解密19直线和圆（原卷版）

解密19直线和圆【考点解密】1．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用2．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)5．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要)d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：eq\o(→,\s\up7(判别式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0⇔相交,＝0⇔相切,<0⇔相离))6．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解【方法技巧】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.【核心题型】题型一：待定系数法求直线方程1．（2022·北京·统考模拟预测）已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（

）A． B． C． D．3．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是

（

）A． B．或C． D．或题型二：已知两直线位置求参数或者范围4．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为（

）A． B．C． D．6．（2023·吉林·统考二模）已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（

）A．1 B．3 C．8 D．9题型三：直线的定点问题7．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2023·贵州毕节·统考一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（

）A． B． C．1 D．题型四：直线有关的对称问题9．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）若为圆上的动点，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．10．（2023·北京平谷·统考模拟预测）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（

）A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为11．（2023·陕西西安·校考模拟预测），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．12．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知点，，若直线关于的对称直线与圆：交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型五：几何法求圆的方程13．（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知点是圆上的任意一点，点，分别为圆上的两个不同的动点，且，点为线段的中点，则的最小值为（

）A．11 B．12 C．13 D．1414．（2023·全国·高三专题练习）已知是圆上两点，且．若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．15．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则面积最大的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．题型六：待定系数法求圆的方程16．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条17．（2023·全国·高三专题练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．18．（2023·全国·高三专题练习）如图，点A，B，D在圆Γ上，点C在圆Γ内，，若，且与共线，则圆Γ的周长为（

）A． B． C． D．题型七：几何法求弦长19．（2023·全国·模拟预测）若直线与直线被圆截得的弦长之比为，则圆C的面积为（

）A． B． C． D．20．（2023秋·河南·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，已知圆被轴截得的弦长为2，且与直线相切，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．21．（2022秋·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则正实数的值为（

）A．8 B．4 C．1 D．题型八：圆或者直线上的点的距离问题22．（2023·福建福州·统考二模）已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或23．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：上一动点，若直线l：上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．24．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．题型九：直线和圆的综合问题25．（2023·重庆·统考二模）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为．(1)若，求；(2)若，求点到直线的距离的最小值．26．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为.（i）求直线的斜率；（ii）设面积为，求的最大值.27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：上点与圆上点M的距离的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点（Q与A，B不重合），证明：动直线l过定点，并求出该定点坐标.【高考必刷】一、单选题28．（2023·重庆·统考二模）已知点，圆，若在圆上存在唯一的点使得，则可以为（

）A． B． C． D．29．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．30．（2023·陕西安康·统考二模）已知直线：，：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件31．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知直线，直线，其中实数，则直线与的交点位于第一象限的概率为（

）A． B． C． D．32．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（

）A． B． C． D．33．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知点，圆，过点的直线与圆交于，两点，则的最大值为（

）A． B．12 C． D．34．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知O为平面点角坐标系的原点，点，B为圆上动点，记经过A、B的直线为l，以O为圆心与l相切的圆的面积为，经过O、A、B三点的圆的面积为，则的最大值为（

）A． B．C． D．二、多选题35．（2023·湖南·模拟预测）已知圆：与圆：，则下列说法正确的是（

）A．若圆与x轴相切，则B．直线与圆始终有两个交点C．若，则圆与圆相离D．若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为36．（2023·湖北·统考模拟预测）已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（

）A．若直线l与圆M相切，则B．当时，四边形的面积为C．直线经过一定点D．已知点，则为定值37．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆，点为直线上的动点，则下列说法正确的是（

）A．圆心到直线的最大距离为8B．若直线平分圆的周长，则C．若圆上至少有三个点到直线的距离为，则D．若，过点作圆的两条切线，切点为，，当点坐标为时，有最大值38．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（

）A．直线与圆相离B．当为两定点时，满足的点有2个C．当时，的最大值是D．当为圆的两条切线时，直线过定点三、填空题39．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知椭圆，圆，直线与圆相切于第一象限的点A，与椭圆C交于两点，与轴正半轴交于点.若，则直线的方程是__________.40．（2023·河南郑州·统考一模）经过点以及圆与交点的圆的方程为______．41．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为__________.42．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线上的动点，P到y轴的距离为，