《机械设计基础 》课件第4章

第4章构件的轴向拉伸与压缩4.1拉伸与压缩时横截面上的内力和应力

4.2拉伸与压缩时的强度计算

4.3材料在拉伸与压缩时的力学性能

4.4杆件拉伸与压缩时的变形思考与练习题

4.1.1拉伸与压缩时横截面上的内力

1.轴向拉伸和压缩的概念

在工程上，许多构件都会发生轴向拉伸和压缩变形。如图4-1所示的支架，若不考虑自重，则AB杆发生轴向拉伸变形，BC杆发生轴向压缩变形；如图4-2所示的联接钢板的螺栓，发生轴向拉伸变形。4.1拉伸与压缩时横截面上的内力和应力图4-1支架图4-2联接螺栓由上述示例的计算简图(如图4-3所示)可知，这类杆件的受力特点是：杆件承受的外力(或外力合力)的作用线与杆件轴线重合。杆件的变形特点是：杆件沿轴向方向伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。产生轴向拉伸(或压缩)变形的杆件，简称拉(压)杆。

图4-3拉(压)杆件变形示意图

2.内力的概念

构件为了保持其形状和尺寸，内部微粒之间存在的相互作用力即为内力。在外载荷作用下，构件发生变形，内部微粒间的相对位置发生改变，其相互作用力也随之改变。这种由外载荷作用引起的构件内力的改变量，称为附加内力，简称内力。

内力随外载荷的变化而改变，并影响构件的承载能力。若内力超过某一限度，构件将不能正常工作。对构件进行强度计算，首先要清楚其内力情况。因此，研究各种变形都是从内力分析开始的。

3.轴力

分析内力的基本方法是截面法。现以如图4-4(a)所示的拉杆为例，用截面法来研究杆件横截面的内力，步骤如下：

(1)截——假想地用截面m—m把杆件截开，分为左、右两段。

(2)取——取任意一侧作为研究对象。

(3)代——用横截面的内力来代替另一部分对研究对象的作用。如图4-4(b)所示。杆件在外力作用下处于平衡状态下，则左、右两段也必然处于平衡状态。

(4)求——列平衡方程求出该横截面的内力。

∑Fx＝0，FN－F＝0

FN＝F

图4-4截面法分析内力因杆件的外力均沿杆的轴线方向，由平衡条件可知，其任意截面内力的作用线也必沿杆件的轴线方向，即内力垂直于横截面并过截面形心。故轴向拉伸或压缩时杆件的内力称为轴力，用符号FN表示。

轴力的方向由变形决定，为了保证无论取左侧或取右侧同一横截面所求出的轴力正负号相同，区别拉伸、压缩两种变形，轴力的正负规定如下：当轴力的方向与该截面外法线n的方向一致时，轴力为正，杆受拉；反之，轴力为负，杆受压。

4.轴力图

为了直观地表明各截面的轴力的变化情况，我们用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用与之垂直的FN坐标表示相应截面的轴力的大小。按选定的比例，正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。这样绘出的轴力沿杆轴线变化的图形，称为轴力图。

例4-1

等截面直杆AD受力如图4-5(a)所示。已知F1＝10kN，F2＝20kN，F3＝16kN，试作AD杆的轴力图。

解(1)外力分析。由AD杆的受力图(如图4-5(b)所示)建立其平衡方程：

得

图4-5等截面直杆的轴力图(2)内力分析。用截面法求各段截面的内力。各截面均假设为受拉，轴力为正。

1—1：沿1—1截面截开(如图4-5(c)所示)，取左侧为研究对象，列平衡方程

得2—2：沿2—2截面截开(如图4-5(d)所示)，取左侧为研究对象，列平衡方程

得

负号说明FN2的实际方向指向截面，截面受压。

3—3：沿3—3截面截开(如图4-5(e)所示)，取右侧为研究对象，列平衡方程

得

(3)作轴力图。AD杆轴力图如图4-5(f)所示，由图可知，最大轴力为20kN，产生在CD段。

从上例可以总结求轴力的简便算法：轴力的大小等于截面一侧(左或右)所有外力的代数和。左侧向左、右侧向右的外力规定为正(即左左为正、右右为正)，反之为负。应用上述规律求轴力非常简便，无须再用截面法。现将上面各段截面的轴力计算如下，请对比一下。

(取左侧)

(取右侧)

(取左侧)

(取右侧)

(取左侧)

(取右侧)4.1.2拉伸与压缩时横截面上的应力

1.应力的概念

我们知道，相同的拉力作用在材料相同、粗细不等的两根直杆上，随着外力的增加，总是较细的杆先被拉断。可见，杆件是否破坏不仅与内力有关，还与杆横截面的面积有关。因此，要引入应力的概念。在截面m—m上围绕任意点K取微面积ΔA(如图4-6(a)所示)，设ΔA上的内力为ΔF，则比值

(4-1)称为微面积ΔA上的平均应力，用Pm表示。当内力分布不均匀时，平均应力Pm不能确切表示K点的应力情况。只有当微面积ΔA趋近于零时，平均应力Pm的极限值p才为K点的应力。故K点的应力为

(4-2)

即应力是单位面积上的内力。应力是矢量，通常将其分解为垂直于截面的分量σ和切于截面的分量τ。垂直于截面的应力σ称为正应力，切于截面的应力τ称为切应力(如图46(b)所示)。

图4-6截面上的应力应力的国际单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，1N/m2＝1Pa。工程实际中常用千帕(kPa)、兆帕(MPa)或吉帕(GPa)为单位。其中，1kPa＝103Pa，1MPa＝106Pa，1Gpa＝109Pa。

2.拉(压)杆横截面上的应力

确定横截面上的应力，必须研究横截面上内力的分布规律。因为力与变形有关，所以先观察分析拉(压)杆的变形。

取一等截面直杆，在其表面画两条与杆轴线垂直的横向线ab和cd，在ab和cd间画与轴线平行的纵向线(如图4-7(a)所示)。然后在杆两端沿轴线施加拉力F(如图4-7(b)所示)，杆发生拉伸变形。可观察其变化(如图4-7(b)所示)：(1)所有纵向线伸长，且伸长量相等；(2)横向线ab和cd分别沿轴线相对平移到a'b'和c'd'，仍为直线，且仍与纵向线垂直。根据这一现象可做如下假设：变形前为平面的横截面，变形后还是平面，且仍与轴线垂直，只是沿轴向发生了平移，此假设称为平面假设。假想杆是由无数纵向纤维组成的，根据平面假设，任意两横截面间的各纵向纤维的伸长量均相同，即变形相同。由材料的连续均匀假设可知：若各纵向纤维的变形相同，它们的受力也应相等，故轴力在横截面上均匀分布(如图4-7(c)所示)。即横截面上各点的应力大小相等，其方向与轴力FN一致，垂直于横截面，为正应力(如图47(c)所示)。其计算公式为

(4-3)

式中：σ为横截面上的应力，单位为MPa；FN为横截面上的轴力，单位为N；A为横截面面积，单位为mm2。

图4-7拉(压)杆横截面上的应力

4.2.1材料的许用应力

材料能承受的应力都是有限度的，材料丧失正常工作能力时的应力即极限应力。在工程实际中，构件因受载荷难以精确估算，材料的不均匀，采用近似的计算方法和构件的重要程度等因素的影响，构件的工作应力必须小于材料的极限应力。也就是说，为保证构件在工作时安全可靠，应为构件留有一定的强度储备。4.2拉伸与压缩时的强度计算构件在安全工作时所允许的最大工作应力称为许用应力，用［σ］表示。材料的极限应力除以大于1的安全系数n，即得到材料的许用应力：

塑性材料

(4-4)

脆性材料

(4-5)式中：σs、σb分别为塑性材料和脆性材料的极限应力；ns、nb分别为塑性材料和脆性材料的安全系数。

确定恰当的安全系数，就能合理解决工程实际中安全性和经济性之间的矛盾。不同工作条件下的安全系数，可从有关工程手册中查找。对于一般机械，安全系数为 ns＝1.2~2.0，nb＝2.0~3.54.2.2拉伸与压缩时的强度条件

为了保证拉伸与压缩时变形构件在工作时安全可靠，必须使构件的工作正应力小于或等于材料的许用应力，即拉伸与压缩时的强度条件为

(4-6)

式中：σmax是杆件的最大正应力，产生最大正应力的截面为危险截面；FN和A分别是危险截面的轴力和截面面积。应用强度条件，可以解决下面三类强度问题：

(1)校核强度。根据杆件的尺寸、材料及所受的载荷(已知A、［σ］及FN)，应用强度条件来验证杆件强度是否足够。

(2)设计截面。根据杆件的材料及所受的载荷(已知［σ］及FN)，应用强度条件的变换式来确定杆件的截面面积，然后由实际情况选定截面的形状，最后计算出截面的具体尺寸。

(3)确定许可载荷。根据杆件的材料及尺寸(已知［σ］及A)，应用强度条件的变换式来确定杆件的所能承受的最大载荷。

工程实际中的强度计算时，允许最大应力大于许用应力，但不应超过5%。

需要指出的是，要解决受压直杆的强度问题，上述的强度条件仅适用于较短粗的直杆，而对于细长杆还要考虑稳定性是否足够，具体情况将在以后研究。例4-2

如图4-8(a)所示的三角支架，AB、BC都为钢杆，材料的许用应力［σ］＝160MPa，作用在B点的载荷F＝42kN，试求两杆的直径各为多少?(不计杆的自重。)

解

(1)变形分析。由图4-8(a)可知，杆AB、BC分别发生轴向拉伸和压缩变形。

(2)受力分析。取节点B为研究对象，其受力图如图4-8(b)所示。

由平衡方程图4-8三角支架得

(BC杆受拉)

(AB杆受压)

(3)设计直径。由式(4-6)得

因A＝πd2/4，所以杆直径

则BC杆、AB杆得直径分别为

例4-3

如图4-9所示的汽缸简图，已知汽缸的内径D＝180mm，缸内气压p＝2.5MPa，活塞杆的直径d＝30mm，活塞杆的许用应力［σ］＝100MPa，试校核活塞杆的强度。

解

(1)变形分析。分析可知，活塞杆发生轴向拉伸变形。

(2)内力分析。求活塞杆的轴力FN。

图4-9汽缸简图(3)强度校核。由强度条件式(4-6)得

则活塞杆的强度足够。

材料的力学性能就是材料在外载荷作用下其强度和变形方面所表现的性能。它是进行强度、刚度、稳定性计算和选择材料的重要依据。材料的力学性能是通过试验的方法测定的，其不仅决定于材料本身，而且决定于加载方式、应力状态和温度。这里只讨论常温、静载条件下的力学性能。常温就是指室温；静载就是指加载速度缓慢平稳。4.3材料在拉伸与压缩时的力学性能在常温、静载条件下，工程材料根据其性能常分为塑性材料和脆性材料两大类。工程中应用广泛的低碳钢和铸铁就是这两类材料的典型代表，它们在拉伸和压缩时表现的力学性能也比较典型。因此，下面重点讨论它们在常温、静载条件下的力学性能。4.3.1低碳钢的拉伸实验

静载拉伸和压缩试验是研究材料的力学性能最常用的试验。试验用的材料，须按国标规定加工成标准试件(如图4-10所示)，标准试件的相关规格可参阅有关国家标准。试验在万能试验机上进行。试验时，将试件的两端装卡在上、下夹头中，然后对其缓慢加载，直到把试件拉断为止。一般试验机均有自动绘图装置，在试验过程中能自动绘制拉力F和对应的绝对变形ΔL的关系曲线，此曲线称为F-ΔL曲线或拉伸图。如图4-11所示为低碳钢Q235的F-ΔL曲线。

图4-10标准试件

图4-11低碳钢Q235的F-ΔL曲线由于试件标距L和横截面面积影响ΔL的大小，因此，当试件规格不同时，即使是同一材料，其拉伸图也不同。为了消除试件几何尺寸的影响，反映材料本身的力学性能，将载荷F除以横截面面积A，得到应力σ；将绝对变形ΔL除以试件标距L，得到应变ε，这样得到的就是σ-ε曲线或应力—应变图。如图4-12所示为低碳钢Q235的σ-ε曲线。

现以σ-ε曲线来分析低碳钢Q235的力学性能，其中包含曲线的四个阶段、两个重要的强度、塑性指标和材料的冷作硬化现象。

图4-12低碳钢Q235的σ-ε曲线

1．弹性阶段Oa′

由图4-12可看出，Oa是直线，这说明在该段范围内应力与应变成正比，材料符合虎克定律，即σ＝Eε。弹性模量E为直线的斜率，E＝σ/ε＝tana。直线部分的最高点a对应的应力值sp，称为材料的比例极限。Q235钢的比例极限sp≈200MPa。曲线超过a点后，aa'段不再是直线，说明应力与应变已不成正比，虎克定律也不再适用。但在Oa'段内，只要应力值不超过a'点所对应的应力se，如卸去外力，变形也随之全部消失，说明材料在Oa'段发生弹性变形，Oa'段称为弹性阶段。a'点所对应的应力值se称为材料的弹性极限。由于弹性极限与比例极限非常接近，所以工程实际中对两者不作严格区分，将二者视为相等。

2．屈服阶段bc

当应力超过弹性极限后，σ-ε曲线上出现了一段接近水平的锯齿形线段bc，说明这一阶段应力虽有小的波动，但不再增大，而应变却迅速增长，好像材料失去了抵抗变形的能力，这种现象称为材料的屈服。bc段即为屈服阶段。屈服阶段的最低应力值ss，称为材料的屈服点应力或屈服极限。Q235钢的屈服极限ss≈235MPa。

图4-13滑移线屈服阶段，可以观察到在试件的光滑表面出现许多与其轴线成45°的条纹(如图4-13所示)，这些条纹称为滑移线。这表明材料内部的晶粒沿着45°的斜截面发生相互滑移，产生了卸载后不能消失的塑性变形。工程中，一般都不允许构件发生过大的塑性变形，当构件应力达到材料的屈服极限ss时，认为其已丧失正常工作的能力。所以屈服极限ss是衡量材料强度的重要指标。

3．强化阶段cd

屈服阶段后，出现上凸的曲线cd，表明要使材料继续变形，必须增加应力，材料又恢复了抵抗变形的能力。这种现象称为材料的强化。cd段称为材料的强化阶段。曲线最高点d所对应的应力是试件断裂前所能承受的最大应力值sb，称为材料的强度极限。强度极限是衡量材料强度的另一个重要指标。Q235钢的强度极限sb≈400MPa。

4．颈缩阶段de

材料达到强度极限前，试件的变形是均匀的。而在此之后，变形将集中在试件薄弱的局部，纵向变形显著增加，横向收缩也显著加剧，出现颈缩现象(如图4-14所示)。由于颈缩处横截面面积急速减小，试件很快被拉断。

图4-14颈缩现象

5．塑性指标

试件拉断后，弹性变形完全消失，残留下的是塑性变形，工程中用这种塑性变形来衡量材料的塑性。常用的塑性指标有两个：伸长率δ和断面收缩率ψ，即

伸长率 (4-7)

断面收缩率 (4-8)

式中：L1是试件拉断后的标距，L是原标距，A1为颈缩处最小横截面面积，A为原横截面面积。显然δ、ψ值越大，材料的塑性越好。工程上，通常把δ≥5%的材料称为塑性材料，如钢、铜等；把δ<5%的材料称为脆性材料，如铸铁、玻璃等。Q235钢的δ＝25%~27%，ψ＝60%左右，是典型的塑性材料。

6．冷作硬化

试验表明，如将试件拉伸到强化阶段内任一点f停止加载，并缓慢卸载至0，σ-ε曲线将沿着与Oa'近似平行的直线fg回到g点(如图4-15(a)所示)，图中gh表示消失的弹性应变，Og表示残留的塑性应变。若试件卸载后短期内重新加载，其σ-ε曲线先沿着gf上升至f点，再沿着原来的曲线fde直到试件被拉断(如图4-15(b)所示)。这种将材料预拉到强化阶段后卸载，再重新加载使材料的比例极限和屈服极限提高，而塑性降低的现象，称为冷作硬化现象。工程上，常利用冷作硬化提高材料的承载能力，如冷拉钢筋，冷拔钢丝等。

图4-15冷作硬化现象的σ-ε曲线4.3.2低碳钢的压缩实验

金属材料的压缩试件一般做成短圆柱体，其高度为直径的1.5～3倍，以防止试验时被压弯。

如图4-16所示为低碳钢的压缩(实线表示)和拉伸(虚线表示)时的σ-ε曲线。由图可知，在弹性阶段和屈服阶段两曲线重合。这说明压缩时的比例极限σp、弹性模量E及屈服极限σs与拉伸时基本相同。屈服阶段以后，试件产生明显的塑性变形，愈压愈扁，其横截面面积不断增大，试件不会发生断裂，无法测出其抗压强度极限。因此，对塑性材料一般不做压缩试验，而引用拉伸试验的结果。

图4-16低碳钢的压缩和拉伸时的σ-ε曲线4.3.3其他塑性材料的拉伸实验

通过对比低碳钢与其他塑性材料拉伸时的σ-ε曲线(如图4-17所示)，可以发现它们力学性能的一些异同。在拉伸的开始阶段，还有直线部分(青铜除外)，说明应力与应变仍成正比，符合虎克定律；但这些塑性材料并没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，工程上常采用名义屈服极限σ0.2作为其强度指标。σ0.2是产生0.2%塑性应变时所对应的应力值(如图4-18所示)。

图4-17低碳钢与其他塑性材料拉伸时的σ-ε曲线图4-18名义屈服极限σ0.2时的σ-ε曲线4.3.4铸铁的拉伸与压缩试验

1.铸铁的拉伸试验

铸铁拉伸时的σ-ε曲线是一段微弯的曲线(如图4-19所示)。由试验和其σ-ε曲线可知，曲线没有明显的直线部分，表明应力与应变的关系不符合虎克定律；没有屈服阶段，变形很小时突然断裂；断裂前不出现颈缩现象，断口平齐，垂直于试件轴线。试件断裂前所能承受的最大应力值σb，称为材料的抗拉强度，是衡量铸铁强度的重要指标。铸铁的抗拉强度较低，一般在100～200MPa。由于铸铁总是在较小的应力状态下工作，其σ-ε曲线与直线近似，故通常用虚直线Oa代替曲线Oa，可近似地认为材料符合虎克定律，而且有确定的弹性模量E。

图4-19铸铁拉伸时的σ-ε曲线2.铸铁的压缩试验

对比铸铁压缩和拉伸的σ-ε曲线(如图4-20所示)，可知，压缩时也无明显的直线部分和屈服阶段，说明压缩时也是近似地符合虎克定律，且不存在屈服极限；变形很小时突然断裂，其破坏断面与轴线大约成45°倾斜角。试件断裂前所能承受的最大应力值σbc，称为材料的抗压强度，也是衡量铸铁强度的重要指标。铸铁的抗压强度约是抗拉强度的4～5倍，塑性变形也较拉伸时有所提高。因此，工程中铸铁等脆性材料常做受压构件。

表4-1列出了几种常用材料的力学性能。

图4-20铸铁压缩和拉伸的σ-ε曲线表4-1几种常用材料的力学性能综上可得塑性材料和脆性材料的力学性能的主要特点：

(1)塑性材料破坏时有显著的塑性变形，断裂前有的出现屈服现象；材料拉伸时的比例极限、弹性模量及屈服极限与压缩时基本相同，说明拉伸与压缩具有相同的强度和刚度。

(2)脆性材料破坏时无显著的塑性变形，变形很小时突然断裂，没有屈服现象；材料压缩时的强度和刚度都大于拉伸时的强度和刚度，且抗压强度远大于抗拉强度。

4.4.1杆件拉伸与压缩时的变形和应变

当拉杆沿杆轴线伸长时，其横向将缩短(如图4-21(a)所示)；压杆则相反，轴向缩短时，横向增大(如图4-21(b)所示)。设杆的原长为L，直径为d，变形后的长度为L1，直径为d1，则杆的绝对变形为：4.4杆件拉伸与压缩时的变形轴向绝对变形ΔL＝L1－L

(4-9)

横向绝对变形Δd＝d1－d

(4-10)

拉伸时ΔL为正，Δd为负；压缩时则相反。

图4-21杆件拉伸与压缩时的变形绝对变形与杆件的原尺寸有关，不能准确衡量杆件的变形程度。因此，为了消除原尺寸的影响，用单位长度内杆的变形即线应变(或相对变形)来反映杆的变形程度。则杆的相对变形为

轴向线应变 (4-11)

横向线应变 (4-12)

ε和ε'都是无量纲的量，它们的正负号分别与ΔL和Δd的正负号一致。4.4.2泊松比

试验表明，当应力不超过某一限度时，横向线应变ε'和轴向线应变ε之间存在正比关系，且符号相反，即

ε′＝－με(4-13)

式中，μ称为横向变形系数或泊松比，是无量纲的量。4.4.3虎克定律

轴向拉伸和压缩试验表明，当杆横截面的应力不超过某一限度时，杆的绝对变形ΔL与轴力FN和杆长L成正比，与杆横截面的面积A成反比，即

(4-14)

式中:常数E称为弹性模量，常用单位为GPa。在应用式(4-14)时，在长度L内，其FN、E及A均为常量。分析式(4-14)可知，当FN、L及A为确定的数值时，E值越大，ΔL就越小，说明E值反映了材料抵抗拉、压变形的能力，是材料的刚度指标；当FN和L为确定的数值时，EA值越大，ΔL就越小，说明EA值反映了杆件抵抗拉、压变形的能力，称为杆件的抗拉(压)刚度。

若将 和 代入式(4-14)，可以得到虎克定律的另一种表达式：

(4-15)

式(4-15)表示，当杆横截面的应力不超过某一限度时，应力与应变成正比关系。

弹性模量与泊松比都是反映材料弹性的常量，可通过试验测定。几种常用材料的E和μ值见表4-2。

表4-2几种常用材料的E和μ值

例4-4

如图4-22(a)所示的阶梯形钢杆，已知轴向载荷F1＝20kN，F2＝8kN。杆各段横截面面积A1＝300mm2，A2＝180mm2，杆长l1＝l2＝80mm，l3＝100mm，材料的弹性模量E＝200GPa，许用应力［σ］＝100MPa，试校核钢杆的强度，并求杆的绝对变形。

图4-22阶梯形钢杆

解

1)校核钢杆的强度

(1)外力分析。画受力图(如图4-22(b)所示)，求反力FA。

由平衡方程

得

说明FA与图中所设方向相反。

(2)内力分析。计算各段轴力，画轴力图，如图4-22(c)所示。

AB段FN1＝FA＝－12kN

BD段 FN2＝F2＝8kN

(3)确定危险截面。在AB段和BD段均有可能产生最大正应力，故两段都要进行校核。

(4)强度校核。由式(4-6)得：

AB段

BD段

则钢杆的强度足够。

2)计算杆的绝对变形

因在应用式ΔL＝FNL/EA时，在长度L内，其FN、E及A均为常量，故杆的变形应分段计算。先计算各段的变形，再代数相加，得到杆的绝对变形。

整个杆件伸长了0.0147mm。

4-1指出下列概念的区别与联系：

(1)内力与应力；(2)变形与应变；(3)弹性变形与塑性变形；(4)极限应力与许用应力；(5)屈服极限与强度极限。

4-2什么是绝对变形？什么是相对变形？虎克定律的适用范围是什么？

4-3两拉杆的材料、横截面面积相同，但截面形状和长度不同，在相同的拉力下，它们的绝对变形及横截面的应力是否相同？思考与练习题

4-4两杆的材料、长度及所受的拉力均相同(如图4-23所示)。A为阶梯杆，B为等截面杆，问：(1)两杆的绝对变形ΔL及应变ε是否相等？(2)两杆各段横截面的应力是否相同？

4-5A、B两杆的材料、横截面面积及所受的拉力均相同(如图4-24所示)，但长度不同，分析它们的绝对变形ΔL和应变ε是否相等。

图4-23

图4-24

4