清单02配方法应用的十一大经典题型（11种题型解读（40题））

清单02配方法应用的十一大经典题型（11种题型解读（40题））【知识导图】【知识清单】【考试题型1】利用配方法确定二次根式中字母的取值范围1．当字母取什么值时，4x【详解】解：∵不论x取任意实数，4x2-4x+1=(2【考试题型2】配方法在化简二次根式时的应用2．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2=(a±b)材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，若y'=y(x≥0)-y(x<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”.例：点(3，2)的“横负纵变点请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2，-3)的“横负纵变点”为______，点(-33，(2)化简：8+215=(3)已知a为常数(1≤a≤2)，点M(-2，m)且m=22(a+2【答案】(1)((2)3(3)(-【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．（2）模仿例题解决问题即可．（3）首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可．【详解】（1）∵2∴点(2，-3)的“∵-33∴点(-33，-2)的“横负纵变点故答案为：(2（2）8+2=(=(=3（3）∵1≤a∴0≤a∴0≤a∴a∴m=2=2=2=22∴M∵-2∴M故答案为：(-【点睛】本题考查了新定义问题，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题．3．像4-23，96-如：4-23再如：5+26(1)请你尝试化简：①11+230=②13-242=(2)若a+65=m+5n2，且【答案】(1)①5+6；(2)46或14【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．（2）变形已知等式，建立a，m，n的方程组求解．【详解】（1）解：①11+230====5②13-2===7故答案为：①5+6；②（2）解：∵==a∴m∵m，n，a均为正整数．∴m=1n=3∴a=1+45=46或a=46或14【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．4．你见过像4-23,4-2请用上述方法化简：（1）5-26（2）7-48【答案】（1）3-2；（2）2-【分析】（1）根据题目给出的方法即可求出答案．（2）根据题目给出的方法即可求出答案．【详解】（1）原式=2-26+3（2）原式=4【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的性质．【考试题型3】配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用5．对于任意实数x，多项式-x2+2A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定正负的数【答案】B【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可．【详解】解：-=-=-任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，∴-x-1故多项式-x故选：B．【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．任意实数的平方和绝对值都具有非负性，灵活运用这一性质是解决此类问题的关键．6．阅读材料：若x2-2xy+2y2-∴x2∴x-∴x-y2∴y=4，x根据你的观察，探究下面的问题：(1)试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2(2)已知a、b满足2a2+b2+2ab【答案】(1)说明见解析(2)a=3，【分析】（1）根据配方法，利用完全平方公式把x2+y（2）先通过配方法，利用完全平方公式进行配方，求出a，b的值．【详解】（1）解：x==∵x-12∴x-∴不论x，y取什么有理数时，多项式x2（2）解：∵2a∴a2∴a+∴a+b2∴a=3，b【点睛】本题考查了配方法，解本题的关键在理解题意，根据配方法，利用完全平方公式进行解答．7．用配方法求证：代数式3x【答案】见解析【分析】本题考查了配方法，将代数式配方，根据非负数的性质即可求解．【详解】证明：3x∴原代数式的值恒为正数．8．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．总大于7 B．总不小于9C．总不小于﹣9 D．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【详解】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7＝4x2＋8x＋4＋3y2−12y＋3＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2−4y＋1）＝4（x＋1）2＋3（y2−4y＋4−4＋1）＝4（x＋1）2＋3（y−2）2−9，∵（x＋1）2≥0，（y−2）2≥0，∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥−9．即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于−9．故选：C．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．9．已知代数式A=2(1)当x为何值时，代数式A比B的值大2；(2)求证：对于任意x的值，代数式A-【答案】(1)当x=-3或x=-1时，代数式A比B的值大(2)见解析【分析】（1）由题意得A-B=2（2）由题意得A-【详解】（1）解：由题意得A-去括号得2x整理得x2解得x=-3或x当x=-3或x=-1时，代数式A比B的值大（2）解：A=2==∵x+2∴x+2∴对于任意x的值，代数式A-【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法的运用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【考试题型4】利用配方法解决最值问题10．配方法在代数式求值、解方程、求最值问题……中都有着广泛的应用．例如：若代数式M=利用配方法求M的最小值：M==∵(a-b∴当a=b=1时，代数式M有最小值请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6(2)若代数式M=a2(3)已知a2+2b【答案】(1)9(2)2(3)4【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；（2）利用配方法将M配成完全平方的形式，即可得答案；（3）将等式左边进行配方，利用平方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．【详解】（1）解：∵(a∴横线上可添加常数“9”；（2）M=∴当a=-2时，M有最小值为2（3）∵a2∴a∴(a∴a=b=1∴a【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．11．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法．例：已知代数式a2+6a+2，当a=解：a因为a+32≥0所以当a=-3时，它有最小值，是-参考例题，试求：(1)填空：当a=时，代数式a-32+5(2)已知代数式a2+8a【答案】(1)3(2)当a为-4时，a2【分析】（1）根据平方的非负性，可知当a=3时，a-32取最小值0，所以当（2）先运用配方法变形a2+8a+2=a【详解】（1）解：∵a∴a∴当a=3时，它有最小值，是5故答案为：3，（2）解：∵a∴当a+4=0，即a=-4时，∴当a为-4时，a2+8【点睛】本题主要考查了非负数的性质和配方法的应用，注意任意数的偶次方的最小值是0，（2）中运用配方法将a2+8a12．阅读材料：把形如ax2+例如：①我们可以将代数式a2a∵a+3∴a+3因此，该式有最小值1．材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A=x2+2x则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．(1)已知多项式C=x2+x-1，D=x+2x-1，判断C是否为D(2)已知多项式M=x-a2，N=x2-2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x【答案】(1)是，证明见解析(2)M关于N的“雅常值”为2【分析】（1）先计算C-D=1，再根据“雅常式”的定义即可判断C是D的“雅常式”，并求出C关于D的“（2）先求出M-N=-2a+2x+a2-b，由M是N的“雅常式”，得出-2a【详解】（1）∵C==1，∴C是D的“雅常式”，“雅常值”为1；（2）∵M是N的“雅常式”，∴M==-∴-2∴a=1∵N=x2-2x+∴-1+∴b=-1∴M-∴M关于N的“雅常值”为2．【点睛】本题考查了配方法的应用、整式的加减运算、新定义和因式分解，理解A是B的“雅常式”的定义是解决本题的关键．【考试题型5】配方法与根的判别式综合运用13．定义：若x1、x2是方程ax2+bx+(1)判断：方程x2-4x=0______“差积方程”（填“是”(2)已知关于x的方程x2①证明：不论m取何值，方程总有实数根；②若该方程是“差积方程”，求m的值．【答案】(1)不是(2)①见解析；②m=23或【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，理解新定义是解题的关键．（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；（2）①利用一元二次方程根的判别式列式计算即可求解；②先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵x2∴xx解得：x1∵0-4≠∴方程x2故答案为：不是；（2）解：①∵x2∴Δ=∴关于x的方程x2-m②∵x2∴x-解得：x1∵x2∴2-m即2-m=2m解得：m=23或14．已知一元二次方程x2(1)当其中一个根为1时，求另一个根．(2)证明不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)-(2)见解析【分析】本题考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式与根的关系：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（1）将x=1代入方程，求出a（2）证明根的判别式Δ>0【详解】（1）解：∵x=1是方程∴1+a+a∵a∴方程为x2+1∴2解得x1=1，∴另一个根为-3（2）证明：Δ=a2-4(∵(∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．15．已知关于x的一元二次方程ax(1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例．【答案】(1)见解析(2)不是，见解析【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b（1）由二次项系数和常数项的符号不同，可得ac<0，再由Δ（2）由一元二次方程ax2+【详解】（1）证明：∵二次项系数和常数项的符号不同，∴ac<0∴-ac>0，∴Δ∴该方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：不是，反例x2理由如下：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2反例：b2=16，即x2【考试题型6】配方法在恒等变形时的应用16．已知三角形三边长为a、b、c，且满足a2-4b=7，b2A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定【答案】A【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．17．选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2-根据上述材料解决下面问题：（1）写出x2（2）已知x2+y（3）已知a、b、c为三条线段，且满足14a2+b2+c【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；（2）根据x2+y2+（3）将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断．【详解】（1）x2-8（2）∵x∴(∴x=-1，y=2（3）不能，理由如下：原式变形：14a∴(4a即(2a∴b=2a，c∴a+b=3a=c．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键．18．先阅读，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n解：∵m∴(∴m+n∴n=3，(1)若x2+2y(2)已知ΔABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+(3)根据以上的方法是说明代数式：x2【答案】(1)14(2)△ABC是等边三角形；(3)答案见解析．【分析】（1）将原式配方得(x-y)2（2）将原式配方得(a-3)2+(b-3)（3）利用配方法可以对式子x2【详解】（1）解：x2∴x-y∴x∴x（2）解：a==0，∴a∴ΔABC（3）解：∵==(故x2【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：绝对值、偶次方，解题的关键是明确如何运用配方法化简题目中所求的问题，根据三角形的三边可以判断三角形的形状．19．我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化简求值、解一元二次方程、求最值等问题．(1)已知三角形ABC的三边长a、b、c都是正整数，并且满足a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，求三角形ABC的周长，你能利用配方法解决这个问题吗？(2)某商品现在每件盈利10元，每天可卖出30件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？【答案】(1)△ABC的周长为7(2)当每件商品涨价10元时，每天的利润最大【分析】（1）先将a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0转化成（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，求出a，b，再根据三角形三边不等关系求出c，从而得周长；（2）设每件商品涨价x元，根据题意列出关于x的式子，再运用配方法求出最大利润．【详解】（1）解：∵a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，∴a2﹣6a+9+2b2﹣4b+2＝0，即（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，则a﹣3＝0且b﹣1＝0，解得a＝3，b＝1，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4，∵c是正整数，∴c＝3，则△ABC的周长为3+1+3＝7；（2）设每件商品涨价x元，每天的利润为（10+x）（30﹣x）＝﹣x2+20x+300＝﹣（x﹣10）2+400，∵（x﹣10）2≥0，∴﹣（x﹣10）2≤0，则﹣（x﹣10）2+400≤400，∴当x＝10时，﹣（x﹣10）2+400取得最大值400，答：当每件商品涨价10元时，每天的利润最大．【点睛】本题考查配方法的应用，三角形三边不等关系，求最大利润问题，解题关键是灵活运用配方法．【考试题型7】利用配方法求字母的值20．若方程9x2-(kA．10 B．10或14C．10或14 D．10或14【答案】D【分析】由题意可知9x2和4均为平方项，则由完全平方公式的基本形式(ax)2±2abx+b2=0【详解】解：由题意得，9x则，-k+2=±2×3×2，解得k=10故选择D.【点睛】牢记(ax)2±2abx+b2=0的完全平方形式是解决容易遗漏另一种情况的有效方法.21．设a、b、c为实数，x=a2-2b+π3,yA．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于0【答案】A【分析】先计算x+y+z，再利用配方法得到x+y+z＝a-12+b-12+c-12+π-3，根据非负数的性质和π【详解】解：x+y+z＝a=＝a-∵a-12≥0，b-12≥0，c∴x+y+z＞0，∴x、y、z中至少有一个大于0．故选：A．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．22．对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4=x+12+3≥3，所以A．1 B．-1 C．-10 D【答案】B【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．【详解】解：-=-=-=-x∵x-∴-x∴-x∴-x2+6∴9-m∴m故选：B．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．23．关于x的多项式-x2+6x-A．1 B．-1 C．-10 D【答案】B【分析】利用配方法将-x【详解】解：-x∵-x-32≤0∴9-m∴m=-1故选B．【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键．24．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2∵x2+6x∴当x=-3时，x2+6请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式m2(2)填空：代数式4-x2