构造数值算法的基本思想近似替代离散化递推化Chapter0Introduction14例415例516例62024/11/234.学习本课程的重要性数值分析是科学与工程计算的基础，它研究在计算机上解决数学问题的理论和可行的数值方法。数值分析是科学与工程计算的基础科学与工程计算是继理论分析和实验后的第三种科学研究手段科学与工程计算正在突飞猛进的发展学习“计算方法”需注意如下几点1.掌握算法的原理和思想。2.注意算法的处理技巧及与计算机结合,掌握步骤和计算公式。3.重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。4.做一定的理论分析证明与计算练习5.上机实践2024/11/23§2误差理论2024/11/232024/11/231.误差的来源与分类

从实际问题中抽象(简化)出数学模型,模型与实际问题之间存在误差——模型误差通常假定模型合理，误差可忽略不计2024/11/23

模型中有许多物理量，如温度、长度、电压、电流等，通过测量得到模型中参数的值，观测产生误差

——观测误差观测误差是不可避免的，可根据测量工具的精度估计误差。2024/11/23

采用数值方法求模型的近似解，近似解与精确解之间有误差——方法误差(或截断误差)这是数值分析中要研究的对象2024/11/23

机器字长有限,数据在计算机中表示和计算过程产生误差——舍入误差2024/11/23大家一起猜？11/e解：将作Taylor展开后再积分S4R4取则称为截断误差|

舍入误差

|=0.747……由截去部分引起由留下部分引起2024/11/23例7记注：本课程“计算方法(数值分析)”主要研究截断误差和舍入误差在计算过程中的传播和对计算结果的影响，以提高计算的精度。2024/11/232.传播与积累“蝴蝶效应”

一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.

其原因在于：蝴蝶翅膀的运动,导致其身边的空气系统发生变化,并引起微弱气流的产生,而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化,由此引起连锁反映,最终导致其他系统的极大变化.

此效应说明,事物发展的结果,对初始条件具有极为敏感的依赖性,初始条件的极小偏差,将会引起结果的极大差异。2024/11/23例：计算

公式一：记为则初始误差2024/11/23迅速积累,误差呈递增走势。可见初始的小扰动造成这种情况的原因是：算法不稳定(初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快！)2024/11/23

公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。可取误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法§1.2.2

绝对误差与相对误差1、绝对误差、绝对误差限2024/11/23用一把有毫米的刻度的米尺,来测量桌子的长度,读出的长度x*=1235mm2024/11/232024/11/23有两根卷尺，X卷尺测量一根10ｍ长的圆钢时发生了0.5cm的误差，Ｙ卷尺测量10cm长的圆钢时发生了0.5cm的误差，绝对误差都是0.5cm，哪一个更精确？Ｘ卷尺更精确！决定一个量近似值的优劣，除了要考虑绝对误差的大小外，还应考虑准确值本身的大小！2024/11/23定义1.2.22、相对误差、相对误差限2024/11/23相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异。绝对误差限和相对误差限均无穷多，自然越小越好。误差估计的任务是提供好的误差限，误差限越小，数据越准确可靠。某一数据的准确值为

x*,其近似值为

x，x的相对误差:x的绝对误差:

e(x)=x*-x如果存在一个适当小的正数

,，使得

分别称

,

为绝对误差限和相对误差限。

数的浮点表示一台微机价格:￥4999.00,

浮点数表示:0.4999×104地球半径:6378137m,(6.378137e+006)

浮点数表示:0.6378137×107光速:2.99792458e+008

浮点数表示:0.299792458×109尾数部阶码部取

的有限位数如下(

≈3.1415926)取

x1=3，误差限不超过0.5;取

x2=3.14,误差限不超过0.005;若近似值x

的绝对误差限是某一位上的半个单位，该位到x

的第一位非零数字一共有n

位，则称近似值x

有n

位有效数字.

取

x3=3.1416,误差限不超过0.00005;有效数字的概念注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效数字。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。

数字末尾的0不可随意省去！38

相对误差限

有效数字

有效数字位数越多，相对误差限也就越小！定理1.2.2一个有n位有效数字的数绝对误差限满足：相对误差限满足：解:a1=5,利用不等式

所以,浮点数的有效数字位数至少应取3位。例已知的十进制浮点数第一位是5，要使近似值的相对误差限不大于0.1%，问浮点数的有效数字的位数至少应该为多少？取n≥3,有

|er(x)|≤10-3其中,正负号占1位,尾数占52位,阶码占11位.尾数阶码双精度机器数占用64个二进制位单精度机器数占用32位二进制位其中,正负号占1位,尾数占23位,阶码占8位.例.圆面积计算的误差估计圆面积计算公式:全微分近似:取

R=50cm,如果

cm≈2×1%=2%≈157cm2,1.一元函数

y=f(x)误差分析(准确值

y*=f(x*))

由Taylor公式同理:所以误差对函数计算的影响2.多元函数

z=f(x1,x2,···,xn)误差分析(1)(3)(2)数据误差对算术运算影响例.二次方程

x2–16x+1=0,取求

使具有4位有效数解:直接计算

x1≈8–7.937=0.063修改算法4位有效数计算出的x1

具有两位有效数条件数很大的矩阵求逆求多项式值的秦九韶(Horner)算法

输入

x；a0，a1，…，an

S←a0；u←1k

从

1到n循环u←x×uS←S+ak×u输出数据S

；结束输入

x；a0，a1，…，an

S←ank

从

n

到1

循环S←ak－1+x×S输出数据S

；结束秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2x2+······+anxn

数值分析的特点：构造性近似性数值化结果泛函