《机械设计基础 》课件第3章

第3章空间力系3.1力的投影和力对轴之矩

3.2空间力系的平衡思考与练习题本章主要研究空间力系的平衡问题。

如果力系中各力的作用线不全在同一平面内，则该力系被称为空间力系。与平面力系一样，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系及空间任意力系。

在工程实际中，经常会遇到空间力系的问题，例如车床主轴、起重设备、绞车等，设计这些结构时，必须用空间力系的平衡条件进行计算。

3.1.1力在空间直角坐标轴的投影和分解

力在空间直角坐标轴上投影的概念与力在平面坐标轴上投影的概念相同，但计算方法有一定差别。力在空间直角坐标轴的投影有两种计算方法：直接投影法和二次投影法。3.1力的投影和力对轴之矩

1.直接投影法

空间直角坐标轴如图3-1所示，已知力F与三个坐标轴的夹角分别为α、β、γ，则力在空间坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz分别为

(3-1)

力在空间直角坐标轴上投影正负的规定与平面投影正负的规定相同。

图3-1力在空间直角坐标轴上的投影

2.二次投影法

当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角无法确定时，可先将力F投影到平面Oxy上，得到力F在平面Oxy的投影Fxy，然后再把Fxy投影到x、y轴上，得到力F分别在x、y轴的投影Fx、Fy。而力F在z轴上的投影Fz可按照一次投影法求得。如图3-2所示，已知力F与z轴的夹角为γ，力F和z轴确定的平面与x轴的夹角为j，则用二次投影法得到的Fx、Fy、Fz可表示如下：

(3-2)

注意：力在坐标轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影是矢量。

图3-2二次投影法如果力F的三个投影为已知，则也可反过来求得该力的大小和方向，即

(3-3)

3.1.2力对轴之矩

在工程中，常常遇到刚体绕定轴转动的实例，为了度量力使刚体绕定轴转动的作用效果，必须掌握力对轴之矩的概念。

如图3-3所示，力F作用在门上，使门绕固定轴z转动。现将力F分解为平行于z轴的分力Fz和在垂直于z轴的平面的分力Fxy。由经验可知，分力Fz不能使门绕z轴转动，只有分力Fxy才能使门绕z轴转动。因此，力F对z轴之矩就是分力Fxy对O点之矩，即

Mz(F)＝Mz(Fxy)＝MO(Fxy)＝±Fxyd

(3-4)

式中，点O为分力Fxy所在的平面与z轴的交点；d为点O到分力Fxy的作用线的距离；力对轴之矩的单位为N·m或kN·m。

综上可得，力对轴之矩就是力使刚体绕该轴转动效果的度量，其绝对值等于力在与该轴垂直的平面上的投影对该轴与平面交点之矩。力对轴之矩为代数量，其正负号规定如下：从z轴正向看去，使物体逆时针转动的力矩为正；反之，为负。也可按右手螺旋法则来判定(如图3-4所示)：用右手握住z轴，使四指指尖与物体转动方向一致，若拇指指向z轴的正向，则力矩为正；反之，为负。图3-3作用于门上的力的示意图

图3-4右手螺旋法则下面两种情况下力不能使物体绕该轴转动：

(1)力的作用线与轴相交时；

(2)力的作用线与轴平行时。也就是说，力与轴在同一平面时，力对该轴之矩等于零。3.1.3合力矩定理

空间力系与平面力系相同，也有合力矩定理，空间力系的合力FR对某轴之矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和。其可表示为

(3-5)

例3-1

手柄ABCE在平面Axy内(如图3-5所示)，力F在垂直于y轴的平面上，与铅垂线的夹角为α，其作用在D处。已知，CD＝b，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，杆AB和BC的长度为l，求力F分别对x、y和z轴的矩。

解

(1)将力F沿坐标轴分解为Fx和Fz两个分力，它们的大小为

Fx＝Fsinα，Fz＝Fcosα

图3-5手柄(2)根据合力矩定理求得力F对各轴的矩。

3.2.1空间力系的简化与简化结果分析

1.空间力系的简化

空间任意力系的简化方法与平面任意力系相同，依据力的平移定律，将作用在刚体上的各力都平移到简化中心O，同时增加一个相应的附加力偶。这样，将原来的空间任意力系等效转化为一个空间汇交力系和一个空间力偶系。此空间汇交力系和空间力偶系再分别合成，可得到与其等效的一个力和一个力偶(如图3-6所示)。3.2空间力系的平衡

图3-6空间力系的等效转化等效合力等于各力的矢量和，称为力系的主矢 ，主矢与简化中心的位置无关；等效合力偶的矩矢等于各力对于点O的矩矢的矢量和，称为力系对点O的主矩MO，主矩一般与简化中心的位置有关。

2.空间力系的简化结果分析

空间任意力系向任一点简化，可得到一力(主矢 )和一力偶(主矩MO)，但这并不是简化的最终结果。根据主矢和主矩数值的不同，分析以下四种情况的最终结果：

1) ＝0，MO≠0

空间任意力系向任一点简化，若主矢值 ＝0，而主矩值MO≠0，简化的最终结果为一力偶。此力偶与原空间力系等效，即空间任意力系合成为一力偶。在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。

2) ≠0，MO＝0

空间任意力系向任一点简化，若主矢值 ≠0，而主矩值MO＝0，简化的最终结果为一力。此力与原空间力系等效，即空间任意力系合成为一合力。合力的作用线通过简化中心O，其大小和方向等于力系的主矢。

3) ≠0，MO≠0

空间任意力系向任一点简化，若主矢值 ≠0，主矩值MO≠0，简化的最终结果有两种情况。

(1)当主矢 与主矩MO垂直时，主矢 和与主矩MO等效的力偶可以进一步合成为一个力FR，此力与原力系等效，空间任意力系合成为一合力，其大小和方向等于力系的主矢(如图3-7所示)。

图3-7空间力系的合成

(2)当 与MO不垂直时，空间任意力系简化的最终结果为力螺旋。力螺旋就是由一力和一力偶组成的力系，且力垂直于力偶的作用面(如图3-8所示)。力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单的力系，不能再进一步合成。

图3-8力螺旋

4) ＝0，MO＝0

空间任意力系向任一点简化，若主矢值 ＝0，主矩值MO＝0，则刚体处于平衡状态。3.2.2空间力系的平衡方程及其应用

与平面力系相同，空间任意力系的平衡条件也是通过力系的简化得出的。当空间任意力系的主矢值和对任一点的主矩值都等于零时，刚体处于平衡状态，所对应的平衡方程为

(3-6)

即空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力分别在三个坐标轴上投影的代数和为零；力系中各力分别对三个坐标轴之矩的代数和为零。

与平面力系一样，空间特殊力系(如空间平行力系、空间汇交力系)的平衡方程，可以从空间任意力系的平衡方程中推导出来。推导过程略，读者可依照平面力系的推导过程自行推导。空间汇交力系的平衡方程为

(3-7)

空间平行力系(设各力与z轴平行)的平衡方程为

(3-8)

空间任意力系独立的平衡方程有6个，所以对于空间任意力系的平衡问题，最多只能求解6个未知量，如果未知量超过6个，就是超静定问题；同样，对于空间汇交力系和空间平行力系，只能求解3个未知量。解决空间力系平衡问题的基本方法和步骤与平面力系相同，可按如下三步求解：

(1)确定研究对象，取出分离体，画受力图，并选取适当的坐标轴。

(2)列出相应的平衡方程。

(3)解方程，求出未知量。

表3-1列出了常见的空间约束类型及其约束力的画法。

表3-1常见的空间约束类型及其约束力的画法3.2.3空间力系平衡问题的平面解法

解决空间力系的平衡问题，不仅可以应用空间力系的平衡方程，还经常采用平面解法。在工程实际中计算轮轴类零件的平衡问题时，常将其受到的各力分别投影到三个坐标平面上，得到三个平面力系。证明可知，若空间力系平衡，则投影得到的三个平面力系也一定平衡。这样，可把空间力系的平衡问题转化为三个平面力系的平衡问题。这种把空间平衡问题转化为平面平衡问题的方法，称为空间力系的平面解法。

例3-2

如图3-9(a)所示的传动轴AB，已知两齿轮的压力角均为α＝20°，齿轮1、2的分度圆直径分别为r1＝90mm，r2＝60mm，齿轮1的圆周力FT1＝2.64kN。求齿轮2的圆周力FT2及A、B两轴承处的约束反力。

解(1)选轴AB及两齿轮为整体为研究对象，画受力图，并选取适当的空间直角坐标轴(如图3-9(b)所示)。

(2)将各力分别在Azx平面、Azy平面及Axy平面投影，得到三个平面力系(如图3-9(c)、(d)、(e)所示)。

图3-9传动轴

(3)分别对三个平面力系列相应的平衡方程。

Azx平面：

得

Azy平面：

因得

Axy平面：

得

负号表示力的实际方向与假设方向相反。

说明：在Azx平面力的投影图可以略去不画，其方程可用空间受力图中所有的力对y轴取矩代替，由此所列出的方程与根据Azx平面投影图列出的方程相同，即

例3-3

车床主轴如图3-10(a)所示，齿轮C的分度圆半径R＝100mm，三爪卡盘D夹住一半径r＝60mm的工件。车刀给工件的切削力Fx＝260N，Fy＝505N，Fz＝1388N，齿轮C在啮合处受力为F，压力角α＝20°。求力F的大小及A、B两轴承处的约束反力。

图3-10车床主轴

解

(1)选主轴及工件为研究对象，画受力图，并选取适当的空间直角坐标轴(如图3-10(b)所示)。

(2)在空间受力图(图3-10(b))中，所有的力对y轴取矩。

则F＝FT/cos20°＝886.2N。

(3)将各力分别在Azy平面及Axy平面投影，得到二个平面力系，如图3-10(c)和(d)所示。

(4)分别对二个平面力系列相应的平衡方程。

Azy平面：

因

得

Axy平面：得

3-1分析力F分别在轴上和在平面上的投影是代数量还是矢量。

3-2什么情况下力对轴之矩等于0？力对轴之矩的正负号如何判定？

3-3根据下列已知条件，分析力F在什么平面上:

(1)Fx＝0，∑Mx(F)≠0；(2)Fx≠0，∑Mx(F)＝0；

(3)Fx＝0，∑Mx(F)＝0；(4)∑Mx(F)＝0，∑My(F)＝0。思考与练习题

3-4试分析空间任意力系简化的最终结果是什么。

3-5空间任意力系向3个相互垂直的坐标平面投影，得到3个平面任意力系，而每个平面任意力系可列3个平衡方程，则一共有9个平衡方程。试问用平面解法能否求出空间任意力系中的9个未知量？为什么？

3-6空间力系的平面解法主要在什么情况下适用？

3-7物体的重心是否一定在物体的内部？

3-8计算图形的形心时，选取不同的坐标系，形心坐标的数值是否变化？形心在图形上的位置是否变化？

图3-11

3-9在边长a＝120mm，b＝180mm，c＝200mm的六面体上(如图311所示)，有力F1＝10kN，F2＝12kN，F3＝8kN，试计算力在三个坐标轴上的投影。

3-10力F作用在半径为r的斜齿轮上(如图3-12所示)，已知α角和β角，求力F在三个坐标轴上的投影及对y轴之矩。

3-11作用在水平轮上A点的力F＝800N(如图3-13所示)，F在铅垂平面内并与过A点的切线的夹角为60°，OA与