《机械设计基础 》课件第7章

第7章弯曲

7.1平面弯曲的概念

7.2梁的内力与弯矩图

7.3纯弯曲时的正应力

7.4梁弯曲时的强度计算

7.5梁的刚度概念

7.6提高梁弯曲强度和刚度的措施思考与练习题

7.1.1弯曲的概念

在工程中常遇到发生弯曲变形的构件，如车辆的车轴(如图7-1所示)、桥式起重机的主梁(如图7-2所示)等。这类构件受力与变形的主要特点是：在构件轴截面内承受力偶作用，或受垂直于轴线方向的外力作用，将使构件的轴线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲。以弯曲变形为主要变形的构件，通称为梁。7.1平面弯曲的概念

图7-1车轴图7-2桥式起重机的主梁7.1.2平面弯曲

在工程实际中常见的梁，它们的横截面一般都具有一个对称轴，如图7-3(a)所示。通过梁的轴线和横截面对称轴的平面称为纵向对称面，即xy平面，如图7-3(b)所示。如果梁上的载荷与支座反力均作用于纵向对称面内，则梁变形后的轴线是一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。本章只研究平面弯曲问题。梁在平面弯曲时，按照支座对梁的约束情况，可将梁简化为如下三种典型形式：

(1)简支梁。梁的一端是固定铰链支座，另一端是活动铰链支座，是可自由弯曲的梁(如图7-2(b)所示)。

(2)外伸梁。简支梁的一端或两端伸出支座以外的梁(如图7-1(b)所示)。

(3)悬臂梁。一端固定，另一端自由的梁。作用于梁上的载荷，可以简化成三种类型：

集中力F作用于构件上一点的载荷，其单位是N(牛)或kN(千牛)；力偶矩M由于力的平移而出现的转动作用，其单位是N·m(牛·米)或N·mm(牛·毫米)；均布载荷q作用于构件上一定长度的力，q称为载荷集度，其单位是N/m(牛/米)或kN/m(千牛/米)。

图7-3梁的对称轴和对称面

7.2.1梁的内力——弯矩和剪力

在确定了梁上的载荷与反力以后，为了计算梁的强度与刚度，还要进一步研究梁上各截面上的内力。内力分析与计算的方法仍用截面法。

设一简支梁受集中力F作用，如图7-4(a)所示。先利用梁的平衡方程求出其支座反力为7.2梁的内力与弯矩图

图7-4简支梁受力

为了求某一截面上的内力，可假想用一截面m—n将梁分为左、右两段。左段梁在外力FA作用下，有向上移动的趋势，欲保持其平衡，横截面上必有一个与FA平行且方向向下的内力FQ作用。同时，在FA与FQ作用下，左段梁有沿顺时针方向转动的趋势，因此，横截面上必然作用着逆时针转向的内力偶矩M与之平衡，如图7-4(b)所示。这个使梁横截面发生错动的内力FQ称为剪力；使梁轴线发生弯曲的内力偶矩M称为弯矩。所以，左右两段梁的相互作用，可以用剪力FQ与弯矩M表示。梁弯曲时横截面上的内力，一般包含剪力和弯矩这两个内力分量。虽然两者都影响梁的强度，但对于跨度与截面高度之比较大的非薄壁截面梁(l/h>5)，剪力的影响是很小的，一般均略去不计，仅对弯矩进行计算。由平衡方程

得弯矩

如取右段梁来分析，同样用平衡方程也可以求得该截面上的弯矩，即

根据作用与反作用的关系，虽然取左段(或右段)梁为研究对象，分别求出的同一截面的弯矩值相等，但是其转向相反。为了使从左右两段梁上求得同一截面上的弯矩符号一致，可根据梁的变形情况，对弯矩的符号进行如下规定：以某一截面为界，使某段梁弯曲呈凹面向上的变形时，该截面上的弯矩为正，反之为负(如图7-5所示)。

图7-5弯矩符号的规定通过式(1)、(2)可以总结出计算弯矩的规则：

某截面上弯矩的大小等于此截面以左(或右)所有外力对该截面形心力矩的代数和。截面左侧外力对截面形心之矩顺时针转向为正，逆时针转向为负；截面右侧外力对截面形心之矩逆时针转向为正，顺时针转向为负。因此，可以概括为“左顺右逆，弯矩为正，反之为负”。这样，在实际计算中就可以不必截取研究对象通过平衡方程去求弯矩了，而可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力来求截面上的弯矩。

例7-1

一受均布载荷的悬臂梁，如图7-6(a)所示。试求x截面上的弯矩。

解

(1)求支座反力。取AB梁为研究对象，由平衡条件求得

(2)求弯矩。按照弯矩计算规则，以截面左侧外力可直接求得

(3)若取x截面以右为研究对象，如图7-6(c)所示，按弯矩计算规则求得

图7-6悬臂梁7.2.2弯矩图

梁横截面上的弯矩一般是随着截面位置改变而变化的。为了描述其变化规律，用坐标x表示横截面沿梁轴线的位置，将梁各横截面上的弯矩表示为坐标x的函数，即 M＝M(x)

这个函数表达式称为弯矩方程，其图线称为弯矩图。

弯矩图可以清楚表示弯矩随截面位置的变化规律。其绘制方法如下：以平行于梁轴线的坐标x表示横截面的位置，以垂直于梁轴线的坐标M表示相应横截面上的弯矩，根据弯矩方程画出对应的函数图线。

例7-2

如图7-7(a)所示简支梁AB，在梁的全长受均布载荷q的作用，试画出梁的弯矩图。

解

(1)求支座反力。全梁受均布载荷作用，其合力为ql，作用在梁的中点，由此得

(2)列弯矩方程。计算距左端(A为坐标原点)x处横截面弯矩：

图7-7简支梁(3)弯矩图。由弯矩方程知弯矩图为二次抛物线，在x＝0和x＝l处(即梁的AB端面上)，M＝0，当x在0和l之间时，M为正值。为求M的最大值，可令dM/dx＝0，即

得

即在梁的中点弯矩M值最大，其值为

由这三点的弯矩值可画出弯矩图，如图7-7(b)所示。

例7-3

如图7-8(a)所示为一长度为l的简支梁，在C点处受集中力F作用，试画该梁的弯矩图。

解

(1)求梁的支座反力。

图7-8简支梁受力F作用时的弯矩图(2)列弯矩方程。由于在截面C处作用有集中力F，故应将梁分为AC和CB两段，分段列弯矩方程，并分段画弯矩图。

对于AC段，以A点为原点，并用x1表示横截面的位置，则弯矩方程为

对于CB段，为计算方便，选B点为原点，用坐标x2表示横截面的位置，CB段的弯矩方程为(3)画弯矩图。由式(1)可知，在AC段内弯矩M是x的一次函数，弯矩图为斜直线，已知直线上的两点即可确定这条直线，因x＝0处M＝0，x＝a处M＝Fab/l，故连接这两点就得到AC段内的弯矩图(如图7-8(b)所示)，同理，由式(2)可作出CB段内的弯矩图(仍为斜线)。由图可见，C截面上弯矩最大，其值为

例7-4

如图7-9(a)所示为一简支梁，在C点处受到矩为MC的集中力偶作用，试画该梁的弯矩图。

解

(1)求支座反力。

图7-9简支梁受力偶作用时的弯矩图

(2)列弯矩方程。由于在截面C处作用有集中力偶，应分别列出AC与CB两段上的弯矩方程，并均以A点为坐标原点，则有

(3)画弯矩图。根据上述弯矩方程作弯矩图(如图7-9(b)所示)。若a<b，则最大弯矩为

一般情况下，梁在发生弯曲变形时，其横截面上既有弯矩又有剪力。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力，则所产生的弯曲称为纯弯曲。

如图7-10所示的梁，在CD段内各截面上剪力都等于零，而弯矩M＝Fa，为常量，所以该段梁的弯曲为纯弯曲。图中在AC和DB两段内，梁的各截面上既有剪力又有弯矩。这种弯曲称为剪切弯曲。7.3纯弯曲时的正应力

图7-10纯弯曲示例7.3.1正应力的分布规律

一矩形截面梁，在梁的侧面画上平行于轴线和垂直于轴线的直线，形成许多正方形的网格(如图7-11(a)所示)。然后在梁的两端施加一对力偶(力偶矩为M)，使之产生纯弯曲变形。梁的变形如图7-11(b)所示。从弯曲变形后的梁上可以看到：各纵向线弯曲成彼此平行的圆弧，内凹一侧的原纵向线缩短，而外凸一侧的原纵向线伸长。各横向线仍为直线，只是相对转了一个角度，但仍与纵向线垂直。

图7-11纯弯曲实验根据上述现象，可作如下假设：梁的横截面在变形后仍为平面，并垂直于变形后梁的轴线。即横截面只是绕着截面内的某一轴转过一个角度。横截面间没有相对错动。设想梁是由无数条纵向纤维所组成，各纵向纤维产生伸长或缩短，靠近凹面的纤维缩短，靠近凸面的纤维伸长。故知梁横截面上只产生正应力。

由于变形的连续性，在伸长纤维和缩短纤维之间必存在一层既不伸长也不缩短的纤维层，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴(如图7-12所示)。横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力和压应力，中性轴上各点的应力为零。经分析可知，中性轴必然通过横截面的形心。

图7-12中性层和中性轴由平面假设可知，纯弯曲变形时梁横截面上只有正应力而无切应力。由图7-13可以看出，梁的横截面在变形前后保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的，即纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变ε与各点到中性轴的距离y成正比，中性轴等远处各点的正应力相等，正应力的分布如图7-14所示。

图7-13纯弯曲时的变形在中性轴(y＝0处)上各点的正应力为零，在中性轴的两侧，其各点的应力分别为拉应力和压应力。在离中性轴最远处(y＝ymax)，产生最大的正应力为σmax，根据正应力的分布规律(如图7-14所示)可得

或

图7-14弯曲时的正应力分布7.3.2最大正应力的计算公式

横截面上的弯矩M，是截面上各部分内力对中性轴z力矩之和。在图7-15中任意微面积dA上的微内力为σdA，它对中性轴z轴的力矩为σdA·y，于是横截面上的弯矩M为

将 代入上式，则有

图7-15弯曲时正应力的计算分析式中的 是一个仅与截面的形状和尺寸有关的几何量，称为横截面对中性轴z的轴惯性矩，其单位为m4或cm4。现令 ，则横截面上最大弯曲正应力为

(7-1)

式中:M为欲求应力点所在横截面上的弯矩，ymax为横截面上最远点到中性轴的距离。式(7-1)可以改写为

(7-2)

式中

(7-3)

Wz称为横截面对于中性轴z的抗弯截面模量，其值与横截面的形状和尺寸有关，它是衡量截面抗弯能力的一个几何量。即对于某一横截面，其Wz值越大，在给定的最大正应力下梁能够抵抗的弯矩M也越大。

由精确的分析证明，纯弯曲条件下得到的式(7-1)、式(7-2)和式(73)对于剪切弯曲的梁也能适用。7.3.3截面的轴惯性矩Iz和抗弯截面模量Wz

构件的承载能力与截面的几何性质有密切的关系。例如在拉伸与压缩的应力与变形计算中，要用到横截面面积A；在扭转的应力与变形计算中，要用到横截面对圆心的极惯性矩IP和抗扭截面模量WP：弯曲应力计算中要用到截面的轴惯性矩Iz和抗弯截面模量Wz等几何量。为了便于计算时查用，将常用梁截面的轴惯性矩和抗弯截面模量列于表7-1中。表7-1常用梁截面的轴惯性矩和抗弯截面模量

等截面梁弯曲时，最大正应力发生在最大弯矩所在截面上，这一截面称为危险截面。在危险截面上、下边缘处的正应力最大，这些点首先发生破坏，故称为危险点。必须首先保证这些危险点的安全。由于横截面上、下边缘各点处于单向拉伸或压缩状态，因此，应按弯曲正应力建立梁的强度条件：最大弯曲正应力不得超过材料的许用弯曲正应力，即7.4梁弯曲时的强度计算

(7-4)

各种材料许用弯曲应力的数值，可从有关规范中查得。

应该指出，式(7-4)只适用于抗拉和抗压强度相等的材料。对于铸铁等脆性材料制成的梁，因材料的抗压强度远高于抗拉强度，其相应强度条件为

(7-5a)

(7-5b)

式中: 、 分别为梁的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力。

应用强度条件，可以进行三方面的强度计算，即校核梁的强度、设计梁的截面尺寸和确定梁的许可载荷。

例7-5

如图7-16(a)所示的车轴，已知a＝310mm，l＝1440mm，F＝15.15kN，［σ］＝100MPa，若车轴的横截面为圆环形，外径D＝100mm，内径d＝80mm，试校核车轴的强度。

解

(1)求支座反力。由于梁所受载荷左、右对称，所以支座反力

FA＝FB＝F＝15.15kN

图7-16主轴(2)画梁的弯矩图。如图7-16(c)所示，最大弯矩发生在CD段，其大小为

Mmax＝FA·a＝15.15×103×310＝4696.5×103N·mm

(3)校核梁的强度。危险截面的抗弯截面模量为

由梁的弯曲强度条件

则车轴的最大正应力为

所以车轴的强度足够。

例7-6

如图7-17(a)所示螺旋压板装置，已知a＝50mm，压板的许用弯曲应力［σ］＝140MPa，试计算压板给工件的最大允许压紧力F。

(1)压板的受力分析。将压板简化为外伸梁，受力如图7-17(b)所示。

(2)画压板的弯矩图，如图7-17(c)所示。最大弯矩发生在B截面上，其值为

Mmax＝Fa

图7-17螺旋压板装置解(3)确定许可载荷。B截面的抗弯截面模量Wz为

根据压板的强度条件 ，可得

故有

压板给工件的最大压紧力不得超过2996N，其方向与F相反。

梁在载荷作用下，除应满足强度条件以防止发生破坏外，还应满足刚度条件，即弹性变形不得超过一定的限度，以保证机器和结构的正常工作。

设梁AB在xAy平面内受载荷F作用发生弯曲变形(如图7-18所示)，梁轴线则由原来的直线变成一条连续的平面曲线，此曲线称为梁的挠曲线。由图可见，梁的各横截面将在该平面内同时发生线位移和角位移。7.5梁的刚度概念

图7-18挠度和转角梁上任一横截面的形心在垂直于原来梁轴线方向的位移，称为梁在该截面的挠度，以y表示。同时横截面绕其中性轴转过一个角度，称为该截面的转角，以θ表示。挠度y和转角θ是量度梁弯曲变形的两个基本量。

梁的挠度和转角一般是随着截面的位置而变化的。在工程上，根据工作要求，常对挠度和转角加以限制而进行梁的刚度计算，梁的刚度条件为

ymax≤［y］ (7-6)

θmax≤［θ］

(7-7)

式中:ymax为梁的最大挠度，单位为mm；θmax为梁横截面的最大转角，单位为rad；［y］为梁的许用挠度，单位为mm；［θ］为梁横截面的许用转角，单位为rad。

许用挠度和许用转角的数值可由有关规范中查得。常用的几种梁的最大挠度和最大转角的计算公式可由表7-2查得。因此，利用式(7-6)和式(7-7)就可以对梁进行刚度计算。

表7-2梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度

表7-2梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度(续)

表7-2梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度(续)

表7-2梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度(续)

从梁的弯曲正应力公式σ＝Mmax/Wz可知，梁的最大弯曲正应力与梁上最大弯矩Mmax成正比，与抗弯截面系数Wz成反比；在计算梁的挠度和转角时可以发现梁的变形与梁的跨度l的高次方成正比，与梁的抗弯刚度EIz成反比。依据它们之间的关系，可以采用以下措施提高梁的强度和刚度，从而在满足梁的抗弯能力前提下，尽量减少材料的消耗。7.6提高梁弯曲强度和刚度的措施

1.合理安排梁的支承

在梁的尺寸和截面形状已经设定的条件下，合理安排梁的支承，可以起到降低梁上最大弯矩的作用，同时也可缩小梁的跨度，从而提高了梁的强度和刚度。以如图7-19(a)所示均布载荷作用下的简支梁为例，若将两端支座各向内移动0.2l(如图7-19(b)所示)，梁上的最大弯矩只有原来的1/5，同时梁上的最大挠度和最大转角也变小了。

图7-19均布载荷作用下的简支梁

2.合理布置载荷

当梁上的载荷大小一定时，合理布置载荷，可以减少梁上的最大弯矩，提高梁的强度和刚度。以简支梁承受集中力F为例(如图7-20(a)所示)，集中力F的布置形式和位置不同，梁的最大弯矩明显减少。传动轴上齿轮靠近轴承安装(如图7-20(b)所示)；运输大型设备的多轮板车(如图7-20(c)所示)；吊车增加副梁(如图7-20(d)所示)，均可为简支梁上合理布置载荷，提高抗弯能力的实例。

图7-20分布

3.选择梁的合理截面

梁的合理截面应该使用较小的截面面积获得较大的弯曲截面系数。从梁横截面正应力的分布情况来看，应该尽可能将材料放在离中性轴较远的地方。因此工程上许多受弯曲构件都采用工字形、槽形、箱形等截面形状。各种型材，如型钢、空心钢管的广泛应用就是这个道理。

7-1具有对称截面的直梁发生平面弯曲的条件是什么？